Testes de hipóteses sobre uma população

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Maria Cecília Moscardini- CMMG 2º período 
Bioestatística 
Testes de hipóteses sobre uma população 
Aula 11 
Motivação 
»Exemplo: 
»O jogador A afirma que acerta 80% 
dos lances livres em um jogo de 
basquete. Para verificar se isso ´e 
verdade, um pesquisador pede ao 
jogador A para fazer 20 lançamentos 
livres e observa que ele acerta somente 
8 (40%). Dificilmente, uma pessoa que 
acerta 80% dos lances livres dificilmente 
acertaria somente 8 em 20 
lançamentos. A amostra de 20 
lançamentos fornece evidência contra a 
hipótese de que o jogador A acerte 
80% dos lances livres 
Teste de Hipóteses ou Teste de 
Significância 
»Teste de hipóteses é um 
procedimento estatístico que permite 
testar uma afirmativa sobre uma 
propriedade da população, utilizando 
uma única amostra 
»A inferência estatística usa dados 
amostrais com dois propósitos: 
-Estimar um parâmetro populacional 
-Testar uma hipótese ou afirmativa 
sobre um parâmetro populacional 
Fundamentos de testes de 
hipóteses 
Hipóteses 
»Em um teste sempre haverá suas 
hipóteses 
Hipótese nula (H0) 
»É a afirmação sobre o parâmetro que 
obrigatoriamente, conter a condição de 
igualdade 
»Para a media µ, considerando k uma 
constante conhecida: 
•H0: µ = k, 
• H0: µ ≥ k, 
• H0: µ ≤ k 
Exemplo: Uma organização americana 
afirma que o peso médio de um 
passageiro de avião (que leva bagagem) 
é maior que os 84 kg estabelecidos há 
vinte anos. 
K = 84 
»Para a proporção p, considerando c 
uma constante conhecida: 
Bioestatística 
 
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• H0: p = c, 
• H0: p ≥ c, 
• H0: p ≤ c 
Exemplo: Um jornal afirma que a maioria 
dos trabalhadores consegue empregos 
através de uma rede de amigos. 
C = 50% 
Hipótese alternativa (H1) 
»A afirmação sobre os parâmetros 
deve ser verdadeira se a hipótese nula 
(H0) for falsa. 
»Para a media µ, considerando k uma 
constante conhecida: 
• H1: µ ≠ k, (para H0 = k) 
• H1: µ < k, (para H0 ≥ k) 
• H1: µ > k, (para H0 ≤ k) 
»Para a proporção p, considerando c 
uma constante conhecida: 
• H1: p ≠ c, (para H0 = c) 
• H1: p < c, (para H0 ≥ c) 
• H1: p > c, (para H0 ≤ c) 
*Alguns livros texto consideram que a 
hipótese nula H0 deve conter somente 
a igualdade (=). 
» H0 em alguns contextos ́ e vista como 
a hipótese de ’nenhum efeito’ ou 
’nenhuma diferença’. Isso se refere a 
quando um tratamento/medicamento 
possui o mesmo efeito a anterior 
»O procedimento de teste ´e feito 
assumindo que H0 ´e verdadeira, ou 
seja, o teste ´e sobre H0. O objetivo ´e 
avaliar a força das evidências contra H0. 
»As conclusões possíveis de um teste 
são, rejeitar ou não rejeitar H0. 
Estabelecendo hipóteses 
»Uma universidade alega que a 
proporção de alunos formados em 
quatro anos ´e 82%. 
-Parâmetro: Proporção de alunos 
formados em 4 anos. 
-Hipóteses: H0: p = 0, 82(c) 
-Então, H1: p ≠ 0, 82. 
»Uma indústria farmacêutica especifica 
que, em certo analgésico, a quantidade 
média de AAS deve ser 5,5 mg por 
comprimido. A indústria suspeita que 
houve problemas na produção de 
determinado lote, e que a quantidade 
média de AAS ´e maior que a 
especificada. 
»Parâmetro: Quantidade média de AAS 
por comprimido. 
-Hipóteses: H1: µ > 5, 5 mg. 
--A hipótese nula será p complementar 
(contrário) da hipótese alternativa, 
então: H0: µ ≤ 5, 5 mg 
»A altura média de mulheres americanas 
de 18 anos é 1,63m. Um diretor de escola 
de ensino média suspeita que a altura 
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média das alunas desta escola é 
diferente da nacional 
-Neste caso, como a suspeita é de 
diferença, cabe somente na hipótese 
alternativa. 
• H1: µ ≠ k, (para H0 = k) 
- H1: µ ≠ 1,63 
-A hipótese nula será p complementar 
(contrário) da hipótese alternativa: H0 = 
1,63 
-Então o grupo de hipótese é: 
H0: µ = 1, 63 m × H1: µ ≠ 1, 63 m 
»Um pesquisador suspeita que a média 
do peso ao nascer de bebês cujas mães 
não consultaram um médico antes do 
parto seja menor que 1.000 g 
»Neste caso, como a suspeita é de valor 
menor, sem considerar igualdade, cabe 
somente na hipótese alternativa 
• H1: µ < k, (para H0 ≥ k) 
- H1: µ < 1.000g 
-A hipótese nula é complementar da 
hipótese alternativa: H0 ≥ 1.000g 
-Então o grupo de hipótese é: 
H0: µ ≥ 1.000 g × H1: µ < 1.000 g 
»OBS: Se for construído erroneamente 
as hipóteses como: H0: µ ≤ 1.000 g × H1: 
µ > 1.000 g, não será possível responder 
a pergunta do pesquisador 
Erros associados a um 
teste de hipóteses 
»O teste a ser feito permite duas 
conclusões possíveis: rejeitar ou não 
rejeitar H0. 
»É possível cometer dois tipos de erros: 
 Erro tipo 1 
»Consiste em rejeitar a hipótese nula 
quando ela é verdadeira. 
»Denota-se α a probabilidade de 
ocorrência do erro tipo 1. O α é 
chamado de nível de significância e 
normalmente é predeterminado 
Escolhas comuns de valores para este 
erro são: α = 0, 01 e α = 0, 05 (artigos 
científicos). 
Erro tipo 2 
»Consiste em não rejeitar a hipótese 
nula quando ela é falsa. 
»A probabilidade de ocorrência desse 
erro é denotada por β 
»Esse erro está relacionado ao poder 
do teste 
 
→Interpretação do gráfico 
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»Se na amostra for rejeitado H0, mas 
na população a H0 é verdadeira, o 
pesquisador está cometendo o erro tipo 
1. 
»Se na amostra for rejeitado H0, e na 
população a H0 também é falsa, o 
pesquisador está tomando a decisão 
correta 
»Se na amostra não se rejeita a H0, e 
na população H0 é verdadeira, o 
pesquisador está tomando a decisão 
correta 
»Se na amostra não se rejeita a H0, mas 
na população H0 é falsa. O pesquisador 
está com entendo o erro tipo 2 
»Na prática o pesquisador que realiza o 
teste especifica o ´nível de significância 
α, controlando, assim, a probabilidade de 
ocorrência do erro tipo I. A ocorrência 
de cada um dos tipos de erro tem as 
suas consequências. Na prática é 
comum assumir que a ocorrência do 
erro tipo I é mais grave, mas isto não é 
uma regra. 
»Exemplo: Uma indústria lança um 
produto X que aumenta a chance de ter 
uma menina. 
-Parâmetro: p = proporção de 
nascimentos de meninas com o uso do 
produto X. 
-Hipóteses: H0: p ≤ 0, 50 vs H1: p > 0, 
50. 
Erro tipo I: rejeitar H0 quando H0 ´e 
verdadeira (falar que o método funciona 
quando na verdade não funciona na 
população) 
Erro tipo II: não rejeitar H0 quando H0 
´e falsa (falar que o método não 
funciona quando na verdade ele 
funciona). 
Estatística de teste 
ȃ o valor baseado nos dados amostrais 
utilizado para tomar a decisão de rejeitar 
ou não a hipótese nula 
» E obtido pela conversão da estatística 
amostral (´ pˆ para proporção e x¯ para 
média) em quantil de alguma distribuição 
conhecida, como normal ou t-Student. 
»A formula dependerá do parâmetro 
testado 
»Teste para uma média com variância 
populacional desconhecida (só temos o 
valor da variância amostral s 2): 
 
 
- A estatística Tobs tem distribuição t-
Student com n − 1 graus de liberdade. 
-Na fórmula acima, x¯ é a média 
amostral, s é o desvio-padrão amostral, 
n é o tamanho da amostra e k é a 
constante conhecida testada em H0. 
» Teste para uma proporção 
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-A estatística Zobs tem distribuição 
Normal Padrão. 
-Na fórmula acima, pˆ é a proporção 
amostral, c é a constante conhecida 
testada em H0 e n é o tamanho da 
amostra. 
Região Critica 
»Consiste no conjunto dos valores da 
estatística que levam a rejeição da 
hipótese nula 
»A construção da região crítica 
depende do nível de significância α e o 
tipo de teste. 
»O tipo do teste é definido pela forma 
da hipótese alternativa 
»Um teste é dito bilateral se: 
-H1: µ ≠ k, para a média 
Ou 
-H1: p ≠ c, para a proporção 
 
 
»Um teste é dito unilateral esquerdo se: 
-H1: µ < k, para a média 
Ou 
-H1: p < c, para a proporção 
»Um teste é dito unilateral direito se: 
-H1: µ > k, para a média 
Ou 
-H1: p > c, para a proporçãoEstatística de teste Zobs, ao nível de 
significância α 
→Para um teste unilateral esquerdo: 
H1: p < c 
RC = {Zobs < 
−zα}, ou seja, 
rejeita-se H0 se o 
Zobs for menor 
que um valor 
−zα, que é o valor da distribuição 
normal padrão que deixa α a esquerda 
dele. 
»O −zα é o percentil α% da distribuição 
Normal padrão (o valor que deixa α de 
área `a sua esquerda). 
»O valor −zα ´e chamado de valor 
crítico. 
 
 
 
→Para um teste unilateral direito: 
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H1: p >c 
RC = {Zobs > zα}, 
ou seja, rejeita-se 
H0 se o Zobs for 
maior que um 
valor zα	
»Este zα é o percentil (1 − α) % da 
distribuição Normal padrão (o valor que 
deixa (1 − α) de área `a sua esquerda) 
» O valor zα ́ e chamado de valor crítico 
→Para um teste bilateral: 
H1: p ≠ c 
RC = Zobs < 
−zα/2 ou Zobs > 
zα/2, ou seja, 
rejeita-se H0 se 
o Zobs for menor que um valor −zα/2 
ou maior que zα/2. 
»Este −zα/2 ´e o percentil (α/2) % da 
distribuição Normal padrão (o valor que 
deixa α/2 de área `a sua esquerda) e o 
zα/2 ´e o simétrico positivo dele. 
»O valor zα/2 ´e chamado de valor 
crítico 
 
 
 
Estatística de teste Tobs, ao nível de 
significância α 
→Para um teste unilateral esquerdo: 
H1 : µ < k 
RC = {Tobs < 
−tα}, ou seja, 
rejeita-se H0 se o 
Tobs for menor 
que um valor −tα. 
Este −tα ´e o percentil α% da 
distribuição t-Student com n − 1 GL (o 
valor que deixa α de ´área `a sua 
esquerda). 
O valor −tα ´e chamado de valor crítico 
→Para um teste unilateral direito: 
H1: µ > k 
RC = {Tobs > tα}, 
ou seja, rejeita-se 
H0 se o Tobs for 
maior que um 
valor tα. 
»Este tα ´e o percentil (1 − α) % da 
distribuição t-Student com n − 1 GL (o 
valor que deixa (1 − α) de área `a sua 
esquerda). 
»O valor tα ´e chamado de valor crítico. 
→Para um teste bilateral: 
H1: µ ≠ k 
RC = Tobs < 
−tα/2 ou Tobs > 
tα/2, ou seja, 
rejeita-se H0 se 
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o Tobs for menor que um valor −tα/2 
ou maior que tα/2. 
»Este −tα/2 ´e o percentil (α/2) % da 
distribuição t-Student com n − 1 GL (o 
valor que deixa α/2 de área `a sua 
esquerda) e o tα/2 ´e o simétrico 
positivo dele. 
»O valor tα/2 ´e chamado de valor 
crítico. 
Tabela do normal padrão 
»Na Tabela Normal padrão, se encontra 
o valor critico `a esquerda 
-0,05 de área → -1,64 
»Na tabela normal padrão, procura-se 
na tabela a área mais próxima de 0,05 
do lado negativo (quadrado vermelho) 
- 0,01 de área → -2,33 (verde) 
- 0,025 de área → -1,96 (azul) 
 
 
 
 
 
 
Tabela t-Student 
»Na Tabela t-Student, se encontra o 
valor critico `a 
esquerda 
-0,05 de área, 
com 21 GL → -
1,7207(vermelho) 
-0,01 de área, 
com 13 GL → -
2,6503. (azul) 
-0,025 de área, com 9 GL → -2,2622. 
(verde) 
P - Valor 
»E a probabilidade de se obter um valor 
da estatística de teste que seja igual ou 
mais extremo que o observado para a 
amostra, supondo que a H0 seja 
verdadeira. 
»H0 é rejeitada se o p-valor for muito 
pequeno, menor que o nível de 
significância α 
Regra de decisão: 
• Se p-valor < α → H0 deve ser 
rejeitada, ao nível de significância α, 
• Se p-valor ≥ α → H0 não deve ser 
rejeitada, ao nível de significância α	
 
 
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Roteiro para solução de um teste 
de hipóteses 
1-Identifique o parâmetro desconhecido 
a ser testado - se ́ e uma média ou uma 
proporção, e os descreva no contexto 
do problema 
2-Formule as hipóteses - atenção ao 
fato de que as hipóteses são formuladas 
em relação aos parâmetros; 
3-Calcule a estatística de teste; 
4-Construa a região crítica; 
5-Decida pela rejeição ou não da 
hipótese nula; 
6-Conclua, no contexto do problema. 
Teste sobre uma média 
populacional 
»Uma indústria farmacêutica especifica 
que, em certo analgésico, a quantidade 
média de AAS deve ser 5,5 mg por 
comprimido. A indústria suspeita que 
houve problemas na produção de 
determinado lote, e que a quantidade 
média de AAS ´e maior que a 
especificada. Para verificar essa suspeita, 
a indústria selecionou 50 comprimidos 
do lote suspeito, observando uma 
quantidade média de AAS igual a 5,8 mg 
e um desvio - padrão de 0,85 mg. Os 
dados da amostra confirmam a suspeita 
da indústria ao nível de significância de 
2%? 
Parâmetro: µ: quantidade média de AAS 
de um analgésico de lote suspeito. 
Hipóteses: H0: µ = 5, 5 mg × H1: µ ≠ 5, 
5 mg. 
n=50, x¯ = 5, 8 e s = 0, 85 
Estatística de teste: 
»Região crítica: 
Temos H1: µ 6= 5, 
5 mg (teste 
bilateral) e α = 0, 
02. A distribuição 
de referência ´e a 
t-Student com n − 1 = 50 − 1 = 49 GL. 
»tα/2 = 2, 4049 
então RC = 
{Tobs < −2, 
4049 ou Tobs > 
2, 4049} 
 
A estatística de teste Tobs ∈ RC? 
Decisão: Como Tobs = 2, 496 > 2, 
4049 → Tobs ∈ RC → Rejeita-se H0. 
Conclusão: A 2% de significância, há 
evidências de que a quantidade média 
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de AAS no 
analgésico do lote 
suspeito ´e 
diferente de 5,5 mg. 
 
Teste sobre uma proporção 
populacional 
»O Clarinex ´e uma droga usada para o 
tratamento de asma. Em testes clínicos 
dessa droga, 1.655 pacientes foram 
tratados com doses de 5 mg de 
Clarinex e 2,1% deles tiveram fadiga. 
»Use o nível de significância de 0,01 para 
testar a afirmativa de que a 
porcentagem dos usuários de Clarinex 
que demostraram fadiga seja maior que 
a taxa de 1,2% daqueles que não usam 
Clarinex. 
A fadiga parece ser uma reação 
adversa do Clarinex? 
Parâmetro: p: proporção de pacientes 
tratados com Clarinex que 
apresentaram fadiga. 
Hipóteses: H0: p ≤ 0, 012 × H1: p > 0, 012. 
Estatística de teste: 
 
 
Região crítica: Temos H1: p > 0, 012 
(teste unilateral direito) e α = 0, 01. A 
distribuição de 
referência ´e a 
Normal Padrão. 
 
Então, por simetria, zα = 2, 33 então 
RC = {Zobs > 2, 33}. 
A estatística de teste Zobs ∈ RC? 
Decisão: Como 
Zobs = 3, 363 > 
2, 33 → Zobs ∈ 
RC → Rejeita-se 
H0. 
Conclusão: A 1% 
de significância, há evidências de que a 
fadiga ´e uma reação adversa do 
Clarinex.