limites-parte1

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LIMITES
	Tem por finalidade estudar o comportamento de uma função quando a sua variável se aproxima de um nº real, podendo a função estar ou não definida para este número.
	Vejamos sua definição:
						 						 
 = L 
�� EMBED Equation.3 e 
	Portanto, o limite de f(x) quando x tende a a é L.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
 = 
 = L
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Vejamos alguns exemplos:
1º EXEMPLO: Considere a função f (x) = 
, com x ≠ 3. 
	f (x) = 
 = 
 , portanto, 
 para x ≠ 3.
	
Cálculo do 
= ?
Geometricamente:
	X
	f(x) = x + 3
	-1
	2
	0
	3
	1
	4
	2
	5
	3
	6
Limite lateral a esquerda:
Para x → 3- :
							Para	x → 3- => f(x) = 6 
Dizemos que 
= 6
Limite lateral a direita:
Para x → 3+ :
							Para	x → 3+ => f(x) = 6
							Dizemos que	 
 = 6
	 
Conclusão:
Existe o limite da função para x→3, ou seja, 
= 6
2º EXEMPLO
Considere a função: 
Cálculo do 
= ?
Geometricamente:
		 ( x ≤ 2 )				 ( x > 2)
	x
	f(x) = x2 + 1
	
	x
	f(x) = x - 1
	2
	5
	
	 2
	1
	1
	2
	
	3
	2
	0
	1
	
	4
	3
	- 1
	2
	
	5
	4
	- 2
	5
	
	6
	5
Limite lateral a esquerda:				
Para x → 2- :
								Para	x → 2- => f(x) = 5
								Dizemos que 
= 5
Limite lateral a direita:
Para x → 2+
			
							Para	x → 2+ => f(x) = 1
Dizemos que	 
 = 1
Conclusão:
Não existe o limite da função para x→2, ou seja, 
 = 
Exercícios
Calcule o limite por noção intuitiva:
a) 
 	 , 
 = ?		
b) 
 , 
 = ?
c) 
 , 
		
d) 
 , 
e) 
 , 
 = ?	
f) 
 ,
 = ?
TEOREMAS DOS LIMITES (PROPRIEDADES)
Vamos mostrar agora alguns teoremas que admitiremos verdadeiros sem efetuarmos suas demonstrações.
Limite da função constante: o limite de uma constante é a própria constante, isto é, 
EXEMPLOS: 
 => 
= 2
 =>
 =>
Limite da função identidade: se 
, então:
EXEMPLOS:
Limite da soma de funções: é igual à soma dos limites dessas funções.
EXEMPLO:
Limite do produto de funções: é igual ao produto dos limites dessas funções.
EXEMPLO:
Limite da constante multiplicada pela função: é igual ao produto da constante pelo limite da função.
EXEMPLO:
Limite de uma potência enésima de uma função: é igual à potência enésima do limite dessa função.
EXEMPLO:
Limite de uma raiz enésima de uma função: é igual à raiz enésima do limite dessa função.
EXEMPLOS:
Limite do módulo ou valor absoluto de uma função: é igual ao módulo ou valor absoluto do limite.
	EXEMPLO:
Limite do quociente de duas funções: é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o limite do denominador for igual a zero).
	
EXEMPLO:
CÁLCULO DE LIMITE DE FUNÇÃO POLINOMIAL
	Dado o polinômio 
então 
EXEMPLOS:
1) Calcule os limites:
a) 
= 15 + 2 . 13 – 1 = 1 + 2 – 1 = 2
b) 
c) 
 = ( 32 – 3 + 2 )2 = ( 9 – 3 + 2 )2 = ( 6 + 2 )2 = ( 8 )2 = 64
2) Calcule os limites, se existir, e faça um esboço do gráfico.
a) 
, sendo f(x) = 
Gráfico:
		 ( x < 2 )				 ( x ≥ 2)
	
x
	
f(x) = x2 - 2
	
	
x
	f(x) = 
	2
	2
	
	2
	1
	
1
	
-1
	
	
3
	
 = 1,5
	0
	-2
	
	4
	2
	
-1
	
-1
	
	
5
	
= 2,5
 = 
 = 22 – 2 = 4 – 2 = 2
						 	 
 ≠ 
 
 = 
 = 
 = 
b) 
, sendo f(x) = 
Gráfico:
		 
 = 3	 e	
 = 3 
 
 = 3
(Utilizamos a função para x ≠ 4, ou seja, nas proximidades de x = 4)
Exercícios 
1) Calcule:
	a) 
		b) 
	c) 
	d) 
2) Faça o gráfico das funções e calcule os limites, se existir:
 b) 
c) 
Respostas:
1) a) -2 b) -7 c) 5 d) 
		 2) a) 
	 b) 
	 c) 4
CÁLCULO DE LIMITES QUANDO O NUMERADOR E O DENOMINADOR TENDEM A ZERO
	Quando o numerador e o denominador de uma função tender a zero, no cálculo de um limite para determinado valor de x, devemos efetuar e simplificar a função antes de efetuarmos a substituição, porque ela não é definida para aquele valor de x.
EXEMPLOS:
Calcular 
Fatorando e simplificando, temos:
Calcular 
Neste caso devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador.
Calcular 
Resolvendo a equação 
Obtemos duas raízes distintas: 
.
Fatoramos o trinômio do 2º grau: 
Então, 
Calcular 
Fazendo a divisão de 
 por 
, para simplificar, temos:
Então, 
Observação:
Poderíamos ter fatorado o numerador pela “diferença de cubos”
Assim, teríamos:
Depois, simplificaríamos: 
E, então, calcularíamos o limite desejado:
Calcular 
Fazendo a divisão de polinômios (numerador pelo denominador):
Como a divisão não é exata, temos que simplificar a fração algébrica pela fatoração do numerador e do denominador. Assim:
	Resolvendo a equação (numerador):
Fatorando:
	Resolvendo a equação (denominador):
Fatorando:
Substituindo os trinômios fatorados no limite, temos:
Calcular 
Fazendo 
, temos que:
, logo: 
, 
então 
Exercícios
1) Calcule:
a) 
			b) 
		c) 
			d) 
Respostas:
1) a) 
 	b) 
 		 c) - 1 		 d) 
	
L + ε
 L
L - ε
 a – δ a a + δ
X�
2,8�
2,9�
2,99�
2,999�
�
f(x) = x + 3�
5,8�
5,9�
5,99�
5,999�
�
X�
3,2�
3,1�
3,01�
3,001�
�
f(x) = x + 3�
6,2�
6,1�
6,01�
6,001�
�
para x ≤ 2 
para x > 2 
X�
1,8�
1,9�
1,99�
1,999�
�
f(x) = x2 + 1�
4,24�
4,61�
4,960�
4,996�
�
X�
2,2�
2,1�
2,01�
2,001�
�
f(x) = x - 1�
1,2�
1,1�
1,01�
1,001�
�
se x ≤ 2 
se x > 2 
se x ≤ 3
se x > 3
se x < 3
se x ≥ 3
se > -2
se x ≤ -2
se x ≥ 2
se -1 < x ≤ 2
se x < 2
se x ≥ 2
se x ≠ 4
se x = 4
Resto!
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