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Limites e Derivadas

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x2 - 1 Exemplo 2. Determine lim g( x ) , onde g( x ) = . x 1 x -1 0 que uma indetermina o matem tica! Quando a vari vel x est cada vez 0 mais pr xima de 1, a fun o g est cada vez mais pr xima de quanto? Devemos ent o simplificar a express o da fun o g e depois fazer a substitui o direta.
Observe que g (1) =
g (x ) =
x 2 - 1 ( x - 1)( x + 1) = ( x + 1), x 1 Ent o: = x-1 x -1 x2 - 1 Logo, lim = 2. x 1 x -1
(x - 1)(x + 1) = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 . x2 - 1 lim g ( x ) = lim = lim x 1 x 1 x - 1 x 1 x 1 x -1
Chegamos mesma conclus o da an lise feita pelas tabelas de aproxima es, por m de uma forma mais r pida e sistem tica. N o mais utilizaremos as tabelas de aproxima es para casos semelhantes a este!
x2 - 1 x2 - 1 est = 2 significa que a fun o g( x ) = x 1 x -1 x -1 t o pr xima de 2 assim como x est suficientemente pr ximo de 1, por m diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso:
Vale lembrar que a express o lim Gr fico da fun o g( x ) =
x2 - 1 , x 1. x -1
lvaro Fernandes
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Exemplo3. Determine lim
x 1
0 x -1 (observe a indetermina o matem tica ). 0 x -1
2
lim
x 1
x -1 x -1 x +1 = lim 2 = lim x 1 x - 1 x -1 x + 1 x 1
2
(x - 1) (x - 1)(x + 1)(
x +1
)
= lim
x 1
(x + 1)(
1
x +1
)
=
1 . 4
Se voc construir as tabelas de aproxima es, constatar que g(x) est cada vez mais pr ximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1.
Exemplo 4. Determine lim
x 2
0 x3 - 8 (observe a indetermina o matem tica ). 2 3 x - 12 0
x3 - 23 x3 - 8 = lim = lim lim x 2 3 x 2 - 12 x 2 3 x 2 - 4 x 2
(
(
) )
(x - 2 )(x 2 + 2 x + 4 ) = lim x 2 3( x - 2 )( x + 2 )
(x
2
+ 2 x + 4 12 = =1 3( x + 2 ) 12
)
Defini o intuitiva de limite.
Seja f uma fun o definida num intervalo I contendo a, exceto possivelmente no pr prio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a L , e escrevemos lim f ( x ) = L , se, e somente se, os limites laterais esquerda e direita de a s o iguais L, isto , lim- f ( x ) = lim+ f ( x ) = L . Caso contr rio, dizemos que o limite n o existe, em
xa xa
s mbolo
lim f ( x ) .
xa
x a
Proposi o (unicidade do limite).
Se lim f ( x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 , ent o L1 = L2 . Se o limite de uma fun o num ponto existe,
xa xa
ent o ele nico.
Principais propriedades dos limites.
Se lim f (x ) e lim g ( x ) existem, e k um n mero real qualquer, ent o:
x a x a
a) lim [ f ( x ) g ( x )] = lim f (x ) lim g ( x ) .
xa xa xa
b) lim k . f ( x ) = k .lim f ( x ) .
xa xa
c) lim [ f (x ) g (x )] = lim f ( x ) lim g (x ) .
xa x a xa
d) lim
xa
f ( x ) lim f ( x ) = xa , lim g ( x ) 0 . g (x ) lim g ( x ) x a
xa
e) lim k = k .
xa
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Exemplo 5. Calcule lim
3x 2 - 6 usando as propriedades. x2 2 x + 4
2 3x 2 - 6 3 x2 - 2 3 x 2 - 2 3 lim x - 2 3 2 3 x2 lim = = . = lim = lim = x2 2 x + 4 x 2 2( x + 2 ) 2 x 2 x + 2 2 lim x + 2 2 4 4 x2
(
)
Obter amos este resultado substituindo diretamente: lim
3 x 2 - 6 3.2 2 - 6 12 - 6 6 3 = = = = . x2 2 x + 4 2(2 ) + 4 4+4 8 4
Atividades (grupo 1).
Calcule os limites abaixo:
4-x 2+x
2
a) lim
x -2
b) lim
x 3
x - 4x + 3 x2 - x - 6
2
x3 - 1 c) lim x 1 5 x - 5
d) lim
g) lim
8 + x3 x -2 4 - x 2
1 - x2 x+ 2+ x
e) lim
x2
x 4 - 16 8 - x3 2- x-3 x 2 - 49
f) lim
x 1
x -1 x -1 3- 5+ x 1- 5 - x
x -1
h) lim
x 7
i) lim
x 4
Atividades (grupo 2).
Calcule os limites indicados:
x 2 - 1, x 0 a) f ( x ) = , x + 1, x 0
calcule: lim f ( x ) , lim f ( x ) e lim f ( x ) .
x -1 x 2 x 0
b) g( x ) =
x2 , x 2 3 , x = 2
,
calcule: lim g( x ) .
x2
4 - x 2 , x 1 c) h( x ) = , 5 - 2 x , x 1
2 x , x 0 d) l ( x ) = 1 - x 2 , 0 x 2 , 2 x - 6 , x 2
calcule: lim h( x ) .
x 1
calcule: lim l ( x ), lim l ( x ), lim l ( x ) e
x 0 x2 x -
x +
lim l ( x ) .
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Limites infinitos
Quando resolvemos um limite e n o encontramos como resposta valores num ricos, mas sim infinito ( + ou - ), dizemos ent o que o limite infinito.
Exemplo 6. Calcule lim
x -1
x2 - 1 . x -1
x2 - 1 0 , encontramos = 0. x -1 -2 0 Esta n o uma situa o especial. Sempre que na substitui o de x ocorrer , k 0 , o resultado k do limite ser sempre zero, naturalmente.
Neste caso, quando fazemos a substitui o de x por - 1 na express o
E se na substitui o do valor de x ocorrer
k , k 0? 0
Vamos analisar esta situa o num caso particular e depois formalizar uma regra.
Exemplo 7. Estude o seguinte limite: lim
x 0
1 . x
Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer s tabelas de aproxima es: Aproxima o do zero pela direita (nota o x 0 + )
x f(x)=1/x 1 1 0,1 10 0,01 100 0,001 1000 0,0001 10.000
Cada vez que tomamos x suficientemente pr ximo de zero (pela direita), f ( x ) = 1 x cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situa o assim:
lim+ 1 = + x
x 0
Aproxima o do zero pela esquerda (nota o x 0 - )
x f(x)=1/x -1 -1 -0,1 -10 -0,01 -100 -0,001 -1000 -0,0001 -10.000
Cada vez que tomamos x suficientemente pr ximo de zero (pela esquerda), f ( x ) = 1 x decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situa o assim:
lim- 1 = - x lim
x 0
x 0
Conclus o: Como os limites laterais s o distintos, ent o
1 . x
Veja ao lado o gr fico da fun o f ( x ) = 1 x .
lvaro Fernandes 8
Regra (generaliza o)
Se no c lculo de um limite ocorrer uma situa o do tipo
k k 0 + = + , k 0 e 0 + = - , k 0. k k - = - , k 0 e = + , k 0. 0- 0
k , k 0 , ent o: 0
Desta tabela podemos perceber que
k Se o denominador tende ao infinito com o =0. numerador constante, a raz o se aproxima de zero. Como veremos agora.
Limites no infinito
Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma fun o quando a vari vel x cresce indefinidamente ( x + ) ou quando ela decresce indefinidamente ( x - ). Em algumas situa es, a fun o se aproxima de um valor num rico (figura 1), noutros pode tamb m crescer indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3).
Exemplo 8.
Na figura 1:
x +
1 lim + 1 = 0 + 1 = 1 , na figura 2: x 2 lim (- x + 4 ) = - .
x +
x +
lim ( x + 1) = +
e na figura 3:
A tabela abaixo apresenta situa es de soma e produto de infinitos que usaremos com freq encia.
( ) ( ) = + (m ) ( ) = - ( ) + ( ) = ( ) - ( ) = ? indetermina o!
( ) k = , se k 0 ( ) k = m , se k 0 e se k * , ent o . ( ) + k = ( ) - k =
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Vale ressaltar ainda que, se n um natural n o nulo, ent o:
lim x n = +
x +
e
+ , n par. lim x n = x - - , n mpar.
Atividades (grupo 3). Calcule os limites:
a) lim
x2
x2 x-2
b) lim
x 3
(x - 3)
2x - 4
2
c) lim
x 3
(x - 3)
2x - 7
2
d) lim
5 - 2x3 + 6 x + 3 x 2
Atividades (grupo 4). Calcule os limites:
a) lim+
x 5
3- x x-5
b) lim-
x2
3-x 2 x + x -6
c) lim-
x -5
x 2 - 10 2 x + 10
d) lim+
x 1
x-2 x +x-2
2
Express es indeterminadas
Vimos que
0 uma express o de indetermina o matem tica. Tamb m s o: 0
e 0 .
, - , 0 , 1 , 0 0
Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros ser o tratados em cap tulos posteriores.
A indetermina o do tipo
.
Exemplo 9. Calcule os limites abaixo:
a) lim
x3 + 1 x + 5 x 2 + 3
b) lim
x2 + 1
x + x 4 + x
c) lim
1 + x2
x + x 2 + x
Podemos observar que estas express es geram indetermina es do tipo
, pois quando x + as express es do numerador e denominador tamb m tendem a + . N o podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:
1 1 1 lim x 1 + 3 x 1 + 3 x3 1 + 3 x + x +1 x + (1 + 0 ) + x x = = = + = = lim = lim lim x + x + x + 5 x 2 + 3 3 3 3 5(1 + 0 ) 5 2 5 1 + 2 lim 5 1 + 2 5x 1 + 2 5x 5 x x + 5x
3
a)
x2 1 + x +1 b) lim 4 = lim x + x + x + x x4 1 +
2
1 x2 1 x3
= lim x +
1 1 lim 1 + 2 1 + 2 x + (1 + 0 ) = 1 = 0 . x x = = 1 + (1 + 0 ) + 1 x 2 1 + 3 lim x 2 1 + 3 x + x x
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lvaro Fernandes
1 1 1 lim 1 + 2 61 + 2 6 x2 1 + 2 6x +1 6 x 6 (1 + 0 ) 6 x 6 x + 6x c) lim = = 2. = = lim = lim 2 x + x + 3 x + x 1 1 1 x + 3 (1 + 0 ) 3 2 lim 1 + 3 1 + 3x 1 + x + 3x 3x 3x
2
produziram respostas distintas (como era esperado, por isso que indetermina o!) Voc deve ter notado que para resolver indetermina es deste tipo a id ia colocar o termo de maior grau em evid ncia no numerador e no denominador.
Observamos que nas tr s situa