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limites

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= k − 1 e lim
x→k+
[[x]] = k; logo, lim
x→k
[[x]] não existe. Se k ∈ R − Z, então
lim
x→k
[[x]] existe. (Por que?).
[6] Determine o valor da constante c tal que lim
x→c
f(x) exista, se:
f(x) =
{
2− x2 se x ≤ c
x se x > c.
Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes.
lim
x→c+
f(x) = lim
x→c
x = c e lim
x→c−
f(x) = lim
x→c
(2− x2) = 2− c2.
Pelo teorema, devemos ter lim
x→c−
f(x) = lim
x→c+
f(x); logo, resolvemos a equação c2 + c− 2 = 0 de
onde obtemos c = 1 e c = −2. Então, podemos definir:
f(x) =
{
2− x2 se x ≤ 1
x se x > 1
ou f(x) =
{
2− x2 se x ≤ −2
x se x > −2.
3.3. LIMITES NO INFINITO 137
-2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
-4 -3 -2 -1 1 2
-10
-5
5
Figura 3.15: Gráficos de f para c = 1 e c = −2, respectivamente.
3.3 Limites no Infinito
Definição 3.3.
1. Seja f : (a,+∞) −→ R. Diz-se que lim
x→+∞
f(x) = L quando para todo ε > 0, existe A > 0 tal
que |f(x)− L| < ε se x > A.
2. Seja f : (−∞, b) −→ R. Diz-se que lim
x→−∞
f(x) = L quando para todo ε > 0, existe B > 0 tal
que |f(x)− L| < ε se x < −B.
Exemplo 3.6.
[1] Verifique que lim
x→+∞
1
x
= 0.
De fato, pois para todo ε > 0 existe A >
1
ε
> 0, tal que se x > A, então
1
x
<
1
A
< ε e∣∣ 1
x
− 0∣∣ = ∣∣1
x
∣∣ < ε.
[2] Verifique que lim
x→−∞
1
x
= 0.
De fato, pois para todo ε > 0 existe B >
1
ε
> 0, tal que se x < −B, então
∣∣1/x∣∣ = −1
x
< ε.
Observe que x→ +∞ implica x > 0 e x→ −∞ implica x < 0.
Proposição 3.3. Para todo número natural n e para b ∈ R− {0}, tem-se:
1. lim
x→+∞
b
xn
= 0.
2. lim
x→−∞
b
xn
= 0.
1. Devemos provar que para todo ε > 0 existe A > 0 tal que
∣∣ b
xn
∣∣ < ε se x > A. De fato,
∣∣ b
xn
∣∣ = |b||x|n < ε se
n
√
|b|
|x| <
n
√
ε, ou seja, se x >
n
√
|b|
n
√
ε
; logo basta considerar A =
n
√
|b|
n
√
ε
. A prova
de 2 é análoga a do item 1.
138 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Figura 3.16: Gráficos de f(x) =
1
xn
para diferentes n.
Proposição 3.4. Se lim
x→±∞
f(x) e lim
x→±∞
g(x) existem, então, para todo α, β ∈ R:
1. lim
x→±∞
(
α f(x) + β g(x)
)
= α lim
x→±∞
f(x) + β lim
x→±∞
g(x),
2. lim
x→±∞
(
f(x) g(x)
)
=
(
lim
x→±∞
f(x)
) (
lim
x→±∞
g(x)
)
,
3. lim
x→±∞
f(x)
g(x)
=
lim
x→±∞
f(x)
lim
x→±∞
g(x)
, se lim
x→±∞
g(x) 6= 0.
As provas são análogas às das propriedades dos limites num ponto.
Exemplo 3.7.
[1] Calcule lim
x→+∞
( 3
x3
+ 5
)
.
Aplicando diretamente a proposição anterior:
lim
x→+∞
( 3
x3
+ 5
)
= lim
x→+∞
( 3
x3
)
+ lim
x→+∞
5 = 0 + 5 = 5.
Figura 3.17: Gráfico de f quando x→ +∞.
[2] Calcule lim
x→+∞
5
x2
.
Aplicando diretamente a proposição anterior : lim
x→+∞
5
x2
= 5 lim
x→+∞
1
x2
= 0.
3.3. LIMITES NO INFINITO 139
3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais
Proposição 3.5. Seja
f(x) =
P (x)
Q(x)
,
onde P (x) = anx
n + an−1x
n−1 + ..... + a0 e Q(x) = bmx
m + bm−1x
m−1 + ..... + b0 são polinômios
de coeficientes reais de graus n em, respectivamente, isto é an 6= 0 e bm 6= 0. Então:
lim
x→±∞
P (x)
Q(x)
=


an
bm
se n = m
0 se n < m
De fato:
P (x)
Q(x)
=
anx
n + an−1x
n−1 + ........ + a0
bmxm + bm−1xm−1 + ........ + b0
=
xn
[
an +
an−1
x
+ ........ +
a0
xn
]
xm
[
bm +
bm−1
x
+ ........ +
b0
xm
] .
Aplicando limite e as propriedades da proposição 3.4, obtemos o resultado. Para n > m, veja o
próximo parágrafo.
Exemplo 3.8.
[1] Calcule lim
x→+∞
x3 + 1
x4 + 5x3 + x+ 2
.
Como n < m, temos: lim
x→+∞
x3 + 1
x4 + 5x3 + x+ 2
= 0.
[2] Calcule lim
x→−∞
2x + 3
3x + 2
.
Como n = m, temos: lim
x→−∞
2x+ 3
3x+ 2
=
2
3
.
[3] Calcule lim
x→+∞
x+ 1√
x2 − 5 .
Neste problema, a função não é racional, mas utilizaremos a mesma idéia dos exercícios ante-
riores:
lim
x→+∞
x + 1√
x2 − 5 = limx→+∞
√
(x + 1)2
x2 − 5 = limx→+∞
√
x2 + 2x+ 1
x2 − 5
=
√
lim
x→+∞
x2 + 2x + 1
x2 − 5 =
√
1 = 1.
[4] Calcule lim
x→−∞
x+ 1√
x2 − 5 .
Aparentemente este limite é análogo ao do exemplo [3]; mas devemos ter cuidado, pois, x →
−∞, significa que x < 0; logo, consideramos
√
x2 = −x:
lim
x→−∞
x+ 1√
x2 − 5 = lim−x→+∞
−1− 1x√
1− 5
x2
= −1.
140 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
[5] Fractal de Koch A seguinte curva é chamada de Koch e é obtida a partir da linha poligonal
constituída pelos lados de um triângulo equilátero de lado unitário. A cada passo substitui-se
o terço médio de cada segmento da linha poligonal por dois segmentos que formariam um
triângulo equilátero com o terço médio que foi retirado, conforme os desenhos abaixo:
Figura 3.18:
Denote por An a área comprendida pela linha poligonal após n passos; logo:
A0 =
√
3
4
, A1 =
√
3
3
, A2 =
10
√
3
27
, A3 =
94
√
3
243
, A4 =
862
√
3
2187
,
em geral:
An =
√
3
4
[
1 +
3
5
(
1− (4
9
)n)]
,
se n ≥ 0; então:
A∞ = lim
n→+∞
An =
2
√
3
5
.
Fica como exercício interpretar o limite.
3.4 Limites Infinitos
Seja f uma função definida num domínio D, que pode ser um intervalo ou uma reunião de
intervalos. Seja a um ponto que não pertence necessariamente a D, mas tal que nas proximi-
dades de a existam pontos de D; em outras palavras, qualquer intervalo aberto que contem a
intersectaD de forma não vazia.
Definição 3.4.
1. Diz-se que lim
x→a
f(x) = +∞, quando para todo A > 0, existe δ > 0 tal que f(x) > A, se x ∈ D e
0 < |x− a| < δ.
2. Diz-se que lim
x→a
f(x) = −∞, quando para todoB > 0, existe δ > 0 tal que f(x) < −B, se x ∈ D
e 0 < |x− a| < δ.
Exemplo 3.9.
[1] lim
x→1
1
(x− 1)2 = +∞.
Como
1
(x− 1)2 > A, se (x − 1)
2 <
1
A
, isto é, se |x − 1| < 1√
A
, então para todo A > 0, existe
δ =
1√
A
> 0 tal que f(x) > A se 0 < |x− 1| < δ.
3.4. LIMITES INFINITOS 141
[2] lim
x→0
1
x2
= +∞.
Como
1
x2
> B se |x| < 1√
B
, então para todo B > 0, existe δ =
1√
B
> 0 tal que f(x) > B se
0 < |x| < δ.
Analogamente podemos definir limites laterais infinitos. Assim:
Diz-se que lim
x→a−
f(x) = +∞, quando para todoA > 0, existe δ > 0 tal que f(x) > A se
a− δ < x < a.
Diz-se que lim
x→a+
f(x) = −∞, quando para todo B > 0, existe δ > 0 tal que f(x) < −B se
a < x < a+ δ.
Proposição 3.6. Para todo número natural n, temos:
1. lim
x→0+
1
xn
= +∞.
2. lim
x→0−
1
xn
=
{
+∞ se n é par
−∞ se n é ímpar
Proposição 3.7. Sejam f(x) e g(x) funções tais que lim
x→a
f(x) 6= 0 e lim
x→a
g(x) = 0. Então
1. lim
x→a
f(x)
g(x)
= +∞ se f(x)
g(x)
> 0 para valores de x próximos de a.
2. lim
x→a
f(x)
g(x)
= −∞ se f(x)
g(x)
< 0 para valores de x próximos de a.
As provas das proposições são deixadas como exercícios.
Exemplo 3.10.
[1] Calcule lim
x→1
3x− 2
(x− 1)2 .
Como lim
x→1
(3x− 2) = 1 e lim
x→1
(x− 1)2 = 0, observando que se x > 23 , mas x 6= 1, então 3x−2(x−1)2 > 0
e aplicando o teorema, logo: lim
x→1
3x− 2
(x− 1)2 = +∞.
[2] Calcule lim
x→2
2x− 5
(x− 2)2 .
Como lim
x→2
(2x− 5) = −1 e lim
x→1
(x− 2)2 = 0, observando que se x < 52 , mas x 6= 2, então
2x−5
(x−2)2
< 0 e aplicando o teorema, temos: lim
x→2
2x− 5
(x− 2)2 = −∞.
Analogamente podemos definir outros tipos de limites. Como exercício, defina os seguintes
limites:
lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
f(x) = −∞ e lim
x→−∞
f(x) = +∞, lim
x→−∞
f(x) = −∞.
142 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Corolário 3.3. Para funções racionais, temos: