Limites um pequeno resumo... (1)

ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos xa.
Se f(x)=C onde C é constante, então
Lim f(x) = Lim C = C
Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então
Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b
Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:
Lim(f ± g)(x) = [Lim f(x)] ± [Lim g(x)] = A ± B
Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B
Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A
Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An
Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.
Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)
Se acontecer uma das situações abaixo:
Lim f(x) = 0
Lim f(x)>0 e n é um número natural
Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar
então
Observações sobre as propriedades:
As propriedades que valem para duas funções, valem também para um número finito de funções.
As propriedades 3-a, 3-b e 3-e estabelecem que se existem os limites das parcelas, então, existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.
Teorema do anulamento: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x)=0, quando xa, então:
Lim f(x)·g(x) = 0
Este resultado útil para podermos obter cálculos com limites.
Teorema do Confronto (regra do sanduiche): Se valem as desigualdades f(x)<g(x)<h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x=a e se
Lim f(x) = L = Lim h(x)
então:
Lim g(x) = L
Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:
cos(x) < sen(x)/x < 1
então, quando x0:
1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1
Observações: Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites, são válidas também para limites laterais e para limites no infinito.
Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas, que são denominadas expressões indeterminadas,
nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.
Um Limite Fundamental
Estudaremos agora um limite fundamental que é utilizado na obtenção da derivada da função seno.
Limx0sen(x)/x = 1
A derivada da função f(x)=sen(x) no ponto x=a, pode ser obtida pelo limite
f'(a)=Limxa (sen(x)-sen(a))/(x-a)
mas
sen(x)-sen(a) = 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]
então
f'(a)=Lim 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]/(x-a)
f'(a)=Lim cos[(x+a)/2].sen[(x-a)/2]./[(x-a)/2]
Com x=a+2u, reescreveremos a última expressão como:
f'(a)=Lim cos(a+u).sen(u)/u=Lim cos(a+u).Lim sen(u)/u
e quando u0, segue que:
f'(a)=cos(a)
De um modo geral, a derivada da função seno é a função cosseno e escreveremos:
sen'(x) = cos(x)
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