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2a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Curso de Cieˆncias Exatas - 01/06/2011
Departamento de Matema´tica - ICE - UFJF
Quest. Notas
1
2
3
4
5
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
Observac¸o˜es: Esta prova deve conter 5 questo˜es em 3 folhas, encerrando-se no item
5(c). A prova e´ individual, sem consulta e na˜o e´ permitido o uso de calculadora.
Nas questo˜es 1 e 2, considere o paralelep´ıpedo obl´ıquo representado abaixo no sistema
tridimensional de eixos cartesianos.
1. (a) Determine as coordenadas do ve´rtice F . (20 pts)
(b) Usando a a´lgebra de vetores, calcule a a´rea da face ABEF do paralelep´ıpedo.
2. (a) Determine equac¸o˜es parame´tricas para a reta que passa pelos ve´rtices A e D do
paralelep´ıpedo. (20 pts)
(b) Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m a face ABEF do paralelepıpedo.
3. (a) Determine o vetor projec¸a˜o ortogonal do vetor V = −3~i+17~j +11~k na direc¸a˜o do
vetor W = −2~i+ 5~j + 4~k. (20 pts)
(b) Escreva o vetor V como a soma de dois vetores V = V1 + V2 tais que V1 e´ paralelo
ao vetor W e V2 e´ ortogonal a W .
4. (a) Escreva equac¸o˜es parame´tricas para a reta r que passa pelo ponto P = (0, 2, 3) na
direc¸a˜o do vetor V = (−1, 1, 2). (20 pts)
(b) Dado o ponto A = (3, 5, 1) encontre o(s) ponto(s) X pertencente(s) a` reta r tal(is)
que
−−→
PX · −−→AX = 2 (isto e´, o produto escalar entre os vetores −−→PX e −−→AX e´ igual a
2).
5. Classifique cada uma das afirmac¸o˜es abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se ver-
dadeira, prove; se falsa, prove ou deˆ um contra-exemplo. (20 pts)
(a) O aˆngulo entre os vetores U = (0, 1, 0) e V = (1,
√
6,−1) e´ igual a pi
6
rad.
(b) Se V e W sa˜o vetores tais que V ·W = 0 enta˜o V = 0¯ ou W = 0¯.
(c) Os vetores U = (1, 2, 3), V = (−4, 7, 2) e W = (−1, 13, 11) sa˜o coplanares.