SOLUÇÃO-P4-PROBEST_2011-2

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P4 - Probabilidade e Estatística – 2011.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza & Roxana Jimenez Contreras 
 
 
Problema 1 (2.0 pts) 
1.1- (0,4 pt) Seja “X”uma v.a. contínua com E(X)=8 e DP(X)=2, onde DP(X) é o 
desvio padrão de X. Se Y=3X-6, quem é E(Y) e DP(Y). 
 
SOLUÇÃO 
R.: E(Y) = E(3X-6) 
 = 3E(X) – E(6) 
 = 24 – 6 
 E(y) = 18 
 
 DP(Y) = 
 Var(Y) = Var(3X-6) 
 = 9(Var(X))-Var(6) 
 = 36 
 DP(Y) = = 6 
 
1.2- (0,4 pt) Pelo que você aprendeu no curso, como você difere “probabilidade e 
“estatística”? 
SOLUÇÃO 
 
Probabilidade- A densidade (ou função de probabilidade) era inteiramente 
conhecida. 
Em Estatística, teremos uma amostra aleatória de uma distribuição com certos 
parâmetros desconhecidos, e procuraremos descobrir alguma coisa sobre estes 
parâmetros (Inferência dos dados) 
 
 
1.3- (0.4 pt) Se X é uma v.a. (variável aleatória) discreta, descreva o domínio de X, 
caso X fosse: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson. 
 
SOLUÇÃO 
Bernoulli : x=0,1 
Binomial : x=0,1,...,n 
Geométrica : x=1,2,.... 
Binomial Negativa : x= r, r+1, r+2, .... 
Poisson: x= 0,1,.... 
 
 
 
 
 
 
1.4- (0,4 pt) Descreva como se faz uma transformação de uma v.a. (variável aleatória) 
pelo método de Jacobiano? Qual a restrição para a utilização deste método? 
 
SOLUÇÃO 
 
O método do Jacobiano é a aplicação pela fórmula: 
 
,).()(
dy
dx
xfyg 
 “x “em função de “y” ∴ 
dy
dx
yfyg ).()( 
 
- A restrição é que a função seja injetora. 
 
 
 
1.5- (0,4 pt) Seja X uma variável aleatória com distribuição 
2
17
. Ache “a” e ”b” na 
tabela qui-quadrado, tais que: 
Pr [a<X<b] = 95% 
Pr [ X<a] = 2,5% 
g= grau de liberdade=17 
 
SOLUÇÃO 
 
Pela tabela“χ2”,g= n-1=17 
 
a= ? e b=? 
 
 
 0,025 
 (1-α)= 0,95 
 
 
 
 975,0 
 
 a= 7,56 b=30,2 
 
- Intervalo de confiança [1-α] = 0,95 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 (1,5 pts) 
Em um experimento repetiu-se 10 vezes 15 testes independentes de Bernoulli (onde “p” de 
sucesso é desconhecido). Foram observados em cada uma dessas 10 repetições os 
seguintes números de sucessos: 12, 8, 6, 6, 10, 7, 3, 11, 7, 5. 
Chamamos este experimento de uma Distribuição Binomial, pede-se: 
a) (1,0 pt) Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro “p” deste 
modelo, mostrar todos os passos da solução. 
SOLUÇÃO 
 
X ~ binomial (n,Ɵ), n conhecido 
F(x) = p(X|n,Ɵ) = 
  xnx
x
n 






 1..
 
 
Obtenção da função de verossimilhança “Ɵ” 
 
 (Ɵ|X ,n) = 
),(
1
nXpN
i 
 
 (Ɵ|X ,n) = 
  






N
i
xnx
x
n
1
1.. 
 = 
 
  



N
i
xnx
xnx
n
1
1..
!!
! 
 
 = 
 
  











N
i
xNn
x
i
N
i
N
i
i
xnx
n
1
1
1 1..
!!
! 
 
 
Obtenção do Log-verossimilhança 
 
 (Ɵ|X ,n) = ln (Ɵ|X ,n)] 
 
 = ln 
 
 

















 



N
i
xNn
x
i
N
i
N
i
i
xnx
n
1 1
1 1..
!!
! 
 
 
 = ln
  














1ln.ln..
)!(!
!
111
N
i
i
N
i
i
N
i
xNnx
xnx
n
 
 
Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “Ɵ” 
 
1ª derivada - 
   







11
11
N
i
i
N
i
i x
Nn
x
L 
Iguala a zero - 
0

L
 
 
 
   
0
11
11 







N
i
i
N
i
i x
Nn
x
 

 
  01
11
 


N
i
i
N
i
i xNnx
 
 
0
111
 


N
i
i
N
i
i
N
i
i xNnxx
 
 
0
1


Nnx
N
i
i
 

 
Nn
x
N
i
i
 1 
 Substituir 
MV ˆ
 então 
n
X
MV ˆ
 
 
b) (0,5 pt) Encontre a estimativa do parâmetro, “p ”. 
 
SOLUÇÃO 
 
5
15
57113710668121 




N
x
X
N
i
i 
 
5,0
10
5ˆ 
n
X
MV
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3(1.5 pts) 
Em um laboratório há três gaiolas. Na gaiola I há dois coelhos marrons e três brancos, a 
gaiola II tem 4 coelhos marrom e dois brancos e gaiola III contém 5 coelhos marrons e 5 
brancos. Seleciona-se aleatoriamente uma gaiola e aleatoriamente retira-se um coelho para 
fora. 
 
I- (0,8 pt) Qual é a probabilidade do coelho escolhido ser marrom? 
 
SOLUÇÃO 
 
Gaiolas – “G” 
Coelhos Marrom – “CM” 
 
(
IG
)- Gaiola I – 1/3 = Pr(
1G
) 
(
IIG
)- Gaiola II – 1/3 = Pr(
IIG
) 
(
IIIG
)- Gaiola III – 1/3 = Pr(
IIIG
) 
 
- Coelhos marrom na Gaiola I – = 2/5 
 
- Coelhos marrom na Gaiola II - = 4/6 
 
- Coelhos marrom na Gaiola III - = 5/10 
 
 
Pede-se: 
 
I- Qual é a probabilidade do coelho escolhido ser marrom? 
 
 
Sendo “CM” o evento “ Coelho marrom” 
 
Então: 
 CM = 
  IM GC   IIM GC  IIIM GC 
 
 
Pr(CM )= 
  IM GCPr   IIM GCPr  IIIM GC Pr
 
 
Pr(CM) = x Pr(
IG
) + x Pr(
IIG
) + x Pr(
IIIG
) 
 
Pr(CM) = 


















3
1
10
5
3
1
6
4
3
1
5
2
xxx
 
 
(Pr(CM) = 0,5222 
 
 IM GC |Pr
 IIIM GC |Pr
 IIM GC |Pr
 IIM GC |Pr  IIIM GC |Pr IM GC |Pr
 
 
II- Dado que o coelho escolhido é marrom, qual a probabilidade dele pertencer a 
gaiolas I, II, III? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado Coelho marrom, prob.está GI = : = 
 
 
 
 
 
Dado Coelho marrom, prob.está GII = 
 
 
 Dado Coelho marrom, prob.está GIII : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
   






k
j
jjM
iiM
k
j
jjM
Mi
M
Mi
Mi
GGC
GGC
GGC
CG
RC
CG
CG
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr
 
   
 M
IMIM
MI
C
GxGC
CG
Pr
PrPr
|Pr 
  %92,31|Pr MIII CG
%53,25
5222,0
3
1
5
2








x
  %55.42|Pr MII CG
 
 
Problema 4 (2.6 pts) 
 
4.1- (1.6 pts) Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta: 
 
3
28
),(
y
kx
yxf 
 , onde 0≤x≤2 e 0≤y≤2 
a)- (0.4 pt) Encontre a constante “k” que faz desta expressão uma densidade. 
b)- (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de X. 
c)- (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de Y. 
d)- (0.4 pt) X e Y são independentes? Por que? Justifique. 
 
 
a) (0,4 pt) Encontre a constante “k” que faz desta expressão uma densidade. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
1.).,(),(
2
0
2
0
  




dydxyxfyxf
y
y
x
x
 
 
1.
8
2
0
2
0
3
2






 




dydx
y
kx
y
y
x
x
 

 
1.
3.
8
2
0
2
0
3
3









dy
y
kx
y
y
 
 
1
3
64
2
0
3









dy
y
k
y
y
 

 
1
.2
1
..
3
64
2
0
2






 y
k
 

 
1
3
8

 k
 

 
8
3
k
 
 
 
3
23
),(
y
x
yxf


 
 
b) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
SOLUÇÃO 
 
dyyxfxf
y
y
.),()(
2
0




 , onde 
2y0 e 2 x < 0 
 
dy
y
x
xf .
3
)(
2
0
3
2
 






 

 2
0
2
2
2
.3)( 







y
xxf
 

 2
2
8
1
.3)(

 xxf
 
 
2
8
3
)( xxf 
 
2y0 e 2 x < 0 onde,
8
),(
3
2

y
kx
yxf
 
 
 
c) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
SOLUÇÃO 
 
dxyxfyf
x
x
.),()(
2
0




 , onde 
2y0 e 2 x < 0 
 
dx
y
x
yf
x
x
.
3
)(
2
0
3
2










 

 2
0
3
3 3
.
3
)( 





x
y
yf
 

 
3
8
)(
y
yf


 
 
 
d) (0.4 pt) e são independentes? Por que? Justifique. 
 
SOLUÇÃO 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
3
23
),(
y
x
yxf


 
2
8
3
)( xxf 
 
3
8
)(
y
yf


 













3
2 8.
8
3
)().(
y
xyfxf
 

 
3
23
)().(
y
x
yfxf


 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y são independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2- (1.0 pts) Sejam e v.a.'s contínuas com: 
 
- Densidade conjunta : 






 yyxyxf
3
2
.
9
2
),( 2
 , onde 0≤x≤1 e 0≤y≤3 
 
- Densidade Marginal de X: 
 
 
 
- Densidade Marginal de Y: 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) Encontre a densidade condicional de dado . 
 
SOLUÇÃO 
 
 
)(
),(
)(
xf
yxf
xXYf 
 , onde 
]1,(
]1,0(
xy
x


 
 
3
2
3
2
.
9
2
)(
2
2









x
yyx
xXYf  





 





 

3
2.3
3
.2..3
.
9
2
)(
2
2.
x
yyx
y
xXYf 

 
yxXYf .
9
2
)( 
 
 
 
 
 
b) (0.7 pt) Ache a Variância condicional de dado . 
 
SOLUÇÃO 
 
 
      22 xXYExXYExXYVAR 
 
 
 1 x < 0 onde,
3
2
)( 2  xxf X
 3y < 0 onde,
9
2
)( 
y
yfY
 
  dyxyfyxXYE ).(.
3
0

 
 
  dyyyxXYE .
9
.2
.
3
0
 






 

 
  dyyxXYE .
9
.2
3
0
2
 






 
 
 
3
0
3
39
2 y
xXYE 
 

  2 xXYE
 
 
  dyxyfyxXYE ).(.
3
0
22

 
 
  dyyyxXYE .
9
.2
.
3
0
22
 






 

 
  dyyxXYE .
9
.2
3
0
3
2
 






 
 
 
3
0
4
2
49
2 y
xXYE 
 

 
2
92  xXYE
 
 
 
 
      22 xXYExXYExXYVAR 
 
   22
2
9
 xXYVAR
 
 
 
2
1
 xXYVAR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5 ( 2.4 pts) 
5.1- (0.8 pt) - Em uma certa loja de um shopping, verificou-se que o gasto médio mensal de 
24 clientes foi de R$ 600, com um desvio padrão conhecido igual a R$ 250. Encontre 
intervalo de confiança 92% para o gasto médio desta população. 
SOLUÇÃO 
O intervalo de confiança ao nível de significância de 92%, , para a “σ”. 
 
X
= 600 
 σ = 250 
n=24 
 
 
IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Conhecido - Caso I 
 - TABELA “Z” 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 92% 
 Tabela “z” - 
75,12/1 z 
 
 (1-α)=0,92 
 
 
 
 04,0
2

 
 
 75,121 z 
 
 
 
 
 
 [ 510,70 ; 689,30 ] 
 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ;






 
24
250
75,1600;
24
250
75,160021
n
zXIC


 
n
zXIC

 2/1
 
 
5.2- (0.8 pt) Neste mesmo shopping, queremos saber se os gastos médios das duas lojas 
com o mesmo perfil, podem ser considerados estatisticamente idênticos. 
Tomou-se uma amostra de 12 clientes da loja “A” e de 14 clientes da loja “B”, obteve as 
seguintes estimativas: 
X A = R$700,00 , SA = R$15,00 
X B = R$800,00 , SB = R$13,00 
Encontre o Intervalo de confiança para a diferença das médias das duas lojas (μA – μB) ao 
nível de significância de 99%. O que você conclui? Os gastos médios nas duas lojas podem 
ser considerados estatisticamente iguais? 
 
SOLUÇÃO 
 
Loja “A”: n=12 X A = 700 SA= 15 
Loja “B”: n=14 X B = 800 SB= 13 
 
Intervalo de confiança para a diferença das médias: 
g = n + m – 2 = 24 
tabela “T” 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 99% 
 
 Tabela “T” - 
797,22/1;2  mnt 
 (1-α)=0,99 
 
 
 
 005,0
2

 
 
 797,22/1,24 t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   





 







24
13131511
.
14
1
12
1 22 xx
R















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   
     
  















2
S.1S.1
.
11
2
B
2
A
mn
mn
mn
R
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ -115,356 ; -84,644] 
 
Não, O Zero não está contido no Intervalo de Confiança , portando as médias de sua alturas 
não podem ser consideradas iguais ao nível de significância de 99%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49,5R
    RtYXRtYXRtYXIC tmntmnt 2;22;22 ;   
IC
    49,5797,280070021 xRtYXIC  
 
5.3- (0.8 pt) Você é contratado pra auditar a pesquisa sobre as intenções de voto do 
segundo turno da eleição presidencial de 2010.. 
 A pesquisa da Datafolha divulgou uma semana antes da eleição o seguinte resultado: a 
proporção dos eleitores que votam na Dilma é de 56% com uma margem de erro de ±3 
(pontos percentuais), isso significa que o intervalo de confiança é IC=[53% , 59%]. Também 
foi divulgado que o número de pessoas ouvidas foi de 1200 pessoas. 
Deduza o grau de confiança (1-α) empregado nesta pesquisa, utilizando o Teorema 
Central do Limite. 
 
 
IC aproximado para a proporção de uma Binomial 
 
Intervalo de Confiança - [0.53 ; 0.59] 
n = 1200 
 = 0,56 
 
 
Pr[-z1-a/2 < Z < z1-a/2] = 1-α = ? 
 
 
 
 
Pelo Teorema Central do Limite. 
 
 
 
 
 
 ∴ 
 
 
 
 ∴ ∴ 
 
Intervalo de confiança [1-α] = ? 
 
 [1-α]=? 
 
 
 α/2 
 
 Z1-α/2= 2,098 
 
Pela tabela da distribuição Normal 
 
1-α = 1- (2x0,0183) = 0,9634 = 96,34% 
 







 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 
)ˆ1(ˆ
56,053,0 2/1
n
pp
z

  
)ˆ1(ˆ
ˆ
2/1inf
n
pp
zpIC

 
 
1200
44,056,0
56,053,0 2/1
x
z 
03,0)0143,0(2/1 z 098,22/1 z







 


  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ
2/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp 
 
 
 
 
BOA SORTE!!! 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
 
 
TEOREMA DE BAYES: 
 
 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial- X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
 
 
 
   
   
   






k
j
jj
ii
k
j
jj
ii
i
BBA
BBA
BBA
AB
A
AB
AB
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr
 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 
 
Tabelas