Limites e Derivadas

de 3a ordem ( ) 3
3
dx
ydoux´´´f 
 
4a derivada ou derivada de 4a ordem ( ) ( ) 4
4
4
dx
ydouxf 
M M 
 
na derivada ou derivada de na ordem ( ) ( ) n
n
n
dx
ydouxf 
 
Justificativa para as notações: 
 
• ( ) ( )[ ]´x´fx´´f = , ( ) ( )[ ]´x´´fx´´´f = , a partir da quarta derivada usamos o cardinal. 
 
• 

=
dx
dy
dx
d
dx
yd
2
2
, 


= 2
2
3
3
dx
yd
dx
d
dx
yd , e assim sucessivamente. 
 
Exemplo 34. 
 
a) Se ( ) 1x2xxf 4 −+= , então: 
 ( ) 2x4x´f 3 += 
( ) 2x12x´´f = 
( ) x24x´´´f = 
( ) ( ) 24xf 4 = 
( ) ( ) 0xf 5 = 
 
... 
 
( )( ) 0xf n = , para todo 5n ≥ . 
Álvaro Fernandes 41
b) Se ( ) x2exf = , então: 
 ( ) x2e2x´f = 
( ) x2e4x´´f = 
( ) x2e8x´´´f = 
( ) ( ) x24 e16xf = 
 
... 
 
( ) ( ) x2nn e2xf = . 
 
 
c) Se ( ) ( )xsenxf = , então: 
 ( ) ( )xcosx´f = 
( ) ( )xsenx´´f −= 
( ) ( )xcosx´´´f −= 
( ) ( ) ( )xsenxf 4 = 
 
... 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )




=
=−
=−
=
=
,...12,8,4n,xsen
,...11,7,3n,xcos
,...10,6,2n,xsen
,...9,5,1n,xcos
xf n 
 
 
Atividades (grupo 26). 
 
1. Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
 
a) 4n9x2x3y 4 =−−= , . 
 
b) 3cx+d, nbxaxy 23 =++= . 
 
c) 3n
x1
1y =−= , . 
 
d) ( ) 5nx5seny =−= , . 
 
e) ( ) 3nx1lny 2 =−= , . 
 
 
2. Calcule ( )( )99f π , sendo ( ) ( )x2senexf x3 += .
Álvaro Fernandes 42
Derivada na forma implícita 
 
 Até agora sabemos derivar funções que são expressas na forma ( )xfy = . Agora iremos 
determinar uma maneira de derivar expressões que não tenham a variável y isolada (explicitada) 
em um dos membros. São exemplos dessas expressões 1yx 22 =+ , ( ) 4ylnxy 2 =+ , etc. Em 
algumas situações é inconveniente ou até mesmo impossível de explicitar a variável y nessas 
expressões. O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma expressão desta 
forma, sem a necessidade de explicitá-la. 
 
 
Uma função na forma ( )xfy = , onde a variável y aparece isolada no primeiro membro é chamada 
de função explícita. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas por equações nas quais a 
variável y não está isolada. Por exemplo 
 
x1yxy2 2 =++ 
 
não está na forma explícita ( )xfy = . Mesmo assim, esta equação ainda define y como uma função 
de x, pois podemos escrevê-la como 
 
2x
1xy 2 +
−= . 
 
Caso quiséssemos calcular y´ , poderíamos utilizar esta última expressão. 
 
 
Uma equação em x e y pode definir mais do que uma função. Por exemplo 1yx 22 =+ que 
representa graficamente uma circunferência de centro ( )0,0 e raio unitário (figura 1). Explicitando a 
variável y encontramos duas funções 
 
2x1y −±= . 
 
 
A função 2x1y −+= representa a semicircunferência superior (figura 2) e 2x1y −−= 
representa a semicircunferência inferior (figura 3). 
 
 
 
figura 1 figura 2 figura 3 
 
 
Caso quiséssemos calcular y´ , poderíamos utilizar uma das expressões 2x1y −±= . Ainda neste 
caso é possível explicitar a variável y, mesmo sabendo que parte do gráfico é suprimido neste 
processo. 
Álvaro Fernandes 43
 Às vezes o processo para explicitar a variável y é bastante longo e trabalhoso, como é o caso da 
expressão 
 
0xy3yx 33 =−+ 
 
e até mesmo impossível por qualquer método elementar, como neste caso 
 ( ) 0yxysen =− . 
 
O método da derivação implícita permitirá encontrar a derivada y´ sem a necessidade de explicitar 
a função como ( )xfy = . 
 
Definição: Uma expressão na forma ( ) 0y,xF = define implicitamente uma função ( )xfy = se o 
gráfico de ( )xfy = coincide com alguma parte do gráfico de ( ) 0y,xF = . 
 
Exemplo 35. Exemplos de funções definidas implicitamente: 
 
a) 0x1yxy2 2 =−++ . 
 
b) 01yx 22 =−+ . 
 
c) 0xy3yx 33 =−+ . 
 
d) ( ) 0yxysen =− . 
 
Vamos agora mostrar como obter a derivada y´ , nos casos do exemplo 35, sem explicitar y. 
Usaremos a regra da cadeia para derivar os termos da expressão ( ) 0y,xF = que envolvem y. 
 
a) 0x1yxy2 2 =−++ . Esta expressão define y como uma função de x implicitamente, logo: 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
.
2x
xy21y´
xy212xy´
01y´xxy2y´2
01
dx
dyxxy2
dx
dy2
0x1
dx
dyx
dx
dy2
dx
d
0
dx
dx1yxy2
dx
d
2
2
2
2
2
2
+
−=
−=+
=−++
=−+++
=−++
=−++
 
Observe que usamos a derivada de um produto em ( )yx
dx
d 2 . 
Derivamos ambos os membros em relação a x. 
Derivada de uma soma de funções. 
Apenas mudamos os símbolos: ( ) y´xy´
dx
dy == . 
Álvaro Fernandes 44
Poderíamos obter a derivada y´ derivando diretamente 
2x
1xy 2 +
−= . Vejamos: 
 ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )22
2
22
22
22
2
2x
xx22
2x
x2x22x
2x
x21x2x1y´ +
−+=+
+−+=+
−−+= , logo ( )22
2
2x
xx22y´ +
−+= . 
 
Você pode estar se perguntando: 
 
Obtivemos ( )22
2
2x
xx22y´ +
−+= , mas anteriormente calculamos 
2x
xy21y´ 2 +
−= . Estas expressões são 
distintas? 
 
Obviamente não, pois se fizermos 
2x
1xy 2 +
−= na expressão 
2x
xy21y´ 2 +
−= , vamos obter 
( )22
2
2x
xx22y´ +
−+= : 
 
 
( )22
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2x
xx22
2x
2x
x2x22x
2x
2x
x2x21
2x
2x
1xx21
y´ +
−+=+




+
+−+
=+




+
−−
=+



+
−−
= . 
 
Atenção: Não é necessário verificar se as derivadas calculadas nas formas explícita e implícita 
coincidem, mesmo porque em alguns casos não é possível mesmo isolar a variável y. 
 
 
Caso queiramos calcular o valor da derivada y´ num ponto, por exemplo 2xo = , basta 
encontrarmos o valor da imagem oy , substituindo ox na expressão 0x1yxy2
2 =−++ . Depois 
calculamos y´ com estes dois valores, pois 
2x
xy21y´ 2 +
−= depende de duas variáveis. Vejamos: 
 
6
1y021y4y20x1yxy2 ooooo
2
oo =⇒=−++⇒=−++ . 
 
( )
18
1
22
6
1221
2x
yx21
y´ 22
o
oo =+


−
=+
−= . 
 
Observe que encontramos este mesmo valor usando ( )22
2
2x
xx22y´ +
−+= no ponto 2xo = : 
 ( )
( ) 18
1
36
2
22
2222y´ 22
2
==+
−+= . 
 
Mas lembre-se: nem sempre é possível isolar a variável y para calcular y´ . 
Álvaro Fernandes 45
b) 01yx 22 =−+ . 
 
( ) ( ) ( ) .
y
xy´0´yy2x200y
dx
dx20
dx
d1yx
dx
d 222 −=⇒=+⇒=++⇒=−+ 
 
 
c) 0xy3yx 33 =−+ . 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=−+⇒=−+ 0xy
dx
d3y
dx
dx30
dx
dxy3yx
dx
d 3233 
 
( )[ ] ( ) .
xy
xyy´
x3y3
x3y3y´x3y3x3y3y´0´xyy13y´y3x3 2
2
2
2
2222
−
−=⇒−
−=⇒−=−⇒=+−+
 
 
 
d) ( ) 0yxysen =− . 
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0y´´xyy1xycos0
dx
dy
dx
dxysen
dx
d0
dx
dyxysen
dx
d =−+⇒=−⇒=− 
 
( ) ( ) ( )( ) .1xycosx
xycosyy´0y´xy´cosxyxycosy −−=⇒=−+⇒ 
 
 
Vejamos alguns exemplos que ocorrem com maior freqüência em derivação implícita: 
 
 
( ) y´nyy
dx
d 1nn ⋅= − . 
 
( )[ ] ( ) y´ysecytg
dx
d 2 ⋅= . 
 
[ ] y´ee
dx
d yy ⋅= . 
 
( )[ ] y´
y
1yln
dx
d ⋅= . 
 
( )[ ] y´
y1
1yarctg
dx
d
2 ⋅+= . 
 
Álvaro Fernandes 46
Atividades (grupo 27). 
 
1. Determine a derivada 'y das curvas dadas implicitamente por: 
 
a) 4yx 22 =+ b) y2xy2xy 32 −=+ c) ( ) 0ysenxyx 22 =+ 
 
d) 3yxexy −+= e) 0yx
yxy 3 =+
−− f) ( ) 1xyytg −= 
 
 
2. Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos 
pontos indicados. 
 
a) ( ) 2yxyln += no ponto ( )1,1P − . 
 
b) y3 2.yx = , no ponto em que a normal é vertical. 
 
c) 19y13x6 22 =+ (elipse), nos pontos onde a normal é paralela à reta 07y12x26 =−− . 
 
 
3. Seja C a circunferência dada implicitamente por 1yx 22 =+