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___________________________________________ 
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática 
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo 
 
Capítulo 3: Limite de uma Função e Continuidade 
 
3.1- Noção de Limite de uma Função (Noção Intuitiva) 
 
Exemplo 1: Considere a função 
x
xf
1
1)( 
 definida para todo x real e x ≠ 0. 
 Observe os valores da função f quando x cresce ilimitadamente e quando x decresce 
ilimitadamente. Observe também o seu gráfico. 
 
 Esta função se aproxima de 1 quando x cresce ilimitadamente e quando x decresce ilimitadamente. 
Dizemos que esta função tende a 1 quando x tende a +∞ e quando x tende a – ∞ e denotamos 
1)(lim e 1)(lim 

xfxf
xx
. 
 Além disso, observando o gráfico da função, podemos dizer que f(x) cresce ilimitadamente 
quando x se aproxima de 0 por valores menores que 0 e que f(x) decresce ilimitadamente quando x se 
aproxima de 0 por valores maiores que 0. Neste caso nos referimos aos limites laterais e denotamos, 
respectivamente, por 

 
)(lim e )(lim
00
xfxf
xx
. 
 
Exemplo 2: Considere a função 
23)( 2  xxxf
 definida para todo x real. 
Intuitivamente, analisando as sucessões nas tabelas seguintes, podemos dizer que f(x) tende para +∞ 
quando x tende para +∞ ou para –∞ e denotamos por 


)(lim e )(lim xfxf
xx
. 
 
 
 36 
Exemplo 3: Observando o gráfico da função 
x
xf
1
cos)( 
 e a tabela a seguir podemos afirmar que o 
gráfico oscila numa vizinhança de zero sem tender para um limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Observando o gráfico da função 
)1(
)1).(12(
)(



x
xx
xf
 definida para todo x real e x ≠ 1 e as 
tabelas abaixo podemos escrever 
3)(lim ainda,ou , )(lim3)(lim
111

 
xfxfxf
xxx
. 
 
 
À medida que tomamos valores de x cada vez mais próximos de 1 (x → 1), os valores de f(x) 
tornam-se cada vez mais próximos de 3 (f(x) → 3), independentemente da sucessão de valores de x 
usados. 
 Pode-se observar que é possível tomar o valor de f(x) tão próximo de 3 quanto desejamos, desde 
que tomamos x suficientemente próximo de 1 (x ≠ 1). 
 A idéia “tomar o valor de f(x) tão próximo de 3 quanto desejamos” é traduzido matematicamente 
pela desigualdade 
3)(xf
, sendo 

um número positivo qualquer, tão pequeno quanto se possa 
imaginar. 
 A idéia “desde que tomamos x suficientemente próximo de 1 (x ≠ 1)” significa que deve existir 
um intervalo aberto de raio 
0
 e centro a = 1 tal que se x ≠ 1 variar nesse intervalo, isto é, 
se 
 3)( então 10   xfx . 
 
3.2- Definição de Limite de uma Função 
 
 Intuitivamente dizemos que uma função f(x) tem limite L quando x tende para a, se é possível 
tomar f(x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomamos valores de x, x ≠ a, suficientemente 
próximos de a. 
 
 Formalmente, temos: 
 Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f uma função definida em I, 
exceto, possivelmente, no próprio a. 
 Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escrevemos 
Lxf
ax


)(lim
, se para todo 
0
 existir um 
0
 tal que se   Lxfax )( então 0 . 
 Em símbolos, temos: 
 
  

LxfaxLxf
ax
)( 0 ;0 ,0 )(lim
 . 
 
 
 
 
 
 37 
Observação: Para a definição do limite, quando x tende a a, não é necessário que a função esteja definida 
em a e pode ocorrer que a função esteja definida em a e 
)()(lim afxf
ax


. O que interessa é o 
comportamento de f(x) quando x se aproxima de a e não o que ocorre com f quando x = a. 
 
 
3.3- Exemplos 
 
1. Considere a função 
)1(
)1).(12(
)(



x
xx
xf
 definida para todo x real e x ≠ 1. Assim, se x ≠ 1 então 
f(x) = 2x + 1. Vamos mostrar, usando a definição, que 
3)(lim
1


xf
x
. 
Devemos mostrar que dado 
0
, existe 
0
 tal que se 
  3)( então 10 xfx
. 
Dado 
0
, tomemos 
2

 
. Logo, obtemos: 
 
2
.212223123)(
2
1010 xxxxfxx
. 
Portanto, 
3)(lim
1


xf
x
. 
 
2. Seja 
RRf :
 definida por 






1 se ,5
1 se ,12
)(
x
xx
xf
. 
Temos 
)1(3)12(lim)(lim
11
fxxf
xx


 
 
 
3. Demonstre, usando a definição, que 
16lim 2
4


x
x
. 
Devemos mostrar que dado 
0
, existe 
0
 tal que se 
  16 então 40 2xx
. 
Notemos que 
4.4)4).(4(162  xxxxx
. 
Se 
14 x
, obtemos: 
949499475314114  xxxxxx
. 
Seja 







9
,1min


. Assim, 
 :obtemos 40 se e 
9
 ,1   x
 
  9.
9
4.416
9
4 e 94
9
4 e 1440 2 xxxxxxxx
. 
Portanto, 
16lim 2
4


x
x
. 
 
3.4- Unicidade do Limite 
 
Teorema 1 
Se 
2121 então )(lim e )(lim LLLxfLxf
axax


. 
 
Demonstração: 
Vamos supor L1 ≠ L2. 
Seja 
021  LL
. Como 
21 )(lim e )(lim LxfLxf
axax


 então existem 
0 , 21 
 tais que se 
2
)( então 0 se e 
2
)( então 0 2211
  LxfaxLxfax . 
 
 
 38 
Seja 
 21,min  
. Assim 
21 ,  
 e se 
2
)( e 
2
)( então 0 21
  LxfLxfax . 
Mas  
22
)()()()( 212121 LxfxfLLxfxfLLL
, o que é um absurdo. 
Portanto 
21 LL 
. 
 
 
3.5- Propriedades do limite de uma função 
 
Seja a elemento do intervalo aberto I e em I – {a} estão definidas as funções envolvidas na propriedade. 
 
L1 – Se f é uma função definida por f(x) = c, para todo x real, onde c  R, então 
ccxf
axax


lim)(lim
. 
 
L2 – Se c  R e 
Lxf
ax


)(lim
 então 
  Lcxfcxfc
axax
.)(lim.)(.lim 

. 
 
L3 – Se 
MLxgfMxgLxf
axaxax


))((lim então )(lim e )(lim
. 
Obs.: Esta propriedade pode ser estendida para uma soma de um número finito de funções, isto é, se 










n
i
i
n
i
i
ax
ii
ax
LxfniNiLxf
11
)(lim então ,1 e , )(lim
. 
 
L4 – Se 
MLxgfMxgLxf
axaxax


))((lim então )(lim e )(lim
. 
 
L5 – Se 
MLxgfMxgLxf
axaxax
.))(.(lim então )(lim e )(lim 

. 
Obs.: Esta propriedade pode ser estendida para um produto de um número finito de funções, isto é, se 










n
i
i
n
i
i
ax
ii
ax
LxfniNiLxf
11
)(lim então ,1 e , )(lim
. 
 
L6 – Se 
Lxf
ax


)(lim
 então 
   ,...3,2,1 para , )(lim 

nLxf n
n
ax
. 
 
L7 – Se 
M
L
x
g
f
MxgLxf
axaxax


))((lim então 0)(lim e )(lim
. 
 
L8 – Se 
ímpar , e 0ou e 0 com ,)(lim então )(lim nNnLNnLLxfLxf nn
axax


. 
 
L9 – Se 
    senLxfsenxfsenLxf
axaxax


)(lim)(lim então )(lim
. 
 
L10 – Se 
    cos)(limcos)(coslim então )(lim LxfxfLxf
axaxax


. 
 
 
 
Teorema 2 
O limite de uma função polinomial 
Raxaxaxaxaaxf i
n
i
i
i
n
n  

 , ...)(
0
2
210
, para x tendendo 
para a, é igual ao valor numérico de f(x) para x = a, ou seja, 
)()(lim afxf
ax


. 
 39 
Demonstração: 
É claro que 
ax
ax


lim
, pois, dado   axax então