Questão resolvida - Dada a EDO homogênea y+2y+y=0, com y(0)=-3 e y'(0)=3; calcule y(3) - Equação diferencial de 2° ordem - Problema de valor inicial (PVI) - cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dada a EDO homogênea , com e ; calcule .y" + 2y' + y = 0 y 0 = - 3( ) y' 0 = 3( ) y 3( )
 
Resolução:
 
vamos encontrar a solução homogênea y ; essa solução tem equação genérica do tipo;H
 
y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ 𝜚H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x
 
ou
 
 y = y x = C ⋅ 𝜚 + C ⋅ x𝜚 caso as raízes 𝜆' e 𝜆" sejam iguais H h( ) 1
𝜆´x
2
𝜆"x ( )
 
A EDO tem equação caracteristica 𝜆 + 2𝜆+ 1 = 0 equação do 2ª grau2 ( )
com : 𝜆 = y", y' = 𝜆 e 1 é um termo independente, veja que isso é uma equação do2
2° grau, resolvendo :
 
𝜆' = = - 1
- 2 +
2 ⋅ 1
( ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
 
𝜆" = = - 1
- 2 -
2 ⋅ 1
( ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
 
Substituindo 𝜆´ e 𝜆" e considerando que 𝜆' = 𝜆";
 
y = C ⋅ e + C ⋅ xe y = C ⋅ e + C ⋅ xeHomogênea 1
-1x
2
-1x
→ Homogênea 1
-x
2
-x
 
Primeiro, substituimos y 0 = - 3 na solução encontrada;( )
 
y 0 = C ⋅ e + C ⋅ 0 ⋅ e = - 3 C ⋅ e + C ⋅ 0 ⋅ e = - 3 C ⋅ 1 + 0 = - 3 C = - 3( ) 1
-0
2
-0
→ 1
0
2
0
→ 1 → 1
 
Agora, vamos substituir C na solução econtrada e derivar;1
 
y = - 3 ⋅ e + C ⋅ xe y' = - 3e ⋅ -1 + C e -C e xH
-x
2
-x
→ H
-x ( ) 2
-x
2
-x
 
y' = 3e + C e -C e x→ H
-x
2
-x
2
-x
 
 
Substituindo y' 0 = 3, fica;( )
 
 
 
y' 0 = 3e + C e -C e ⋅ 0 = 3 y' 0 = 3e + C e + 0 = 3 3 + C ⋅ 1 + 0 = 3( ) -0 2
-0
2
-0
→ ( ) 0 2
0
→ 2
 
C = 3 - 3 C = 0→ 2 → 2
 
Com isso, a solução homogênea fica :
 
y = - 3 ⋅ e + 0 ⋅ xe y = - 3eHomogênea
-x -x
→ H
-x
 
Finalmente, encontramos y 3 ;( )
 
y 3 = - 3e y 3 = -( ) -3 → ( )
3
e3
 
y 3 = -( )
3
e
3
 
 
(Resposta )