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x2 - 1 Exemplo 2. Determine lim g( x ) , onde g( x ) = . x 1 x -1 0 que uma indetermina o matem tica! Quando a vari vel x est cada vez 0 mais pr xima de 1, a fun o g est cada vez mais pr xima de quanto? Devemos ent o simplificar a express o da fun o g e depois fazer a substitui o direta. Observe que g (1) = g (x ) = x 2 - 1 ( x - 1)( x + 1) = ( x + 1), x 1 Ent o: = x-1 x -1 x2 - 1 Logo, lim = 2. x 1 x -1 (x - 1)(x + 1) = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 . x2 - 1 lim g ( x ) = lim = lim x 1 x 1 x - 1 x 1 x 1 x -1 Chegamos mesma conclus o da an lise feita pelas tabelas de aproxima es, por m de uma forma mais r pida e sistem tica. N o mais utilizaremos as tabelas de aproxima es para casos semelhantes a este! x2 - 1 x2 - 1 est = 2 significa que a fun o g( x ) = x 1 x -1 x -1 t o pr xima de 2 assim como x est suficientemente pr ximo de 1, por m diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso: Vale lembrar que a express o lim Gr fico da fun o g( x ) = x2 - 1 , x 1. x -1 lvaro Fernandes 5 Exemplo3. Determine lim x 1 0 x -1 (observe a indetermina o matem tica ). 0 x -1 2 lim x 1 x -1 x -1 x +1 = lim 2 = lim x 1 x - 1 x -1 x + 1 x 1 2 (x - 1) (x - 1)(x + 1)( x +1 ) = lim x 1 (x + 1)( 1 x +1 ) = 1 . 4 Se voc construir as tabelas de aproxima es, constatar que g(x) est cada vez mais pr ximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1. Exemplo 4. Determine lim x 2 0 x3 - 8 (observe a indetermina o matem tica ). 2 3 x - 12 0 x3 - 23 x3 - 8 = lim = lim lim x 2 3 x 2 - 12 x 2 3 x 2 - 4 x 2 ( ( ) ) (x - 2 )(x 2 + 2 x + 4 ) = lim x 2 3( x - 2 )( x + 2 ) (x 2 + 2 x + 4 12 = =1 3( x + 2 ) 12 ) Defini o intuitiva de limite. Seja f uma fun o definida num intervalo I contendo a, exceto possivelmente no pr prio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a L , e escrevemos lim f ( x ) = L , se, e somente se, os limites laterais esquerda e direita de a s o iguais L, isto , lim- f ( x ) = lim+ f ( x ) = L . Caso contr rio, dizemos que o limite n o existe, em xa xa s mbolo lim f ( x ) . xa x a Proposi o (unicidade do limite). Se lim f ( x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 , ent o L1 = L2 . Se o limite de uma fun o num ponto existe, xa xa ent o ele nico. Principais propriedades dos limites. Se lim f (x ) e lim g ( x ) existem, e k um n mero real qualquer, ent o: x a x a a) lim [ f ( x ) g ( x )] = lim f (x ) lim g ( x ) . xa xa xa b) lim k . f ( x ) = k .lim f ( x ) . xa xa c) lim [ f (x ) g (x )] = lim f ( x ) lim g (x ) . xa x a xa d) lim xa f ( x ) lim f ( x ) = xa , lim g ( x ) 0 . g (x ) lim g ( x ) x a xa e) lim k = k . xa lvaro Fernandes 6 Exemplo 5. Calcule lim 3x 2 - 6 usando as propriedades. x2 2 x + 4 2 3x 2 - 6 3 x2 - 2 3 x 2 - 2 3 lim x - 2 3 2 3 x2 lim = = . = lim = lim = x2 2 x + 4 x 2 2( x + 2 ) 2 x 2 x + 2 2 lim x + 2 2 4 4 x2 ( ) Obter amos este resultado substituindo diretamente: lim 3 x 2 - 6 3.2 2 - 6 12 - 6 6 3 = = = = . x2 2 x + 4 2(2 ) + 4 4+4 8 4 Atividades (grupo 1). Calcule os limites abaixo: 4-x 2+x 2 a) lim x -2 b) lim x 3 x - 4x + 3 x2 - x - 6 2 x3 - 1 c) lim x 1 5 x - 5 d) lim g) lim 8 + x3 x -2 4 - x 2 1 - x2 x+ 2+ x e) lim x2 x 4 - 16 8 - x3 2- x-3 x 2 - 49 f) lim x 1 x -1 x -1 3- 5+ x 1- 5 - x x -1 h) lim x 7 i) lim x 4 Atividades (grupo 2). Calcule os limites indicados: x 2 - 1, x 0 a) f ( x ) = , x + 1, x 0 calcule: lim f ( x ) , lim f ( x ) e lim f ( x ) . x -1 x 2 x 0 b) g( x ) = x2 , x 2 3 , x = 2 , calcule: lim g( x ) . x2 4 - x 2 , x 1 c) h( x ) = , 5 - 2 x , x 1 2 x , x 0 d) l ( x ) = 1 - x 2 , 0 x 2 , 2 x - 6 , x 2 calcule: lim h( x ) . x 1 calcule: lim l ( x ), lim l ( x ), lim l ( x ) e x 0 x2 x - x + lim l ( x ) . lvaro Fernandes 7 Limites infinitos Quando resolvemos um limite e n o encontramos como resposta valores num ricos, mas sim infinito ( + ou - ), dizemos ent o que o limite infinito. Exemplo 6. Calcule lim x -1 x2 - 1 . x -1 x2 - 1 0 , encontramos = 0. x -1 -2 0 Esta n o uma situa o especial. Sempre que na substitui o de x ocorrer , k 0 , o resultado k do limite ser sempre zero, naturalmente. Neste caso, quando fazemos a substitui o de x por - 1 na express o E se na substitui o do valor de x ocorrer k , k 0? 0 Vamos analisar esta situa o num caso particular e depois formalizar uma regra. Exemplo 7. Estude o seguinte limite: lim x 0 1 . x Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer s tabelas de aproxima es: Aproxima o do zero pela direita (nota o x 0 + ) x f(x)=1/x 1 1 0,1 10 0,01 100 0,001 1000 0,0001 10.000 Cada vez que tomamos x suficientemente pr ximo de zero (pela direita), f ( x ) = 1 x cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situa o assim: lim+ 1 = + x x 0 Aproxima o do zero pela esquerda (nota o x 0 - ) x f(x)=1/x -1 -1 -0,1 -10 -0,01 -100 -0,001 -1000 -0,0001 -10.000 Cada vez que tomamos x suficientemente pr ximo de zero (pela esquerda), f ( x ) = 1 x decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situa o assim: lim- 1 = - x lim x 0 x 0 Conclus o: Como os limites laterais s o distintos, ent o 1 . x Veja ao lado o gr fico da fun o f ( x ) = 1 x . lvaro Fernandes 8 Regra (generaliza o) Se no c lculo de um limite ocorrer uma situa o do tipo k k 0 + = + , k 0 e 0 + = - , k 0. k k - = - , k 0 e = + , k 0. 0- 0 k , k 0 , ent o: 0 Desta tabela podemos perceber que k Se o denominador tende ao infinito com o =0. numerador constante, a raz o se aproxima de zero. Como veremos agora. Limites no infinito Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma fun o quando a vari vel x cresce indefinidamente ( x + ) ou quando ela decresce indefinidamente ( x - ). Em algumas situa es, a fun o se aproxima de um valor num rico (figura 1), noutros pode tamb m crescer indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3). Exemplo 8. Na figura 1: x + 1 lim + 1 = 0 + 1 = 1 , na figura 2: x 2 lim (- x + 4 ) = - . x + x + lim ( x + 1) = + e na figura 3: A tabela abaixo apresenta situa es de soma e produto de infinitos que usaremos com freq encia. ( ) ( ) = + (m ) ( ) = - ( ) + ( ) = ( ) - ( ) = ? indetermina o! ( ) k = , se k 0 ( ) k = m , se k 0 e se k * , ent o . ( ) + k = ( ) - k = lvaro Fernandes 9 Vale ressaltar ainda que, se n um natural n o nulo, ent o: lim x n = + x + e + , n par. lim x n = x - - , n mpar. Atividades (grupo 3). Calcule os limites: a) lim x2 x2 x-2 b) lim x 3 (x - 3) 2x - 4 2 c) lim x 3 (x - 3) 2x - 7 2 d) lim 5 - 2x3 + 6 x + 3 x 2 Atividades (grupo 4). Calcule os limites: a) lim+ x 5 3- x x-5 b) lim- x2 3-x 2 x + x -6 c) lim- x -5 x 2 - 10 2 x + 10 d) lim+ x 1 x-2 x +x-2 2 Express es indeterminadas Vimos que 0 uma express o de indetermina o matem tica. Tamb m s o: 0 e 0 . , - , 0 , 1 , 0 0 Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros ser o tratados em cap tulos posteriores. A indetermina o do tipo . Exemplo 9. Calcule os limites abaixo: a) lim x3 + 1 x + 5 x 2 + 3 b) lim x2 + 1 x + x 4 + x c) lim 1 + x2 x + x 2 + x Podemos observar que estas express es geram indetermina es do tipo , pois quando x + as express es do numerador e denominador tamb m tendem a + . N o podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: 1 1 1 lim x 1 + 3 x 1 + 3 x3 1 + 3 x + x +1 x + (1 + 0 ) + x x = = = + = = lim = lim lim x + x + x + 5 x 2 + 3 3 3 3 5(1 + 0 ) 5 2 5 1 + 2 lim 5 1 + 2 5x 1 + 2 5x 5 x x + 5x 3 a) x2 1 + x +1 b) lim 4 = lim x + x + x + x x4 1 + 2 1 x2 1 x3 = lim x + 1 1 lim 1 + 2 1 + 2 x + (1 + 0 ) = 1 = 0 . x x = = 1 + (1 + 0 ) + 1 x 2 1 + 3 lim x 2 1 + 3 x + x x 10 lvaro Fernandes 1 1 1 lim 1 + 2 61 + 2 6 x2 1 + 2 6x +1 6 x 6 (1 + 0 ) 6 x 6 x + 6x c) lim = = 2. = = lim = lim 2 x + x + 3 x + x 1 1 1 x + 3 (1 + 0 ) 3 2 lim 1 + 3 1 + 3x 1 + x + 3x 3x 3x 2 produziram respostas distintas (como era esperado, por isso que indetermina o!) Voc deve ter notado que para resolver indetermina es deste tipo a id ia colocar o termo de maior grau em evid ncia no numerador e no denominador. Observamos que nas tr s situa