Limites e Derivadas

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REA 1 - Faculdade de Ci ncia e Tecnologia Cursos de Engenharia C lculo Diferencial e Integral I Professor: lvaro Fernandes Serafim
ax a ln lim 1 + = 25 . x x + Qual o valor de a ?
Apostila de limites e derivadas
"Uma grande descoberta envolve a solu o de um grande problema, mas h uma semente de descoberta na solu o de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; por m, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso voc o resolva sozinho, ent o voc poder experimentar a tens o e o prazer do triunfo da descoberta" George Polya ltima atualiza o: 02/06/2006
ndice
Limite e continuidade. 3 No o intuitiva de limite. 3 Tabelas de aproxima es. 4 C lculo de uma indetermina o do tipo 0/0. 5 Defini o intuitiva de limite. 6 Propriedades dos limites. 6 Limites infinitos. 8 Limites no infinito. 9 Express es indeterminadas. 10 Limite fundamental exponencial. 12 Limite fundamental trigonom trico. 14 Fun es limitadas. 16 Continuidade. 18 Aplica o 1: Problema da rea sob o arco de uma par bola. 20 Aplica o 2: Problema do circuito RL em s rie. 21 Derivada. 22 A reta tangente. 22 A reta normal. 25 A derivada de uma fun o num ponto. 25 Derivadas laterais. 26 Regras de deriva o. 28 Derivada da fun o composta (Regra da cadeia). 30 Derivada da fun o inversa. 32 Derivada das fun es elementares. 33 Derivada da fun o exponencial. 33 Derivada da fun o logar tmica. 34 Derivada das fun es trigonom tricas. 34 Derivada das fun es trigonom tricas inversas. 37 Tabela de derivadas. 39 Derivadas sucessivas. 40 Derivada na forma impl cita. 42 Derivada de uma fun o na forma param trica. 47 Diferencial. 51 Aplica es da derivada. 53 A regra de L'Hospital. Interpreta o cinem tica da derivada. Taxa de varia o. An lise gr fica das fun es. M ximos e m nimos. Fun es crescentes e decrescentes. Crit rios para determinar os extremos de uma fun o. Concavidade e inflex o. Ass ntotas horizontais e verticais. Esbo o gr fico. Problemas de otimiza o. 53 55 58 61 61 63 65 67 69 72 77
lvaro Fernandes
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Limite e continuidade
No o Intuitiva de limite Considere a fun o f ( x ) = x 2 - 1. Esta fun o est definida para todo x , isto , qualquer que seja o n mero real
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REA 1 - Faculdade de Ci ncia e Tecnologia Cursos de Engenharia C lculo Diferencial e Integral I Professor: lvaro Fernandes Serafim
ax a ln lim 1 + = 25 . x x + Qual o valor de a ?
Apostila de limites e derivadas
"Uma grande descoberta envolve a solu o de um grande problema, mas h uma semente de descoberta na solu o de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; por m, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso voc o resolva sozinho, ent o voc poder experimentar a tens o e o prazer do triunfo da descoberta" George Polya ltima atualiza o: 02/06/2006
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Limite e continuidade. 3 No o intuitiva de limite. 3 Tabelas de aproxima es. 4 C lculo de uma indetermina o do tipo 0/0. 5 Defini o intuitiva de limite. 6 Propriedades dos limites. 6 Limites infinitos. 8 Limites no infinito. 9 Express es indeterminadas. 10 Limite fundamental exponencial. 12 Limite fundamental trigonom trico. 14 Fun es limitadas. 16 Continuidade. 18 Aplica o 1: Problema da rea sob o arco de uma par bola. 20 Aplica o 2: Problema do circuito RL em s rie. 21 Derivada. 22 A reta tangente. 22 A reta normal. 25 A derivada de uma fun o num ponto. 25 Derivadas laterais. 26 Regras de deriva o. 28 Derivada da fun o composta (Regra da cadeia). 30 Derivada da fun o inversa. 32 Derivada das fun es elementares. 33 Derivada da fun o exponencial. 33 Derivada da fun o logar tmica. 34 Derivada das fun es trigonom tricas. 34 Derivada das fun es trigonom tricas inversas. 37 Tabela de derivadas. 39 Derivadas sucessivas. 40 Derivada na forma impl cita. 42 Derivada de uma fun o na forma param trica. 47 Diferencial. 51 Aplica es da derivada. 53 A regra de L'Hospital. Interpreta o cinem tica da derivada. Taxa de varia o. An lise gr fica das fun es. M ximos e m nimos. Fun es crescentes e decrescentes. Crit rios para determinar os extremos de uma fun o. Concavidade e inflex o. Ass ntotas horizontais e verticais. Esbo o gr fico. Problemas de otimiza o. 53 55 58 61 61 63 65 67 69 72 77
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Limite e continuidade
No o Intuitiva de limite Considere a fun o f ( x ) = x 2 - 1. Esta fun o est definida para todo x , isto , qualquer que seja o n mero real c, o valor f (c ) est bem definido. Exemplo 1. Se x = 2 ent o f ( 2) = 2 2 - 1 = 3 . Dizemos que a imagem de x = 2 o valor f (2 ) = 3 . Graficamente:
x2 - 1 . Esta fun o est definida x -1 x - {1} . Isto significa que n o podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. Considere agora uma outra fun o g( x ) = g (1) = 12 - 1 0 = ? 1-1 0
0 simboliza uma indetermina o matem tica. Outros tipos de indetermina es matem ticas 0 ser o tratados mais adiante.
Qual o comportamento gr fico da fun o g quando x assume valores muito pr ximos de 1, por m diferentes de 1? A princ pio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma fun o numa vizinhan a de um ponto (que pode ou n o pertencer ao seu dom nio). No caso da fun o f, qualquer valor atribu do a x determina uma nica imagem, sem problema algum. Mas na fun o g, existe o ponto x = 1 que gera a indetermina o.
x2 - 1 quando x assume valores pr ximos x -1 (numa vizinhan a) de 1, mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar tabelas de aproxima es.
Estudemos os valores da fun o g( x ) =
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Tabelas de aproxima es As tabelas de aproxima es s o utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma fun o (se existir) quando a vari vel x se aproxima de um determinado ponto. Atribuindo a x valores pr ximos de 1, por m menores do que 1: (tabela A)
x g(x)
0 1
0,5 1,5
0,75 1,75
0,9 1,9
0,99 1,99
0,999 1,999
0,9999 1,9999
Atribuindo a x valores pr ximos de 1, por m maiores do que 1: (tabela B)
x g(x)
2 3
1,5 2,5
1,25 2,25
1,1 2,1
1,01 2,01
1,001 2,001
1,0001 2,0001
Observemos que podemos tornar g(x) t o pr ximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente pr ximo de 1. De outra forma, dizemos: "O limite da fun o g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 igual a 2". Simbolicamente escrevemos: lim g( x ) = 2
x 1
ou
lim
x 1
x2 - 1 = 2. x -1
Observa es: 1) Os dois tipos de aproxima es que vemos nas tabelas A e B s o chamados de limites laterais.
Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x 1- . Temos ent o que:
x2 - 1 =2 lim g( x ) = 2 ou lim x 1- x 1- x -1
Obs: O sinal negativo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do n mero 1 pela esquerda.
Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x 1+ . Temos ent o que: x2 - 1 lim g( x ) = 2 ou lim =2 x 1+ x 1+ x -1
Obs: O sinal positivo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do n mero 1 pela direita.
2) Se a fun o g se aproximasse de valores distintos medida que x se aproximasse lateralmente de 1, pela esquerda e pela direita, ent o dir amos que o limite da fun o g n o existiria neste ponto, simbolicamente lim g( x ) .
x 1
3) O limite da fun o g(x) quando x se aproxima de 1, somente existe se os limites laterais s o iguais. Simbolicamente:
lim g( x ) = 2 se, e somente se, lim g( x ) = lim g( x ) = 2 . - +
x 1 x 1 x 1
Ser necess rio sempre construir tabelas de aproxima es para determinar o limite de uma fun o, caso ele exista? N o! H uma forma bem mais simples, como veremos a seguir.
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C lculo de uma indetermina o do tipo
0 0
0 , deveremos simplificar* a 0 express o da fun o envolvida. Logo ap s, calculamos o limite da fun o substituindo, na express o j simplificada, o valor de x.
Sempre que nos depararmos com uma indetermina o do tipo * Para simplificar a express o voc deve utilizar fatora o, racionaliza o, dispositivo pr tico de Briot-Ruffini para dividir polin mios, etc. Vejamos os exemplos seguintes.x2 - 1 Exemplo 2. Determine lim g( x ) , onde g( x ) = . x 1 x -1 0 que uma indetermina o matem tica! Quando a vari vel x est cada vez 0 mais pr xima de 1, a fun o g est cada vez mais pr xima de quanto? Devemos ent o simplificar a express o da fun o g e depois fazer a substitui o direta.
Observe que g (1) =
g (x ) =
x 2 - 1 ( x - 1)( x + 1) = ( x + 1), x 1 Ent o: = x-1 x -1 x2 - 1 Logo, lim = 2. x 1 x -1
(x - 1)(x + 1) = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2 . x2 - 1 lim g ( x ) = lim = lim x 1 x 1 x - 1 x 1 x 1 x -1
Chegamos mesma conclus o da an lise feita pelas tabelas de aproxima es, por m de uma forma mais r pida e sistem tica. N o mais utilizaremos as tabelas de aproxima es para casos semelhantes a este!
x2 - 1 x2 - 1 est = 2 significa que a fun o g( x ) = x 1 x -1 x -1 t o pr xima de 2 assim como x est suficientemente pr ximo de 1, por m diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso:
Vale lembrar que a express o lim Gr fico da fun o g( x ) =
x2 - 1 , x 1. x -1
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Exemplo3. Determine lim
x 1
0 x -1 (observe a indetermina o matem tica ). 0 x -1
2
lim
x 1
x -1 x -1 x +1 = lim 2 = lim x 1 x - 1 x -1 x + 1 x 1
2
(x - 1) (x - 1)(x + 1)(
x +1
)
= lim
x 1
(x + 1)(
1
x +1
)
=
1 . 4
Se voc construir as tabelas de aproxima es, constatar que g(x) est cada vez mais pr ximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1.
Exemplo 4. Determine lim
x 2
0 x3 - 8 (observe a indetermina o matem tica ). 2 3 x - 12 0
x3 - 23 x3 - 8 = lim = lim lim x 2 3 x 2 - 12 x 2 3 x 2 - 4 x 2
(
(
) )
(x - 2 )(x 2 + 2 x + 4 ) = lim x 2 3( x - 2 )( x + 2 )
(x
2
+ 2 x + 4 12 = =1 3( x + 2 ) 12
)
Defini o intuitiva de limite.
Seja f uma fun o definida num intervalo I contendo a, exceto possivelmente no pr prio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a L , e escrevemos lim f ( x ) = L , se, e somente se, os limites laterais esquerda e direita de a s o iguais L, isto , lim- f ( x ) = lim+ f ( x ) = L . Caso contr rio, dizemos que o limite n o existe, em
xa xa
s mbolo
lim f ( x ) .
xa
x a
Proposi o (unicidade do limite).
Se lim f ( x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 , ent o L1 = L2 . Se o limite de uma fun o num ponto existe,
xa xa
ent o ele nico.
Principais propriedades dos limites.
Se lim f (x ) e lim g ( x ) existem, e k um n mero real qualquer, ent o:
x a x a
a) lim [ f ( x ) g ( x )] = lim f (x ) lim g ( x ) .
xa xa xa
b) lim k . f ( x ) = k .lim f ( x ) .
xa xa
c) lim [ f (x ) g (x )] = lim f ( x ) lim g (x ) .
xa x a xa
d) lim
xa
f ( x ) lim f ( x ) = xa , lim g ( x ) 0 . g (x ) lim g ( x ) x a
xa
e) lim k = k .
xa
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Exemplo 5. Calcule lim
3x 2 - 6 usando as propriedades. x2 2 x + 4
2 3x 2 - 6 3 x2 - 2 3 x 2 - 2 3 lim x - 2 3 2 3 x2 lim = = . = lim = lim = x2 2 x + 4 x 2 2( x + 2 ) 2 x 2 x + 2 2 lim x + 2 2 4 4 x2
(
)
Obter amos este resultado substituindo diretamente: lim
3 x 2 - 6 3.2 2 - 6 12 - 6 6 3 = = = = . x2 2 x + 4 2(2 ) + 4 4+4 8 4
Atividades (grupo 1).
Calcule os limites abaixo:
4-x 2+x
2
a) lim
x -2
b) lim
x 3
x - 4x + 3 x2 - x - 6
2
x3 - 1 c) lim x 1 5 x - 5
d) lim
g) lim
8 + x3 x -2 4 - x 2
1 - x2 x+ 2+ x
e) lim
x2
x 4 - 16 8 - x3 2- x-3 x 2 - 49
f) lim
x 1
x -1 x -1 3- 5+ x 1- 5 - x
x -1
h) lim
x 7
i) lim
x 4
Atividades (grupo 2).
Calcule os limites indicados:
x 2 - 1, x 0 a) f ( x ) = , x + 1, x 0
calcule: lim f ( x ) , lim f ( x ) e lim f ( x ) .
x -1 x 2 x 0
b) g( x ) =
x2 , x 2 3 , x = 2
,
calcule: lim g( x ) .
x2
4 - x 2 , x 1 c) h( x ) = , 5 - 2 x , x 1
2 x , x 0 d) l ( x ) = 1 - x 2 , 0 x 2 , 2 x - 6 , x 2
calcule: lim h( x ) .
x 1
calcule: lim l ( x ), lim l ( x ), lim l ( x ) e
x 0 x2 x -
x +
lim l ( x ) .
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Limites infinitos
Quando resolvemos um limite e n o encontramos como resposta valores num ricos, mas sim infinito ( + ou - ), dizemos ent o que o limite infinito.
Exemplo 6. Calcule lim
x -1
x2 - 1 . x -1
x2 - 1 0 , encontramos = 0. x -1 -2 0 Esta n o uma situa o especial. Sempre que na substitui o de x ocorrer , k 0 , o resultado k do limite ser sempre zero, naturalmente.
Neste caso, quando fazemos a substitui o de x por - 1 na express o
E se na substitui o do valor de x ocorrer
k , k 0? 0
Vamos analisar esta situa o num caso particular e depois formalizar uma regra.
Exemplo 7. Estude o seguinte limite: lim
x 0
1 . x
Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer s tabelas de aproxima es: Aproxima o do zero pela direita (nota o x 0 + )
x f(x)=1/x 1 1 0,1 10 0,01 100 0,001 1000 0,0001 10.000
Cada vez que tomamos x suficientemente pr ximo de zero (pela direita), f ( x ) = 1 x cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situa o assim:
lim+ 1 = + x
x 0
Aproxima o do zero pela esquerda (nota o x 0 - )
x f(x)=1/x -1 -1 -0,1 -10 -0,01 -100 -0,001 -1000 -0,0001 -10.000
Cada vez que tomamos x suficientemente pr ximo de zero (pela esquerda), f ( x ) = 1 x decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situa o assim:
lim- 1 = - x lim
x 0
x 0
Conclus o: Como os limites laterais s o distintos, ent o
1 . x
Veja ao lado o gr fico da fun o f ( x ) = 1 x .
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Regra (generaliza o)
Se no c lculo de um limite ocorrer uma situa o do tipo
k k 0 + = + , k 0 e 0 + = - , k 0. k k - = - , k 0 e = + , k 0. 0- 0
k , k 0 , ent o: 0
Desta tabela podemos perceber que
k Se o denominador tende ao infinito com o =0. numerador constante, a raz o se aproxima de zero. Como veremos agora.
Limites no infinito
Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma fun o quando a vari vel x cresce indefinidamente ( x + ) ou quando ela decresce indefinidamente ( x - ). Em algumas situa es, a fun o se aproxima de um valor num rico (figura 1), noutros pode tamb m crescer indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3).
Exemplo 8.
Na figura 1:
x +
1 lim + 1 = 0 + 1 = 1 , na figura 2: x 2 lim (- x + 4 ) = - .
x +
x +
lim ( x + 1) = +
e na figura 3:
A tabela abaixo apresenta situa es de soma e produto de infinitos que usaremos com freq encia.
( ) ( ) = + (m ) ( ) = - ( ) + ( ) = ( ) - ( ) = ? indetermina o!
( ) k = , se k 0 ( ) k = m , se k 0 e se k * , ent o . ( ) + k = ( ) - k =
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Vale ressaltar ainda que, se n um natural n o nulo, ent o:
lim x n = +
x +
e
+ , n par. lim x n = x - - , n mpar.
Atividades (grupo 3). Calcule os limites:
a) lim
x2
x2 x-2
b) lim
x 3
(x - 3)
2x - 4
2
c) lim
x 3
(x - 3)
2x - 7
2
d) lim
5 - 2x3 + 6 x + 3 x 2
Atividades (grupo 4). Calcule os limites:
a) lim+
x 5
3- x x-5
b) lim-
x2
3-x 2 x + x -6
c) lim-
x -5
x 2 - 10 2 x + 10
d) lim+
x 1
x-2 x +x-2
2
Express es indeterminadas
Vimos que
0 uma express o de indetermina o matem tica. Tamb m s o: 0
e 0 .
, - , 0 , 1 , 0 0
Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros ser o tratados em cap tulos posteriores.
A indetermina o do tipo
.
Exemplo 9. Calcule os limites abaixo:
a) lim
x3 + 1 x + 5 x 2 + 3
b) lim
x2 + 1
x + x 4 + x
c) lim
1 + x2
x + x 2 + x
Podemos observar que estas express es geram indetermina es do tipo
, pois quando x + as express es do numerador e denominador tamb m tendem a + . N o podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:
1 1 1 lim x 1 + 3 x 1 + 3 x3 1 + 3 x + x +1 x + (1 + 0 ) + x x = = = + = = lim = lim lim x + x + x + 5 x 2 + 3 3 3 3 5(1 + 0 ) 5 2 5 1 + 2 lim 5 1 + 2 5x 1 + 2 5x 5 x x + 5x
3
a)
x2 1 + x +1 b) lim 4 = lim x + x + x + x x4 1 +
2
1 x2 1 x3
= lim x +
1 1 lim 1 + 2 1 + 2 x + (1 + 0 ) = 1 = 0 . x x = = 1 + (1 + 0 ) + 1 x 2 1 + 3 lim x 2 1 + 3 x + x x
10
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1 1 1 lim 1 + 2 61 + 2 6 x2 1 + 2 6x +1 6 x 6 (1 + 0 ) 6 x 6 x + 6x c) lim = = 2. = = lim = lim 2 x + x + 3 x + x 1 1 1 x + 3 (1 + 0 ) 3 2 lim 1 + 3 1 + 3x 1 + x + 3x 3x 3x
2
produziram respostas distintas (como era esperado, por isso que indetermina o!) Voc deve ter notado que para resolver indetermina es deste tipo a id ia colocar o termo de maior grau em evid ncia no numerador e no denominador.
Observamos que nas tr s situaes analisadas as indetermina es do tipo
Atividades (grupo 5).
1. Calcule os limites abaixo: a) lim
2x3 - 1 x + 5 x 3 + x + 1
b) lim
x +
x 5 + 3x 2 2x + 1
c) lim
x2 + 2x3 x - 5 x + 3 - x 4
d) lim
x2 x - 1 - 5 x 2
A indetermina o do tipo - Exemplo 10. Calcule os limites abaixo:
a) lim x 2 - x 3 .
x +
b) lim 5 x 2 + x .
x -
Podemos observar que estas express es geram indetermina es do tipo - , mas n o podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: Usando a mesma t cnica da indetermina o anterior.
1 a) lim x 2 - x 3 = lim - x 3 - + 1 = -(0 + 1) = -(1) = - . x + x + x 7 1 b) lim x + 5 x 2 + 7 = lim 5 x 2 + 1 + 2 = +(0 + 1 + 0 ) = +(1) = + . x - x - 5x 5x
Atividades (grupo 6).
1. Calcule os limites abaixo: a) lim x 5 - x 3 + 2 x .
x +
b) lim x 4 + 5 x - 6 .
x -
A indetermina o do tipo 0 Exemplo 11. Calcule os limites abaixo:
a) lim
x +
2 2 (x + 1) . x3
b) lim
3 x
x +
(x ) .
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Podemos observar que estas express es geram indetermina es do tipo 0 , mas n o podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: a) lim
2 2 2 (x + 1) = xlim 2 xx 3+ 2 = . Transformamos a indetermina o 0 em / . Da voc + x3
x +
j sabe! 2x 2 + 2 . = lim = . = 0 . x + x3 b) lim 3
x x t cnica da racionaliza o:
x +
(x ) = xlim +
3x
= . Novamente transformamos a indetermina o para / . Usando a
. = lim
3x x
x +
= lim
3x x
x +
x x
= lim
3x x = lim 3 x = 3(+ ) = + . x + x + x
Atividades (grupo 7).
1. Calcule os limites abaixo: a) lim 1
x +
(x 2 + 3). x
2 2 b) lim x - 25 . x5 + x-5
(
)
Limite fundamental exponencial (a indetermina o do tipo 1)
O n mero e tem grande import ncia em diversos ramos das ci ncias, pois est presente em v rios fen menos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de popula es de bact rias, desintegra o radioativa (data o por carbono), circuitos el tricos, etc. Na rea de economia, aplicado no c lculo de juros. Foi o Matem tico Ingl s Jonh Napier (1550-1617) o respons vel pelo desenvolvimento da teoria logar tmica utilizando o n mero e como base. O n mero e irracional, ou seja, n o pode ser escrito sob forma de fra o, e vale aproximadamente: e 2,7182818 Como o n mero e encontrado em diversos fen menos naturais, a fun o exponencial f ( x ) = e considerada uma das fun es mais importantes da matem tica, merecendo aten o especial de cientistas de diferentes reas do conhecimento humano.
x
Proposi o:
lim 1 + x
1 = e. x
x
A prova desta proposi o envolve no es de s ries. Utilizaremos o recurso das tabelas de aproxima es e gr fico para visualizar este resultado.
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Tabela x 100 1000 100.000 M x + Fa a uma tabela para x - . Gr fico: 1 f (x ) = 1 + x 2,7048. 2,7169. 2,7182. M f(x) e
x
Exemplo 12. Calcule os limites abaixo:
a) lim 1 + x +
1 . x
5x
3 b) lim 1 - . x - x
4x
Nestes dois casos percebemos indetermina es do tipo 1 . Vejamos as solu es.
1 a) lim 1 + x + x
5x x x 1 1 = lim 1 + = lim 1 + = e 5 . x + x x x + 5 5
b) Neste caso, usaremos uma mudan a de vari vel. Fa a x = -3t . Se x - ent o t + .
3 Logo, lim 1 - x - x
4x
3 = lim 1 - t + - 3t
4 ( -3 t )
1 = lim 1 + t + t
-12 t
t 1 = lim 1 + t t +
-12
= e -12 .
Atividades (grupo 8).
1. Calcule os limites abaixo:
7 a) lim 1 + x x+
2x
.
b) lim 1 - x -
2 . x
5x
x + 1 c) lim . x + x - 1
2x
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Conseq ncias importantes do limite fundamental exponencial:
i) lim (1 + x )
x 0
1x
= e.
ii) lim
x 0
ax -1 = ln(a ), a 0 e a 1 . x
Atividades (grupo 9). Resolva os dois limites acima com as sugest es a seguir:
1 e use o limite fundamental exponencial. t No item (ii) fa a a mudan a de vari vel a x - 1 = t e use o item (i). No item (i) fa a a mudan a de vari vel x =
Atividades (grupo 10).
1. Resolva os limites abaixo: a) lim (1 + 2 x ) .
1x x 0
b) lim
x 0
3x - 1 . x
c) lim
x 0
ex - 1 . 4x
d) lim
x 0
ex - 2x . x
Limite fundamental trigonom trico
0 0 envolvendo a fun o trigonom trica y = sen( x ) . Este limite muito importante, pois com ele resolveremos outros problemas. O limite fundamental trigonom trico trata de um limite cuja indetermina o do tipo
Proposi o:
lim
x0
sen( x ) = 1. x
A fun o f ( x ) =
sen( x ) par, isto , f (- x ) = f ( x ) , x 0 , pois x f (- x ) = sen(- x ) - sen(x ) sen( x ) = = = f (x ) . -x -x x
Se x 0 + ou x 0 - , f ( x ) apresenta o mesmo valor num rico. Vamos utilizar a tabela de aproxima o para verificar este resultado. Tabela x f (x ) = sen( x ) x
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 10-10 M x0
0.9983341664683. 0.9999833334167. 0,9999998333333. 0,9999999983333. 0,9999999999833. 0,9999999999999. M f (x ) 1
14
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Visualizando o gr fico da fun o f ( x ) =
sen( x ) , podemos perceber tamb m este resultado. x
Exemplo 13. Calcule os limites abaixo:
a) lim
x 0
sen(2 x ) . x
b) lim
x 0
sen(5 x ) . sen(3 x )
c) lim
cos( x ) - 1 . x 0 x
d) lim
tg ( x ) . x 0 x
Solu es: a) lim
x 0
sen(2 x ) sen(2 x ) sen(2 x ) = lim 2 = 2 lim = . x 0 x 0 x 2x 2x
Fa a 2 x = t . Se x 0 ent o t 0 . Logo: . = 2 lim
t 0
sen(t ) = 2(1) = 2 . t sen(kx ) = 1 . Vamos usar este resultado agora: kx
De uma forma geral, k * , lim
x 0
sen(5 x ) sen(5 x ) 5x lim sen(5 x ) 5 x 0 5 x 5 1 5 b) lim = lim 5 x = = = . x 0 sen(3 x ) x 0 sen(3 x ) sen(3 x ) 3 1 3 3 3x lim x 0 3x 3x
c) lim
x 0
cos( x ) - 1 cos( x ) - 1 cos( x ) + 1 cos 2 ( x ) - 1 - sen 2 ( x ) = lim = lim = lim = x 0 x x cos( x ) + 1 x 0 x[cos( x ) + 1] x 0 x[cos( x ) + 1]
= lim
x 0
sen( x ) - sen(x ) 0 = 1 =0. x cos( x ) + 1 1 + 1 tg ( x ) sen( x ) sen(x ) 1 sen( x ) 1 1 = lim = lim = lim lim = 1 = 1 . x 0 x cos ( x ) x 0 x 0 x 0 cos ( x ) x x cos( x ) x 1
d) lim
x 0
Atividades (grupo 11).
1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonom trico fundamental: a) lim sen(4 x ) . 3x b) lim
1 - cos( x ) x
2
x 0
x 0
.
2e x + 6 sen( x ) - 2 . c) lim x 0 3x
d) lim
x 0
6 x - sen( x ) . 2 x + 3 sen( x )
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15
Fun es limitadas Defini o: Uma fun o y = f ( x ) chamada limitada, se existe uma constante k * , tal que f ( x ) k , x D( f ) , isto , - k f ( x ) k , x D( f ) . Em outras palavras, y = f ( x ) possui o
conjunto imagem contido num intervalo de extremos reais. Obs.: D( f ) significa o dom nio da fun o f.
Exemplo 14. Algumas fun es limitadas e seus gr ficos.
f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x)
f(x) = k
f(x) = sen(2x2+3x-1)
Proposi o: Se lim f ( x ) = 0 e g ( x ) uma fun o limitada, ent o lim f ( x ).g ( x ) = 0 .
xa ou x xa ou x
Exemplo 15.
a) Calcule lim Solu o:
sen( x ) . x + x
1 sen( x ) = lim sen( x ) = * = 0 x + x + x x lim * Usando a proposi o: Se x + ent o resultado zero. Gr fico da fun o f ( x ) = sen( x ) : x 1 0 . Como a fun o sen(x ) limitada, ent o o x
Observe que as oscila es v o reduzindo a sua amplitude quando x + . O resultado do limite permanece o mesmo se x - .
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16
b) Calcule lim
x +
cos( x ) . x
Solu o: de forma an loga. 1 cos( x ) = lim cos( x ) = 0 . x + x + x x lim Gr fico da fun o f ( x ) = cos( x ) : x
Observe que, da mesma forma que a fun o anterior, as oscila es v o reduzindo a sua amplitude quando x + . O resultado do limite permanece o mesmo se x - . x+1 c) Calcule lim 2 cos( x ) . x + x + 1 x+1 x+1 lim 2 cos(x ) = 0 . = 0 (Por qu ?) e cos( x ) uma fun o limitada. Logo, lim 2 x + x + 1 x + x + 1 x+1 Gr fico da fun o f ( x ) = 2 cos( x ) : x + 1
Atividades (grupo 12).
1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de fun o limitada: a) lim e x sen( x ) .
x -
b) lim
x +
3 cos(x ) + 2 x . 2x
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Continuidade Defini o: Seja x0 um ponto do dom nio de uma fun o f. Dizemos que f cont nua no ponto x0 se:
x x0
lim f ( x ) = f ( x0 ) .
Exemplo 16. A fun o do exemplo 1 (p g. 3) cont nua no ponto x0 = 2 , pois lim f ( x ) = f (2 ) = 3 . Na verdade esta fun o cont nua em , isto , em todos os pontos da reta
x2
(do seu dom nio).
Exemplo 17. Algumas fun es que n o s o cont nuas no ponto x0 :
a)
b)
c)
Pois. a) n o existe lim f ( x ) , apesar de f ( x0 ) existir, neste caso f ( x0 ) = L ;
x x0
b) existe
x x0
lim f (x ) f ( x0 ) ;
x x0
x x0
lim f ( x ) , isto
x x0
lim f ( x ) = L1 . Existe
f ( x0 ) , neste caso
f ( x0 ) = L2 , mas
c) n o existe lim f ( x ) , apesar de f ( x0 ) existir, neste caso f ( x0 ) = L .
Exemplo 18. Verifique se as fun es abaixo s o cont nuas nos pontos indicados:
1 - x2 , x 1 x -1 2 2x - 2 b) g ( x ) = , x 1 1- x 1 - 5 x , x = 1
x 2 - 16 , x4 8 - 2x a) f ( x ) = , 2 x - 4 , x = 4
x0 = 4 .
,
x0 = 1 .
(x - 4 )(x + 4 ) = lim - (x + 4 ) = -4 . x 2 - 16 = lim x4 x4 8 - 2 x x 4 2(4 - x ) 2 Calculando a imagem, temos: f (4 ) = 2(4 ) - 4 = 4 . Como lim f ( x ) f (4 ) , ent o a fun o n o
Solu es: a)
Calculando o limite, temos: lim
x 4
cont nua (ou descont nua) no ponto x0 = 4 .
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18
b) Calculando o limite, temos: 1 - x2 x -1 = lim+
x 1
x 1
lim+
(1 - x )(1 + x )
x -1
x +1 x +1
= lim+
x 1
(1 - x )(1 + x )(
x -1
x +1
) = lim
x 1+
- (1 + x ) x + 1 = -4
(
)
x 1
lim-
2x2 - 2 2(x 2 - 1) = lim- = 2 lim- x 1 x 1 1- x 1- x
(x - 1)(x + 1) = 2 lim
1- x
x 1
x 1 -
- ( x + 1) = 2(- 2 ) = -4
Como os limites laterais s o iguais, temos que lim g ( x ) = -4 . Calculando a imagem, temos: g (1) = 1 - 5(1) = -4 . Como lim g ( x ) = g (1) , ent o a fun o cont nua no ponto x0 = 1 .
x 1
Atividades (grupo 13).
Determine, se poss vel, a constante a de modo que as fun es abaixo sejam cont nuas no ponto x o , sendo:
3ax 2 + 2 , x 1 (xo = 1) . a) f ( x ) = x - 2, x 1
ax 2 + 2 , x 1 (x o = 1) . b) g ( x ) = 2 a , x = 1
Atividades (grupo 14).
Determine, se poss vel, as constantes a e b de modo que as fun es abaixo sejam cont nuas no ponto x o , sendo:
3 x - 3, x -3 ( x o = -3 ) . c) f ( x ) = ax , x = -3 bx 2 + 1, x -3
Propriedades das fun es cont nuas.
2a. cos( + x ) + 1, x 0 (xo = 0 ) . d) g ( x ) = 7 x - 3a , x = 0 b - 2 x 2 , x 0
Se as fun es f e g s o cont nuas em um ponto x0 , ent o: i) f g cont nua em x0 ; ii) f
.
g cont nua em x0 ;
iii) f / g cont nua em x0 desde que g ( x0 ) 0 .
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1. Problema da rea sob o arco da par bola y = x 2 no intervalo [0 , 1] (). M todo dos ret ngulos.
. Dividindo o intervalo [0 , 1] em n subintervalos, cada subintervalo ter comprimento 1 n : 1 1o subintervalo 0 , , n 1 2 2o subintervalo , , n n Obs.: n = 1. n
2 3 n - 1 n , . 3o subintervalo , , . , no subintervalo n n n n
Vamos construir ret ngulos () cujas bases s o ao subintervalos e cujas alturas s o as imagens dos extremos direito* de cada subintervalo pela fun o y = x 2 : a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremo direito.
*
. Calculando as rea desses ret ngulo ( A = b.h ), obtemos: A1 = 1 12 , n n2 A2 = 1 22 , n n2 A3 = 1 32 , . , n n2 An =
.
1 n2 . n n2
A rea total desses ret ngulos ( Atn ) nos d uma aproxima o da rea () que queremos calcular:
1 12 2 2 3 2 n2 Atn = Ai = 2 + 2 + 2 + L + 2 nn n n n i =1
n
1 12 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 = n n2
=
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20
=
1 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(2 n + 1) . = n 6n2 6n3
Obs.: A soma 1 2 + 2 2 + 3 2 + . + n 2 conhecida pela f rmula [n(n + 1)(2 n + 1)] 6 .
Vejamos alguns resultados para alguns valores crescentes de n:
n Atn
6 () 0,421296
10 0,385000
100 0,338350
1.000 0,333834
10.000 0,333383
100.000 0,333338
A rea exata que estamos procurando () calculada pelo limite:
n +
lim ATn = lim
n +
n(n + 1)(2 n + 1) 1 = = 0 ,3 . (Calcule este limite e mostre que igual a 1/3) 3 6n3
2. Problema do circuito RL em s rie.
No circuito da figura 4, temos uma associa o em s rie de um resistor (s mbolo R) e um indutor (s mbolo L). Da segunda lei de Kirchhoff (lei das voltagens) e do estudo das equa es diferenciais, pode-se mostrar que a corrente i no circuito dada por
- t E i (t ) = + c.e L , R R
(1)
onde E uma bateria de voltagem fixa, c uma constante real e t o tempo.
Unidade de resist ncia: ohm. Unidade de indut ncia: henry.
.
Exerc cio 1: Se uma bateria de 12 volts conectada a um circuito em s rie (como na fig. 4) no qual o indutor de 1/2 henry e o resistor de 10 ohms, determine o valor da constante c e a corrente i (t ) . Considere a corrente inicial e o tempo inicial iguais a zero. Exerc cio 2: Determine lim i (t ) , sendo i (t ) da equa o (1).
t +
Obs.: Quando t + o termo c.e L da equa o (1) se aproxima de zero. Tal termo usualmente denominado de corrente transit ria. A raz o E/R chamada de corrente estacion ria. Ap s um longo per odo de tempo, a corrente no circuito governada praticamente pela lei de Ohm E = Ri .
R - t
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21
Derivada
A reta tangente.
Suponha que a reta r da figura v se aproximando da circunfer ncia at toc -la num nico ponto.
Na situa o da figura 4, dizemos que a reta r tangente a circunfer ncia no ponto P. Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas:
Fig. 5
Fig. 6
Fig. 7
Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4.
Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. Exemplos de retas que n o s o tangentes (no ponto Q) a algumas curvas:
Fig. 8
Fig. 9.
Estas retas n o tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da circunfer ncia (fig. 4). Elas "cortam" , "penetram" as curvas.
lvaro Fernandes 22
Vamos determinar a equa o da reta tangente a uma fun o (uma curva) num ponto do seu dom nio. Seja y = f ( x ) uma curva definida no intervalo (a , b ) . Considere P( xo , y o ) , sendo y o = f ( x o ) , um ponto fixo e Q(x , y ) um ponto m vel, ambos sobre o gr fico de f. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q. Seja t a reta tangente ao gr fico de f no ponto P.
y = y - y o x = x - xo
Considerando o tri ngulo ret ngulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como
tg ( ) = y y - y o . = x x - x o
Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gr fico de f em dire o ao ponto P. Desta forma, a reta s se aproximar da reta t. O ngulo se aproximar do ngulo , e ent o, a tg ( ) se aproximar da tg ( ) . Usando a nota o de limites, f cil perceber que
lim tg () = tg ( ) .
Q P
Mas quando Q P temos que x xo . Desta forma, o limite acima fica
y - yo f (x ) - f (xo ) = lim = tg ( ) . x - x o x xo x - xo
Q P
lim tg () = tg ( )
x xo
lim
Assim lim
x xo
f (x ) - f (xo ) = tg ( ) . x - xo
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23
Defini o: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gr fico. O coeficiente angular m da reta tangente ao gr fico de f no ponto P dado pelo limite
m = lim
x xo
f (x ) - f (xo ) , quando este existir. x - xo
m = tg ( ) y o = f ( xo )
Equa o da reta tangente
Podemos agora determinar a equa o da reta tangente t, pois j conhecemos o seu coeficiente angular e um ponto do seu gr fico P( xo , y o ) . A equa o da reta tangente t : a) ( y - y o ) = m(x - xo ) , se o limite que determina m existir; b) A reta vertical x = xo se lim
f (x ) - f (xo ) for infinito. x - xo
x xo
Exemplo 19. Determine a equa o tangente a par bola f ( x ) = x 2 no ponto de abscissa xo = 1 .
Solu o: Temos que determinar dois termos y o e m.
y o = f ( xo ) y o = f (1) = 12 = 1 . f ( x ) - f ( xo ) f ( x ) - f (1) x2 - 1 m = lim = lim = lim =L = 2. x xo x 1 x 1 x - 1 x - xo x -1
Logo a equa o da reta tangente ( y - 1) = 2( x - 1) ou
y = 2x - 1 .
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24
Equa o da reta normal Defini o: Seja y = f ( x ) uma curva e P( xo , y o ) um ponto sobre o seu gr fico. A reta normal (n) ao gr fico de f no ponto P a reta perpendicular a reta tangente (t).
( ) ( ) -1 (x - xo ) , sendo que m = xlim f x - f xo 0 . xo x - xo m Se m = 0 , ent o a equa o da reta normal a reta vertical x = xo . f (x ) - f (xo ) Se lim for infinito, ent o a reta normal horizontal e tem equa o y = y o . x xo x - xo
A equa o da reta normal ( y - y o ) =
Atividades (grupo 15).
Determine a equa o da reta tangente e da reta normal ao gr fico das fun es abaixo nos pontos indicados. Esboce os gr ficos das fun es com as retas. a) f ( x ) = x 3 no ponto de abscissa xo = 1 . b) f ( x ) = x no ponto de abscissa xo = 4 .
A derivada de uma fun o num ponto
O limite lim
x xo
f (x ) - f (xo ) muito importante, porisso receber uma denomina o especial. x - xo
Defini o: Seja y = f ( x ) uma fun o e xo um ponto do seu dom nio. Chama-se derivada da fun o f no ponto xo e denota-se f ' ( xo ) (l -se f linha de xo ), o limite
f ' ( xo ) = lim f (x ) - f (xo ) , quando este existir. x - xo
x xo
Forma alternativa para derivada:
Se fizermos x = x - xo , obtemos a seguinte forma para f ' ( xo ) :
f ' ( xo ) = lim f ( xo + x ) - f ( xo ) . x
x 0
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25
Outras nota es para a derivada da fun o y = f ( x ) num ponto x qualquer:
y' ( x ) (l -se: y linha de x); D x f (l -se: derivada da fun o f em rela o x); dy (l -se: derivada de y em rela o x). dx
Exemplo 20. Dada a fun o f ( x ) = x 2 - x + 1 , determine f ' (2 ) . Use as duas formas da defini o.
Usando f ' ( xo ) = lim
f (x ) - f (xo ) x - xo
x xo
:
f ' (2 ) = lim
x2
(x - 2 )(x + 1) = lim (x + 1) = 3 . f ( x ) - f (2 ) x2 - x + 1 - 3 x2 - x - 2 = lim = lim = lim x2 x2 x2 x2 x-2 x-2 x-2 x-2
f ( xo + x ) - f ( xo ) : x
2
Usando f ' ( xo ) = lim
x 0
f ' (2 ) = lim
x 0
(2 + x ) - (2 + x ) + 1 - 3 = lim 4 + 4 x + x 2 - 2 - x - 2 = f (2 + x ) - f (2 ) = lim x 0 x 0 x x x
= lim
3x + x 2 x(3 + x ) = lim (3 + x ) = 3 + 0 = 3 . = lim x 0 x 0 x 0 x x
Teorema: Toda fun o deriv vel num ponto cont nua neste ponto. Atividades (grupo 16).
1. Determine a equa o da reta tangente curva y = 5 - x 2 , que seja perpendicular reta y = 3 + x . 2. Determine a equa o da reta normal curva y = x 3 , que seja paralela reta 3 y + x = 0 .
Derivadas laterais
Lembre-se que o limite de uma fun o num ponto somente existe se os limites laterais existem e s o iguais. Como a derivada de uma fun o num ponto um limite, esta derivada somente existir em condi es an logas.
Defini o: Seja y = f ( x ) uma fun o e xo um ponto do seu dom nio. A derivada direita de f em xo , denotada por f + ' (xo ) definida por
f + ' ( xo ) = lim+
x xo
f (x ) - f (xo ) . x - xo
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Defini o: Seja y = f ( x ) uma fun o e xo um ponto do seu dom nio. A derivada esquerda de f em xo , denotada por f - ' ( xo ) definida por
f - ' ( xo ) = lim-
x xo
f (x ) - f (xo ) . x - xo
Uma fun o deriv vel num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda) existem e s o iguais neste ponto. Exemplo 21. Considere a fun o f ( x ) = x + 1 . Mostre que esta fun o cont nua no ponto
x = -1 mas n o deriv vel neste ponto.
f cont nua neste ponto pois lim f ( x ) = lim x + 1 = - 1 + 1 = 0 = 0 = f (- 1) .
x -1 x -1
x + 1, x -1 Sabemos que f ( x ) = x + 1 = - x - 1, x -1 . Vamos calcular f ' (- 1) : 0 , x = -1 f + ' (- 1) = lim+
x -1
f ( x ) - f (- 1) x +1-0 x+1 = lim+ = lim+ = lim+ (1) = 1 . x -1 x -1 x + 1 x -1 x+1 x+1 f ( x ) - f (- 1) - x -1-0 - ( x + 1) = lim- = lim- = lim- (- 1) = -1 . x -1 x -1 x -1 x+1 x+1 x+1
f - ' (- 1) = lim-
x -1
Como as derivadas laterais s o distintas conclu mos que n o existe f ' (- 1) . Veja o gr fico da fun o f ( x ) = x + 1 .
N o existe reta tangente ao gr fico desta fun o no ponto x0 = -1 .
Obs.: Quando as derivadas laterais existem e s o diferentes num ponto, dizemos que este um ponto anguloso do gr fico da fun o. Neste caso, n o existe reta tangente num ponto anguloso.
No exemplo acima a fun o f ( x ) = x + 1 tem um ponto anguloso em x = -1 .
Atividades (grupo 17). Verifique se a fun o abaixo tem derivada no ponto xo . Este ponto anguloso? Esboce o gr fico da fun o e constate.
2 1 - x , x 0 no ponto x o = 0 . a) f ( x ) = x e , x 0
2 x + x + 1, x 0 no ponto x o = 0 . b) g ( x ) = x e , x 0
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Regras de deriva o
Vamos apresentar algumas regras que ir o facilitar o c lculo das derivadas das fun es sem recorrer a defini o.
1. Derivada de uma fun o constante.
Se f ( x ) = c , c uma constante real, ent o f ' ( x ) = 0 . f ' ( x ) = lim
x 0
f ( x + x ) - f ( x ) c-c = lim = lim 0 = 0 . x 0 x x 0 x
2. Derivada da fun o pot ncia.
Se n um inteiro positivo e f ( x ) = x n , ent o f ' ( x ) = nx n -1 .
(x + x ) - x n f ( x + x ) - f ( x ) = lim Prova: f ( x ) = lim x 0 x 0 x x
n '
Usando o Bin mio de Newton para expandir ( x + x ) , obtemos
n
n(n - 1) n - 2 n 2 n -1 n n -1 n x + nx x + 2! x (x ) + . + nx(x ) + (x ) - x f ' ( x ) = lim = x 0 x n(n - 1) n - 2 n-2 n -1 x (x ) + . + nx(x ) + (x ) x nx n -1 + 2! = = lim x 0 x n(n - 1) n - 2 n-2 n -1 = lim nx n -1 + x (x ) + . + nx(x ) + (x ) = nx n -1 . x 0 2!
Exemplo 22. Calcule as derivadas das fun es abaixo:
a) f ( x ) = x
b) f ( x ) = x 2
c) f ( x ) = x 5
a) f ( x ) = x 1 f ' (x ) = 1x 1-1 = 1 . Logo f ' ( x ) = 1 . b) f ( x ) = x 2 f ' ( x ) = 2 x 2 -1 = 2 x . Logo f ' ( x ) = 2 x . c) f ( x ) = x 5 f ' ( x ) = 5 x 5 -1 = 5 x 4 . Logo f ' (x ) = 5 x 4 .
Obs.: Se n for um n mero inteiro negativo ou racional o resultado cont nua v lido. Atividades (grupo 18).
1. Mostre, usando a regra e a defini o, que a derivada da fun o f ( x ) = x -1 f ' ( x ) = - x -2 . 2. Mostre, usando a regra e a defini o, que a derivada da fun o f ( x ) = x f ' ( x ) = 1 2 x .
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3. Derivada do produto de uma constante por uma fun o.
Se f ( x ) uma fun o deriv vel e c uma constante real, ent o a fun o g ( x ) = cf ( x ) tem derivada dada por g' ( x ) = cf ' ( x ) .
Prova: g ( x ) = lim
x 0
g ( x + x ) - g ( x ) cf ( x + x ) - cf ( x ) c[ f ( x + x ) - f ( x )] = lim = lim = x 0 x 0 x x x
= c lim
x 0
f ( x + x ) - f ( x ) = cf ( x ) . x
Exemplo 23. Se f ( x ) = 5 x 3 ent o f ' ( x ) = 5 3 x 2 = 15 x 2 . 4. Derivada de uma soma de fun es.
( )
Se f ( x ) e g ( x ) s o fun o deriv veis, ent o a fun o h( x ) = f ( x ) + g ( x ) tem derivada dada por h' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) . Pesquise a demonstra o deste resultado num livro de c lculo.
Exemplo 24. Se f ( x ) = 4 x 3 + 3 x 2 - x + 5 ent o f ' ( x ) = 12 x 2 + 6 x - 1 . 5. Derivada de um produto de fun es.
Se f (x ) e g ( x ) s o fun o deriv veis, ent o a fun o h( x ) = f (x ) g ( x ) tem derivada dada por h' ( x ) = f ' (x ) g ( x ) + f ( x ) g' ( x ) . Pesquise a demonstra o deste resultado num livro de c lculo.
Exemplo 25.
Se f ( x ) = x 3 - x (2 - x ) ent o f ' ( x ) = 3 x 2 - 1 (2 - x ) + x 3 - x (0 - 1) = -4 x 3 + -6 x 2 + 2 x - 2 .
6. Derivada de um quociente de fun es.
(
)
(
)
(
)
Se f (x ) e g ( x ) s o fun o deriv veis, ent o a fun o h( x ) =
h' ( x ) = f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g' ( x )
f (x ) tem derivada dada por g (x )
[g (x )]2
.
Pesquise a demonstra o deste resultado num livro de c lculo.
(10 x ) (2 x ) - 5 x 2 - 8 (2 ) = . = 5 x 2 + 8 . 5x2 - 8 Exemplo 26. Se f (x ) = ent o f ' ( x ) = 2x 4x2 2x2
lvaro Fernandes 29
(
)
Atividades (grupo 19).
1. Usando as regras de deriva o, calcule as derivadas das fun es abaixo: a) f ( x ) = x -2 + 3 x + 1 . d) f ( x ) = x 2 - 3 2 x 3 . g) f ( x ) = x + x -2 + 6 . x+1 b) f ( x ) = x 8 e) f ( x ) = h) f ( x ) =
( ) (x + 3) .
5x - 3 3 + x. 2 2x . x -2
c) f ( x ) = 3 x 4 + x (6 - x ) . f) f ( x ) = x 1 4 (2 - x ) . i) f ( x ) = 4 x 3 1 - x 2 .
(
)
(
)
(
)
2. Determine os valores das constantes a e b na par bola f (x ) = ax 2 + b de modo que a reta de equa o y = 8 x + 4 seja tangente a par bola no ponto x = 2 .
Derivada da fun o composta (Regra da cadeia)
Considere agora a fun o composta gof ( x ) = g ( f ( x )) = (2 x + 1) . Como poderemos obter a derivada da fun o composta gof ( x ) sem desenvolver o Bin mio? A regra que veremos agora estabelece uma forma de obter a derivada da fun o composta em termos das fun es elementares f e g.
3
At o momento sabemos derivar a fun o g ( x ) = x 3 e tamb m a fun o f ( x ) = 2 x + 1 .
Regra da cadeia
Se y = g (u ) , u = f ( x ) e as derivadas
y = gof ( x ) = g ( f ( x )) tem derivada dada por
dy du
e
du existem, ent o a fun o composta dx
dy dy du = dx du dx
ou
y ( x ) = y (u ) u ( x )
ou
gof ( x ) = g ( f ( x )) f ( x ) .
As tr s formas acima s o equivalentes, mudam apenas as nota es.
Exemplo 27. Calcule a derivada das fun es abaixo:
a) y = (2 x + 1)
3
b) y = 5 x + 3
x c) y = 1 - 3x
5
Para calcular a derivada dessas fun es, precisamos identificar as fun es elementaresy = g (u ) e u = f ( x ) (cujas derivadas conhecemos) que formam a fun o composta e aplicar a regra. a) y = (2 x + 1)
y = u3 u = 2 x + 1
3
Ent o y (x ) = y (u ) u (x ) y ( x ) = 3u 2 2 = 3(2 x + 1) 2 = 6 (2 x + 1) .
2 2
Logo y ( x ) = 6 (2 x + 1) .
2
lvaro Fernandes
30
b) y = 5 x + 3
y = u u = 5 x + 3
Ent o y ( x ) = y (u ) u ( x ) y ( x ) =
1 2 u
(5 ) =
5 2 5x + 3
. Logo y ( x ) =
5 2 5x + 3
.
x c) y = 1 - 3x
y = u5 x u = 1 - 3x
5
(1)(1 - 3 x ) - ( x )(- 3 ) Ent o y ( x ) = y (u ) u ( x ) y ( x ) = 5u 4 = (1 - 3 x )2
4 5x4 x (1)(1 - 3 x ) - ( x )(- 3) . = = 5 (1 - 3 x )2 (1 - 3 x )6 1 - 3x
Logo y ( x ) =
(1 - 3 x )6
5x4
.
Proposi o: Se f ( x ) uma fun o deriv vel e n um n mero inteiro n o nulo, ent o
d [ f (x )]n = n[ f (x )]n-1 . f (x ) dx
Prova: Fazendo y = u n , onde u = f ( x ) e aplicando a regra da cadeia, temos
y ( x ) = y (u ) u ( x ) y ( x ) = nu n -1 f ( x ) y ( x ) = n[ f ( x )]
n -1
f (x ) .
A proposi o continua v lida se n for um n mero racional n o nulo.
Exemplo 28. Calcule a derivada da fun o y = 4 3 1 + x - x 3 .
Podemos escrever y = 4 1 + x - x 3
(
)
13
e calcular a derivada usando a proposi o acima:
y ( x ) = 4
1 1 + x - x3 3
(
)
-2 3
1 - 3x 2 .
(
)
Obs: Com a regra da proposi o acima poder amos calcular todos os exerc cios do exemplo 27. Mas a regra da cadeia mais completa, ela possibilitar a resolu o de outros problemas mais complicados.
lvaro Fernandes
31
Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das fun es abaixo:
a) y = 2 - x 3 . d)
(
)
6
b) y = x 4 - 2 . e)
(
)
-3
.
c) y = 2 x - 3 . f) y =
3
(1 - 3 x )2 y= (1 + 5 x )
(2 x )4 y= (1 - x )3
1 + 4x x+1
Derivada da fun o inversa
Se uma fun o y = f ( x ) admite uma fun o inversa x = f derivada dada por
-1
(y),
ent o a fun o inversa tem
( f ) ( y ) = f 1x ) , (
-1
f (x ) 0 .
Sabemos que f -1 of ( x ) = x . Aplicando a regra da cadeia, obtemos que f ( f - 1 ) ( y ) = 1 , desde que f (x ) 0 . f (x )
( ) ( f (x )) f (x ) = 1 , da
-1
Exemplo 29. Seja y = f ( x ) = 5 x 3 . Calcule a derivada f regra da derivada da inversa.
( ) (40 ) invertendo a fun o e usando a
-1
Invertendo a fun o: y = f (x ) = 5 x 3 x = f
Logo f
1 ( ) (40 ) = 3 40 5
-1 -1
(y) = 3
y y = . Assim f 5 5
13
1 y ( ) ( y ) = 3 5
-1
-2 3
1 5
-2 3
1 1 (8 )-2 3 = 1 2 3 = 1 . = 5 15 60 15(8 )
Usando a regra da derivada da inversa:
Se y = 40 e y = f ( x ) = 5 x 3 , ent o x = 3
40 3 = 8 = 2 . Como f ( x ) = 15 x 2 , obtemos 5
( f ) ( y ) = f 1x ) (
-1
( f ) (40 ) = f 12 ) = 1 ( 15(2 )
-1
2
=
1 . 60
lvaro Fernandes
32
Atividades (grupo 21).
1. Seja y = f ( x ) = 5 x - 3 . Calcule a derivada f 2. Seja y = f (x ) = x 2
( ) (2) usando a regra da derivada da inversa. , x 0 . Calcule a derivada ( f ) (3 ) usando a regra da derivada da inversa.
-1 -1
Derivada das fun es elementares.
Vamos agora apresentar as derivadas das fun es elementares do c lculo. S o elas as fun es exponenciais, logar tmicas, trigonom tricas e trigonom tricas inversas.
1. Derivada da fun o exponencial. Proposi o: Se f ( x ) = a x , (a 0 e a 1) , ent o f ( x ) = a x ln(a ) . Prova: f ( x ) = lim
x 0
a x + x - a x a x a x - 1 a x - 1 = lim = lim a x lim = a x ln(a ) . x 0 x 0 x 0 x x x
(
)
(
)
Lembre-se que lim
-1 = ln(a ) uma conseq ncia importante do limite fundamental x 0 x exponencial (item ii p g. 14).
(a
x
)
Caso particular: Se f ( x ) = e x , ent o f ( x ) = e x ln(e ) = e x , onde e o n mero neperiano. Exemplo 30. Determine a deriva da fun o y = 6 e
x
.
Usando a regra da cadeia, obtemos:
y = 6eu u = x
y ( x ) = y (u ) u ( x ) = 6 e u
1 2 x
=
3e
x
x
.
Atividades (grupo 22).
1. Calcule a derivada das fun es abaixo: a) f ( x ) = 2
x +1
.
b) f ( x ) = e .
2x
c) f (x ) = 3 x e
2
5 x +1
.
d) f ( x ) =
1 - x2 ex
2
.
2. Calcule a rea do tri ngulo ret ngulo sombreado na figura abaixo, sabendo-se que n a reta normal a f ( x ) = e x no ponto de abscissa x0 = 1 .
Resp.: e 3 2
lvaro Fernandes
33
2. Derivada da fun o logar tmica. Proposi o: Se f ( x ) = log a ( x ), (a 0 e a 1) , ent o f ( x ) = Prova: A fun o logar tmica
1 . x ln(a )
x = f -1 ( y ) = a y . Podemos ent o usar o resultado da derivada da fun o inversa para determinar f ( x ) . Assim: f (x ) =
y = f ( x ) = log a ( x )
a inversa da fun o exponencial
( )
-1
1 1 1 = y = . f ( y ) a ln(a ) x ln(a ) 1 1 = . x ln(e ) x
e 4 x +1 . ln( x )
Caso particular: Se f ( x ) = ln( x ) , ent o f (x ) =
Exemplo 31. Determine a deriva da fun o y =
f f g - fg Usando a regra da derivada do quociente = g g2 exponencial, obtemos:
e a regra da cadeia na fun o
(e
y =
Atividades (grupo 23).
4 x +1
1 4 [ln( x )] - e 4 x +1 x 2 [ln(x )]
)
(
)
1. Calcule a derivada das fun es abaixo: a) f ( x ) = 4 log 2 (5 x ) . b) f ( x ) = ln(2 x + 1) . c) f ( x ) = e 3 x ln x .
( )
d) f ( x ) =
ln(3 x ) . e- 2 x
3. Derivada das fun es trigonom tricas. Proposi o:
a) b) c) d)
y = sen( x ) y = cos( x ) y = tg ( x )
e) y = sec(x ) f) y = cos ec(x )
y = cot g ( x )
y = - cos ec (x ) . y = sec( x )tg (x ) . y = - cos ec( x ) cot g ( x ) .
2
y = sec 2 ( x ) .
y = cos( x ) . y = - sen( x ) .
Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens t m demonstra es an logas e ficam como exerc cio.
lvaro Fernandes
34
a) y = sen( x ) .
Aplicando a defini o.
y = lim = lim
x 0
sen(x + x ) - sen(x ) sen( x ) cos(x ) + sen(x ) cos( x ) - sen( x ) = lim = x 0 x x
x 0
sen(x ) cos( x ) + sen( x )[cos(x ) - 1] sen(x ) cos( x ) sen(x )[cos(x ) - 1] = lim + lim = x 0 x 0 x x x sen(x ) cos(x ) - 1 + sen( x ) lim = cos( x ) (1) + sen( x ) (0 ) = cos( x ) . x 0 x x
e
= cos( x ) lim
x 0
Lembre-se que lim
sen(x ) = 1 o limite trigonom trico fundamental x foi resolvido no exemplo 13 (c) da p g. 15.
x 0
x 0
lim
cos(x ) - 1 =0 x
c) y = tg ( x ) Como tg ( x ) = quociente:
sen( x ) e j sabemos a derivada fun o sen(x ) , podemos aplicar a derivada do cos( x )
y =
cos( x ) cos( x ) - sen( x )[- sen( x )] cos 2 ( x ) + sen 2 ( x ) 1 = = = sec 2 ( x