07_Apostila TTI Mat_2019

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
 
 
1. INTRODUÇÃO .............................................................................................. 3 
2. RAZÃO E PROPORÇÃO .............................................................................. 5 
2.1. Razão ...................................................................................................... 5 
3. PROPORÇÃO ............................................................................................... 7 
4. REGRA DE TRÊS SIMPLES ........................................................................ 9 
4.1. Regras de Três com Grandezas Diretamente Proporcionais .................. 9 
4.2. Regras de Três com Grandezas Inversamente Proporcionais .............. 11 
5. PORCENTAGEM (%) .................................................................................. 13 
6. CAPITAL ..................................................................................................... 14 
7. JUROS ........................................................................................................ 15 
7.1. Juros Simples ........................................................................................ 16 
8. MONTANTE ................................................................................................ 19 
8.1. Montante Simples .................................................................................. 19 
8.2. Montante Composto .............................................................................. 20 
9. SÍNTESE DO CONTEÚDO ......................................................................... 22 
10. VERIFIQUE SEUS CONHECIMENTOS ...................................................... 22 
10.1. Complete as frases abaixo: ................................................................... 22 
10.2. Assinale a(s) alternativa(s) correta(s): ................................................... 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
A Matemática Financeira é uma ferramenta muito útil na análise de algumas 
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Esta tem 
extrema importância para a tomada de decisões em uma empresa e, sua 
aplicação, quando bem desenvolvida, resulta em maior rentabilidade 
possibilitando a maximização nos resultados. A idéia básica é simplificar a 
operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos 
matemáticos. 
 
No dia-a-dia, em situações mais simples e corriqueiras, por exemplo, pequenos 
investimentos, as ferramentas da Matemática Financeira vão indicar-lhe a melhor 
decisão. 
 
Para compreender a Matemática Financeira é necessária a compreensão 
principal desta: o Capital ou principal, que significa o valor de uma quantia em 
dinheiro "na data zero", ou seja, no inicio de uma aplicação. Capital pode ser o 
dinheiro investido em uma atividade econômica, o valor financiado de um bem, ou 
de um empréstimo tomado. Já os juros, que também são parte da essência desta 
área, são a remuneração paga pelo uso do dinheiro. Os juros podem ser tanto o 
rendimento de uma aplicação quanto os juros as serem pagos em um 
financiamento. Estes se diferenciam do capital porque resultam da aplicação 
financeira, enquanto o capital é o motivo da aplicação financeira. Os juros sempre 
são expressos em unidades monetárias e representam o montante financeiro 
referente a uma aplicação. Estes são os itens principais trabalhados pela 
Matemática Financeira. 
 
Assim o estudo da Matemática Financeira é realmente de enorme importância 
para qualquer pessoa que queira compreender o mundo atual tal qual ele se 
apresenta, com os fluxos de capital em corrente pelo mundo. Outra questão é que 
esta envolve as decisões de cunho social, hoje estáveis, podendo porém tornar-
se instáveis de uma hora para outra. Enfim, o dinheiro ditando as regras em 
quase todos, senão todos, os aspectos de nossas vidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
 
 
 
 
 
 
 
Ao final desta Unidade você será capaz de: 
 Calcular a proporção entre duas frações; 
 Calcular uma Regra de Três Simples, uma Regra de Três com Grandezas 
Diretamente Proporcionais e uma Regra de Três com Grandezas 
Inversamente Proporcionais; 
 Calcular a porcentagem dos valores; 
 Compreender o significado e funcionamento de capital e juros; 
 Classificar as notações comuns que serão utilizadas neste material; 
 Identificar a compatibilidade dos dados; 
 Calcular os Juros Simples; 
 Analisar e calcular o montante simples: simples e composto. 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
2. RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
2.1. Razão 
 
A razão entre dois números é o resultado do cociente entre ambos. 
 
 
 
 
a) Qual a razão entre 36 e 12? 
R: 
36
12
= 3 isto é, é o resultado da divisão entre o 1° e o 2 ° número 
 
b) Qual a razão entre 100 e 25? 
 R: 
100
25
= 4 
 
c) Qual a razão entre ½ e ¾ 
R: 
1
2�
3
4�
 = 
1 x 4
2 x 3
 = 
4
6
 = 
2
3
 
 
 
 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
 
 
a) O Colégio Lapa num determinado período fez 48 matrículas do Curso TTI e 
96 matrículas de Contabilidade. Qual a razão entre as matrículas de TTI e as 
de Contabilidade? 
 
 
b) Qual a razão entre 1200 e 60? 
 
 
c) Qual a razão entre 100 e 20? 
 
 
d) Qual a razão entre 24 e 144? 
 
 
e) Qual a razão entre 3/4 e 12/3? 
 
 
f) Qual a razão entre 25/5 e 150/50? 
 
 
g) Qual a razão entre 6/7 e 6/11? 
 
 
h) Qual a razão entre 9,6 e 4,8? 
 
Exercícios Propostos 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
3. PROPORÇÃO 
 
 
A PROPORÇÃO é a igualdade entre duas frações, por exemplo: 
 
 
 
 
 
a) 
48
12
 = 
96
24
 = 
24
6
 , ou seja 
a 
b
 = 
c
d
 , a, d = extremos 
 b, c = meios 
 
De tal forma que a x d = b x c, no caso acima vem que 48 x 24 = 12 x 96 ou 
96 x 6 = 24 x 24. 
 
 
 
 
 
b) 
200
100
 = 
100
50
= 
50
25 
= 
2
1
= 2 
 
 
 
 
 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
 
 
 
Determinar o valor de w: 
 
a) 
w
2
 = 68
4
 
 
b) 
28
w
 = 
140
10
 
 
 
c) 
36
6
 = 
180
w
 
 
d) 
40
20
 = 
20
w
 
 
 
e) 
21
w
 = 
42
2
 
 
f) 
96
8
 = 
48
w
 
 
 
g) 
w
3
 = 
36
2
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
4. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
4.1. Regras de Três com Grandezas Diretamente Proporcionais 
 
É usada quando as grandezas são 
proporcionais: por exemplo, se uma 
fábrica produz 100kg de cimento em 
uma hora, produzirá 300kg em três 
horas. 
Ou seja, se uma grandeza aumenta, a 
outra também aumenta; se uma 
diminui, a outra também diminui. 
 Neste caso, fazemos uma 
multiplicação cruzada: 
 
Exemplo: Com R$7,00 eu consigo comprar 01 quilo de carne. Se eu quiser 
comprar 3 quilos de carne, quanto pagarei? 
 
R$ 7,00
w
 = 
01 quilo
03 quilo
 
R$ 7,00
w
 
 01 quilo
 03 quilo
 
 
então 7,00 x 3 = 1 x w 
então w = R$ 21,00 
 
Isto é, vou precisar de R$21,00 para comprar os 3 quilos de carne. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
a) Se 12 peças de calça custam R$960,00, quanto custam 8 calças ? 
 
 
 
b) Se 7 fogões pesam 350 kg, quanto pesam 9 fogões ? 
 
 
 
c) 12 computadorescustam R$12.000,00, quanto custam 18 computadores? 
 
 
 
d) Dois caminhões levam 14m3 de terra. Quantos caminhões serão necessários 
parta levar 98m3 de terra? 
 
 
 
e) Um caminhão transporta 5m3 de terra. Assim, quantos caminhões serão 
necessários para tapar um buraco cúbico em um terreno, sendo que cada 
lado desse cubo mede 5 metros: 
 
 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
4.2. Regras de Três com Grandezas Inversamente Proporcionais 
 
Quando a uma grandeza cresce numa 
proporção e a outra decresce na 
mesma proporção, por exemplo, 
quando a velocidade do carro dobra, o 
tempo gasto numa viagem cai pela 
metade. Neste caso devemos fazer a 
multiplicação direta, sem cruzar os 
dados:. 
 
 
 
Exemplo : 
 
Se vou de São Paulo a Santos em 70 minutos a 100 km/h, com que velocidade(w) 
vou ter de ir, para chegar em uma hora (60 minutos)? 
 
70 min
60 min
 = 
100 km/h
w
 
 
70
60
 = 
100
w
 70 x 100 = 60 x w então w = 7000/60 = 117km/h 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
a) Se 3 pedreiros fazem uma casa em 12 meses, enquanto tempo 6 pedreiros 
farão essa casa ? 
 
 
b) Um prédio é pintado por 8 pintores em 14 dias, quantos pintores serão 
necessários para gastarmos apenas 07 dias? 
 
 
c) Se demoro 4h para fazer uma viagem a 60 km/h, quanto tempo gastarei se 
aumentar para 120km/h? 
 
 
d) No caso anterior, caso a velocidade fosse reduzida para 20 Km/h quanto 
tempo gastaria para fazer essa viagem? 
 
 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
5. PORCENTAGEM (%) 
 
 
Como o próprio nome diz, o número será expresso por (dividido) cento (100) 
 
Exemplo: 25 % = 25 dividido por 100, ou seja: 
25
100
= 0,25 
 
Quando se fala em porcentagem sobre algum número, é o mesmo que 
multiplicarmos a porcentagem por esse número. 
 
Exemplo : 
 
Quanto é 30% de R$120,00, então: 
 
 
30
100
 x 120,00 = 0,30 x 120,00 = R$ 36,00 
 
 
 
 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
 
 
 
1. O aluguel de um imóvel é de R$ 1.300,00. Se for pago antes do dia de 
vencimento, oferece-se um desconto de 15%. Assim, calcule o valor desse 
aluguel com pagamento adiantado: 
 
 
 
 
 
2. Se o aluguel anterior, porém, for pago após o vencimento, incide multa de 17% 
sobre o valor. Dessa forma, determine o valor do aluguel pago com atraso: 
 
 
 
 
3. Um corretor realiza a venda de um imóvel no valor de R$ 235.000,00. 
Recebeu uma comissão de 6%. Determine o valor recebido por esse corretor: 
 
 
 
 
4. Um terreno retangular mede 26m por 7m, e nele será construída uma casa 
que ocupará 60% de sua área. Assim, podemos afirmar que a área da casa 
será de: 
 
a) 19,8m2; b) 182 m2; c) 109,2 m2; d) 72,8 m2; e) 391,2 m2 
 
 
 
 
 
5. O proprietário do terreno mencionado no exercício anterior pretende construir 
também jardins e uma piscina. Assinale a alternativa que indica corretamente 
a metragem da área restante que usará para isso: 
 
a) 19,8m2; b) 182 m2; c) 109,2 m2; d) 72,8 m2; e) 391,2 m2 
Exercícios Propostos 
 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
Resp: 1 ) R$1.105,00 2) R$1.521,00 3) R$14.100,00 
 
 4) c 5) d) 
 
 
 
 
 
 
6. CAPITAL 
Capital: O Capital é o valor aplicado 
através de alguma operação financeira. 
Também conhecido como: Principal, 
Valor Atual, Valor Presente ou Valor 
Aplicado. Em língua inglesa, usa-se 
Present Value, indicado nas 
calculadoras financeiras pela tecla PV. 
 
 
 
 
7. JUROS 
Juros: representam a remuneração do 
Capital empregado em alguma 
atividade produtiva. Os juros podem ser 
capitalizados segundo os regimes: 
simples ou compostos, ou até mesmo, 
com algumas condições mistas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
 
 
Regime Processo de funcionamento 
Simples Somente o principal rende juros. 
Compostos 
Após cada período, os juros são incorporados ao 
Capital, proporcionando juros sobre juros. 
 
 
 
NOTAÇÕES COMUNS QUE SERÃO UTILIZADAS NESTE MATERIAL 
 
C Capital 
n número de períodos 
j juros simples decorridos n períodos 
J juros compostos decorridos n períodos 
r taxa percentual de juros 
i taxa unitária de juros (i = r / 100) 
P Principal ou valor atual 
M Montante de capitalização simples 
S Montante de capitalização composta 
 
 
COMPATIBILIDADE DOS DADOS 
 
Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser 
respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de 
juros e períodos sejam compatíveis, coerentes ou homogêneos. Situações onde isto não 
ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões de unidades. 
 
7.1. Juros Simples 
 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
7.1.1. Se n é o numero de períodos, i é a taxa unitária ao período e P é o 
valor principal, então os juros simples são calculados por: 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
7.1.2. Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituímos i por 
r/100 e obtemos a fórmula: 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
j = P r n / 100 
J = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00 
Os juros simples obtidos por 
um capital P=1.250,00 durante 
4 anos à taxa de 0,14 ao ano 
são dados por: 
j = P i n 
 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
 
 
 
 
 
7.1.3. Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a 
fórmula: 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
7.1.4. Se n é o numero de períodos, i é a taxa unitária ao período e P é o 
valor principal, então os juros simples são calculados por: 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
J = 1.500,00 x 0,10 x 4 = 600,00 
Os juros simples obtidos por 
um capital P=1.500,00 
durante 4 anos à taxa de 
10% ao ano são dados por: 
 
j = P.i.n 
J = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00 
Os juros simples obtidos por 
um capital P=1.250,00 durante 
4 anos (48 meses) à taxa de 
2% ao mês são: 
j = P r m / 100 
J = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00 
Os juros simples obtidos por 
um capital P=1.250,00 durante 
4 anos à taxa de 14% ao ano 
são dados por: 
 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
7.1.5. Se a taxa é ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula: 
 
Exemplo: 
 
 
 
8. MONTANTE 
 
8.1. Montante Simples 
Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido 
como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas 
calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao 
ano, quantos meses serão necessários para 
dobrar um capital aplicado através de 
capitalização simples? 
M = P + j = P (1 + in) 
j = 1.500,00 x 2 x 48 / 100 = 1.440,00 
Os juros simples obtidos por 
um capital P=1.500,00 durante 
4 anos (48 meses) à taxa de 
2% ao mês são dados por: 
j = P.r.m / 100 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
 
 
 
8.2. Montante Composto 
O cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i e do número de períodos 
n, é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
S = P (1 + i)n então, 
 
S = 2.000,00 x (1 + 0,12)5 = 2000,00 x 1,12 5 = 2000,00 x 1,762 = 3.525,00 
 
S = R$3.525,00 
S = P (1 + i)n 
Objetivo: M=2P 
Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in) 
Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), 
então 2=1+1,5 n, logo n = 2/3 ano = 8 meses. 
Qual o montante quando os juros são 
compostos, com taxa de 12% ao ano por 
um período de5 anos, com Capital inicial 
de R$2.000,00? 
 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
a) Qual o montante de um Capital de R$4.000,00, aplicado por 2 anos a uma taxa de 
18% ao ano ? 
 
 
 
b) Qual o montante quando se aplica por 6 meses (meio ano) um valor de R$500,00, a 
uma taxa anual de 36% ao ano ? 
 
 
 
c) Sabe-se que o montante resultante de um capital de R$4.000,00 aplicado por 1 ano 
é de R$4.768,00. Qual a taxa de juros? 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Página 6 
a) ½ b) 20 c) 5 d) 1/6 e) 3/16 f) 5/3 g) 11/7 h) 2 
 
Página 8 
a) 34 b) 2 c) 30 d) 10 e) 1 f) 4 g) 54 
 
Página 10 
a) R$640,00 b) 450 Kg c ) R$18.000,00 d) 14 e) 25 
Exercícios Propostos 
 
 
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COLÉGIO LAPA 
 
Página 12 
a) 6 meses b) 16 pintores c) 2 h d) 12 h 
 
Página 14 
1) R$1.105,00 2) R$1.521,00 3) R$14.100,00 4) c 5) d 
 
Página 21 
a) R$5.440,00 b) R$590,00 c) 1,6% a/m 
 
9. SÍNTESE DO CONTEÚDO 
Chegamos ao final desta unidade. Você aprendeu o básico conceitual sobre a 
matéria Matemática Financeira, a qual possui grande importância, não apenas 
para a prática de operações financeiras empresariais e comerciais, como também 
no cotidiano de cada indivíduo, pois, se tornam cada vez mais comuns usuais e 
necessários os termos e práticas dela originados. 
Você já sabe fazer os cálculos de uma proporção entre duas frações, assim como 
também calcular uma Regra de Três Simples, uma Regra de Três com Grandezas 
Diretamente Proporcionais e uma Regra de Três com Grandezas Inversamente 
Proporcionais. Outros cálculos importantes aprendidos nesta aula foram a 
porcentagem dos valores e o cálculo dos Juros Simples. Além de compreender o 
significado e funcionamento de capital e juros, itens básicos e principais desta 
matéria, sendo capaz também de identificar a compatibilidade dos dados e 
calcular o montante simples e composto, elementos fundamentais da Matemática 
Financeira. 
Conclui-se que, de forma simplificada, pode-se dizer que a Matemática Financeira 
possui elementos que estudam o comportamento do dinheiro no tempo e busca 
também quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em 
consideração a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo. 
 
10. VERIFIQUE SEUS CONHECIMENTOS 
10.1. Complete as frases abaixo: 
a) C ______________ 
b) i ____________ unitária de juros (i = r / 100) 
c) j juros _______________ decorridos n períodos 
d) J juros _______________ decorridos n períodos 
e) M ______________ de capitalização ____________ 
f) n número de __________________ 
 
 
 
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 MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
g) P _______________ ou valor atual 
h) r _____________ percentual de juros 
i) S ____________ de capitalização ______________ 
 
10.2. Assinale a(s) alternativa(s) correta(s): 
a) Os Juros Compostos são calculados: J = C. i. n 
b) Montante Simples pode ser calculado: M = P + j 
c) Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido 
como Valor Presente. 
d) Montante composto é definido como sendo o valor acumulado em um período, 
com a capitalização calculada por juros simples. 
 
Respostas: 
10.1) (a) Capital (b) taxa, (c) simples, (d) compostos, (e) Montante e simples, 
 (f) períodos, (g) Principal, (h) taxa, (i) Montante e composta 
 
10.2) b