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P4 - Probabilidade e Estatística – 2011.2 Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. Professores: Reinaldo Castro Souza & Roxana Jimenez Contreras Problema 1 (2.0 pts) 1.1- (0,4 pt) Seja “X”uma v.a. contínua com E(X)=8 e DP(X)=2, onde DP(X) é o desvio padrão de X. Se Y=3X-6, quem é E(Y) e DP(Y). SOLUÇÃO R.: E(Y) = E(3X-6) = 3E(X) – E(6) = 24 – 6 E(y) = 18 DP(Y) = Var(Y) = Var(3X-6) = 9(Var(X))-Var(6) = 36 DP(Y) = = 6 1.2- (0,4 pt) Pelo que você aprendeu no curso, como você difere “probabilidade e “estatística”? SOLUÇÃO Probabilidade- A densidade (ou função de probabilidade) era inteiramente conhecida. Em Estatística, teremos uma amostra aleatória de uma distribuição com certos parâmetros desconhecidos, e procuraremos descobrir alguma coisa sobre estes parâmetros (Inferência dos dados) 1.3- (0.4 pt) Se X é uma v.a. (variável aleatória) discreta, descreva o domínio de X, caso X fosse: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson. SOLUÇÃO Bernoulli : x=0,1 Binomial : x=0,1,...,n Geométrica : x=1,2,.... Binomial Negativa : x= r, r+1, r+2, .... Poisson: x= 0,1,.... 1.4- (0,4 pt) Descreva como se faz uma transformação de uma v.a. (variável aleatória) pelo método de Jacobiano? Qual a restrição para a utilização deste método? SOLUÇÃO O método do Jacobiano é a aplicação pela fórmula: ,).()( dy dx xfyg “x “em função de “y” ∴ dy dx yfyg ).()( - A restrição é que a função seja injetora. 1.5- (0,4 pt) Seja X uma variável aleatória com distribuição 2 17 . Ache “a” e ”b” na tabela qui-quadrado, tais que: Pr [a<X<b] = 95% Pr [ X<a] = 2,5% g= grau de liberdade=17 SOLUÇÃO Pela tabela“χ2”,g= n-1=17 a= ? e b=? 0,025 (1-α)= 0,95 975,0 a= 7,56 b=30,2 - Intervalo de confiança [1-α] = 0,95 Problema 2 (1,5 pts) Em um experimento repetiu-se 10 vezes 15 testes independentes de Bernoulli (onde “p” de sucesso é desconhecido). Foram observados em cada uma dessas 10 repetições os seguintes números de sucessos: 12, 8, 6, 6, 10, 7, 3, 11, 7, 5. Chamamos este experimento de uma Distribuição Binomial, pede-se: a) (1,0 pt) Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro “p” deste modelo, mostrar todos os passos da solução. SOLUÇÃO X ~ binomial (n,Ɵ), n conhecido F(x) = p(X|n,Ɵ) = xnx x n 1.. Obtenção da função de verossimilhança “Ɵ” (Ɵ|X ,n) = ),( 1 nXpN i (Ɵ|X ,n) = N i xnx x n 1 1.. = N i xnx xnx n 1 1.. !! ! = N i xNn x i N i N i i xnx n 1 1 1 1.. !! ! Obtenção do Log-verossimilhança (Ɵ|X ,n) = ln (Ɵ|X ,n)] = ln N i xNn x i N i N i i xnx n 1 1 1 1.. !! ! = ln 1ln.ln.. )!(! ! 111 N i i N i i N i xNnx xnx n Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “Ɵ” 1ª derivada - 11 11 N i i N i i x Nn x L Iguala a zero - 0 L 0 11 11 N i i N i i x Nn x 01 11 N i i N i i xNnx 0 111 N i i N i i N i i xNnxx 0 1 Nnx N i i Nn x N i i 1 Substituir MV ˆ então n X MV ˆ b) (0,5 pt) Encontre a estimativa do parâmetro, “p ”. SOLUÇÃO 5 15 57113710668121 N x X N i i 5,0 10 5ˆ n X MV Problema 3(1.5 pts) Em um laboratório há três gaiolas. Na gaiola I há dois coelhos marrons e três brancos, a gaiola II tem 4 coelhos marrom e dois brancos e gaiola III contém 5 coelhos marrons e 5 brancos. Seleciona-se aleatoriamente uma gaiola e aleatoriamente retira-se um coelho para fora. I- (0,8 pt) Qual é a probabilidade do coelho escolhido ser marrom? SOLUÇÃO Gaiolas – “G” Coelhos Marrom – “CM” ( IG )- Gaiola I – 1/3 = Pr( 1G ) ( IIG )- Gaiola II – 1/3 = Pr( IIG ) ( IIIG )- Gaiola III – 1/3 = Pr( IIIG ) - Coelhos marrom na Gaiola I – = 2/5 - Coelhos marrom na Gaiola II - = 4/6 - Coelhos marrom na Gaiola III - = 5/10 Pede-se: I- Qual é a probabilidade do coelho escolhido ser marrom? Sendo “CM” o evento “ Coelho marrom” Então: CM = IM GC IIM GC IIIM GC Pr(CM )= IM GCPr IIM GCPr IIIM GC Pr Pr(CM) = x Pr( IG ) + x Pr( IIG ) + x Pr( IIIG ) Pr(CM) = 3 1 10 5 3 1 6 4 3 1 5 2 xxx (Pr(CM) = 0,5222 IM GC |Pr IIIM GC |Pr IIM GC |Pr IIM GC |Pr IIIM GC |Pr IM GC |Pr II- Dado que o coelho escolhido é marrom, qual a probabilidade dele pertencer a gaiolas I, II, III? Dado Coelho marrom, prob.está GI = : = Dado Coelho marrom, prob.está GII = Dado Coelho marrom, prob.está GIII : k j jjM iiM k j jjM Mi M Mi Mi GGC GGC GGC CG RC CG CG 11 Pr|Pr Pr|Pr Pr|Pr Pr Pr Pr |Pr M IMIM MI C GxGC CG Pr PrPr |Pr %92,31|Pr MIII CG %53,25 5222,0 3 1 5 2 x %55.42|Pr MII CG Problema 4 (2.6 pts) 4.1- (1.6 pts) Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta: 3 28 ),( y kx yxf , onde 0≤x≤2 e 0≤y≤2 a)- (0.4 pt) Encontre a constante “k” que faz desta expressão uma densidade. b)- (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de X. c)- (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de Y. d)- (0.4 pt) X e Y são independentes? Por que? Justifique. a) (0,4 pt) Encontre a constante “k” que faz desta expressão uma densidade. SOLUÇÃO 1.).,(),( 2 0 2 0 dydxyxfyxf y y x x 1. 8 2 0 2 0 3 2 dydx y kx y y x x 1. 3. 8 2 0 2 0 3 3 dy y kx y y 1 3 64 2 0 3 dy y k y y 1 .2 1 .. 3 64 2 0 2 y k 1 3 8 k 8 3 k 3 23 ),( y x yxf b) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . SOLUÇÃO dyyxfxf y y .),()( 2 0 , onde 2y0 e 2 x < 0 dy y x xf . 3 )( 2 0 3 2 2 0 2 2 2 .3)( y xxf 2 2 8 1 .3)( xxf 2 8 3 )( xxf 2y0 e 2 x < 0 onde, 8 ),( 3 2 y kx yxf c) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . SOLUÇÃO dxyxfyf x x .),()( 2 0 , onde 2y0 e 2 x < 0 dx y x yf x x . 3 )( 2 0 3 2 2 0 3 3 3 . 3 )( x y yf 3 8 )( y yf d) (0.4 pt) e são independentes? Por que? Justifique. SOLUÇÃO Para ser independentes: )().(),( yfxfyxf 3 23 ),( y x yxf 2 8 3 )( xxf 3 8 )( y yf 3 2 8. 8 3 )().( y xyfxf 3 23 )().( y x yfxf Conclusão: )().(),( yfxfyxf , então, X e Y são independentes. 4.2- (1.0 pts) Sejam e v.a.'s contínuas com: - Densidade conjunta : yyxyxf 3 2 . 9 2 ),( 2 , onde 0≤x≤1 e 0≤y≤3 - Densidade Marginal de X: - Densidade Marginal de Y: Pede-se: a) Encontre a densidade condicional de dado . SOLUÇÃO )( ),( )( xf yxf xXYf , onde ]1,( ]1,0( xy x 3 2 3 2 . 9 2 )( 2 2 x yyx xXYf 3 2.3 3 .2..3 . 9 2 )( 2 2. x yyx y xXYf yxXYf . 9 2 )( b) (0.7 pt) Ache a Variância condicional de dado . SOLUÇÃO 22 xXYExXYExXYVAR 1 x < 0 onde, 3 2 )( 2 xxf X 3y < 0 onde, 9 2 )( y yfY dyxyfyxXYE ).(. 3 0 dyyyxXYE . 9 .2 . 3 0 dyyxXYE . 9 .2 3 0 2 3 0 3 39 2 y xXYE 2 xXYE dyxyfyxXYE ).(. 3 0 22 dyyyxXYE . 9 .2 . 3 0 22 dyyxXYE . 9 .2 3 0 3 2 3 0 4 2 49 2 y xXYE 2 92 xXYE 22 xXYExXYExXYVAR 22 2 9 xXYVAR 2 1 xXYVAR Problema 5 ( 2.4 pts) 5.1- (0.8 pt) - Em uma certa loja de um shopping, verificou-se que o gasto médio mensal de 24 clientes foi de R$ 600, com um desvio padrão conhecido igual a R$ 250. Encontre intervalo de confiança 92% para o gasto médio desta população. SOLUÇÃO O intervalo de confiança ao nível de significância de 92%, , para a “σ”. X = 600 σ = 250 n=24 IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Conhecido - Caso I - TABELA “Z” - Intervalo de Confiança [1-α] = 92% Tabela “z” - 75,12/1 z (1-α)=0,92 04,0 2 75,121 z [ 510,70 ; 689,30 ] n zX n zX n zXIC 2/12/12/1 ; 24 250 75,1600; 24 250 75,160021 n zXIC n zXIC 2/1 5.2- (0.8 pt) Neste mesmo shopping, queremos saber se os gastos médios das duas lojas com o mesmo perfil, podem ser considerados estatisticamente idênticos. Tomou-se uma amostra de 12 clientes da loja “A” e de 14 clientes da loja “B”, obteve as seguintes estimativas: X A = R$700,00 , SA = R$15,00 X B = R$800,00 , SB = R$13,00 Encontre o Intervalo de confiança para a diferença das médias das duas lojas (μA – μB) ao nível de significância de 99%. O que você conclui? Os gastos médios nas duas lojas podem ser considerados estatisticamente iguais? SOLUÇÃO Loja “A”: n=12 X A = 700 SA= 15 Loja “B”: n=14 X B = 800 SB= 13 Intervalo de confiança para a diferença das médias: g = n + m – 2 = 24 tabela “T” - Intervalo de Confiança [1-α] = 99% Tabela “T” - 797,22/1;2 mnt (1-α)=0,99 005,0 2 797,22/1,24 t 24 13131511 . 14 1 12 1 22 xx R 2 )1()1(11 22 2 1 mn SnSm mn R RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ; 2 S.1S.1 . 11 2 B 2 A mn mn mn R [ -115,356 ; -84,644] Não, O Zero não está contido no Intervalo de Confiança , portando as médias de sua alturas não podem ser consideradas iguais ao nível de significância de 99%. 49,5R RtYXRtYXRtYXIC tmntmnt 2;22;22 ; IC 49,5797,280070021 xRtYXIC 5.3- (0.8 pt) Você é contratado pra auditar a pesquisa sobre as intenções de voto do segundo turno da eleição presidencial de 2010.. A pesquisa da Datafolha divulgou uma semana antes da eleição o seguinte resultado: a proporção dos eleitores que votam na Dilma é de 56% com uma margem de erro de ±3 (pontos percentuais), isso significa que o intervalo de confiança é IC=[53% , 59%]. Também foi divulgado que o número de pessoas ouvidas foi de 1200 pessoas. Deduza o grau de confiança (1-α) empregado nesta pesquisa, utilizando o Teorema Central do Limite. IC aproximado para a proporção de uma Binomial Intervalo de Confiança - [0.53 ; 0.59] n = 1200 = 0,56 Pr[-z1-a/2 < Z < z1-a/2] = 1-α = ? Pelo Teorema Central do Limite. ∴ ∴ ∴ Intervalo de confiança [1-α] = ? [1-α]=? α/2 Z1-α/2= 2,098 Pela tabela da distribuição Normal 1-α = 1- (2x0,0183) = 0,9634 = 96,34% )ˆ1(ˆ ˆ , )ˆ1(ˆ ˆ )ˆ1(ˆ ˆ 2/12/12/1 n pp zp n pp zp n pp zpIC )ˆ1(ˆ 56,053,0 2/1 n pp z )ˆ1(ˆ ˆ 2/1inf n pp zpIC 1200 44,056,0 56,053,0 2/1 x z 03,0)0143,0(2/1 z 098,22/1 z )ˆ1(ˆ ˆ , )ˆ1(ˆ ˆ 2/12/1 n pp zp n pp zp BOA SORTE!!! FORMULÁRIO PARA PROVA TEOREMA DE BAYES: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) Função de probabilidade: Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) Função de probabilidade: Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) Função de probabilidade: Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) Função de probabilidade: Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) Função de probabilidade: Distribuição Exponencial- X ~ Exp(λ) Função de probabilidade: 1)Pr()( 1 xx ppxXxf )1( )!(! ! )1(Pr)( xnxxnx pp xnx n pp x n xXxf .)Pr()( 1 pqxXxf x .. 1 1 )Pr()( rxr qp r x xXxf ! )Pr()( x e xXxf x 0 e 0 onde .exp.)( xxxf k j jj ii k j jj ii i BBA BBA BBA AB A AB AB 11 Pr|Pr Pr|Pr Pr|Pr Pr Pr Pr |Pr Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) Função de probabilidade: Se X ~ N(μ,σ2) )1,0(~ N X Z Intervalos de Confiança - onde a e b são tirados da tabela qui- quadrado com (n-1) graus de liberdade R 0 onde . 2 1 )( 22 2 2 2 eexf x n zX n zX n zXIC 2/12/12/1 ; n s tX n s tX n s tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; )ˆ1(ˆ ˆ , )ˆ1(ˆ ˆ )ˆ1(ˆ ˆ 2/12/12/1 n pp zp n pp zp n pp zpIC RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ; 2 )1()1(11 22 2 1 mn SnSm mn R aaSnbSn 1]/)1(/)1Pr[( 222 Tabelas
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