Questão resolvida - Encontre a solução geral da equação diferencial linear não homogênea y_-4y=2e^3x - EDO de 2° ordem caso exponencial neperiano - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial linear não homogênea 
.y" - 4y = 2e3x
 
Resolução:
 
A solução geral de uma EDO de 2° ordem é soma da solução homogênea com a particular;
 
y = y + yG H P
 
A solução particular é dada por; → devemos derivar 2 vezes;y = AeP 3x
 
y = Ae y' = 3Ae y'' = 9AeP
3x
→ P
3x
→ P
3x
 
Substituimos, então, na EDO não homogênea com y'' = y'' , y' = y' e y = y P P P
 
9Ae - 4Ae = 2e 5Ae = 2e 5A = 2 A =3x 3x 3x → 3x 3x → →
2
5
 
Com isso, a solução particular fica;
 
y = eP
2
5
3x
 
Agora, vamos encontrar a solução homogênea y , a solução generica da parte homogênea é :H
 
y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ 𝜚H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x
 
A parte homogênea dessa EDO tem equação caracteristica 𝜆 - 4 = 0 equação do 2ª grau2 ( )
com : 𝜆 = y" e - 4 é um termo independente, veja que isso é uma equação do2
2° grau imcompleta, resolvendo :
 
𝜆 - 4 = 0 𝜆 = 4 𝜆 = ± 𝜆' = 2 e 𝜆" = -22 → 2 → 4 →
 
Substituindo 𝜆´ e 𝜆";
 
y = C ⋅ e + C ⋅ eHomogênea 1
2x
2
-2x
 
 
 
Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução
geral dessa EDO não homogênea;
 
y = C ⋅ e +C ⋅ e + eG 1
2x
2
-2x 2
5
3x
 
 
(Resposta )