calculo2_cap05_resol

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Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1 
1. O volume “V” de um cilindro circular é calculado pela expressão: 
hrV  2
, sendo que 
r é o raio da base e h a altura. 
r
h
 
2. A equação de estado de um gás ideal é dada pela seguinte equação: 
V
TRn
P


 
Onde: P= pressão; V= volume; n = massa gasosa em moles; R= constante 
molar do gás; e T = temperatura. 
3. O circuito elétrico da figura que segue tem cinco resistores. A corrente deste circuito 
depende das resistências 
5,,1, iRi
, onde E é a tensão da fonte. 
 
4. Determine o domínio e a imagem da função 
z

f
(
x
)
2
2
2
19 xx 
 definida de  2 em 
. 
Resolução: 
Df
 {
x
 2 ; 
w

f
(
x
)}, 9 
2
1x

2
2x
 0  
2
1x

2
2x
 9. 
Logo: 
Df
 {
x
 2 ; 
2
1x

2
2x
 9}; 
fIm
 {
z
; 
z

f
(
x
)}  {
z
; 0 
z
 3}. 
Resposta: 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2 
5. Represente graficamente o domínio da função 
   yxyxf  ln,
. 
Resolução: 
Condição: 
  xyyx  0
 
Assim, 
Df
 {
 yx,
 2 ; 
xy 
} 
 
Resposta: 
6. Represente graficamente o domínio da função 
 
22
,
yx
xy
yxf


. 
Resolução: 
Condição: 
     0022 yxyxyx
 
  0 yx
 e 
  0 yx  xy 
 e 
xy 
 ou 
  0 yx
 e 
  0 yx  xy 
 e 
xy 
 
Assim, 
Df
 {
 yx,
 2 ; 
xy 
 e 
xy 
 ou 
xy 
 e 
xy 
} 
 
 
Resposta: 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3 
7. No exemplo que segue, podemos observar algumas curvas de nível da função 
  22100, yxyxfz 
. 
 
8. No exemplo que segue, podemos observar uma curva de nível e uma curva de contorno da 
função 
  22100, yxyxfz 
. 
 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4 
9. Represente graficamente 
f
(
x
,
y
)
229 yx 
 e trace as curvas de níveis 
f
(
x
,
y
)0, 
f
(
x
,
y
)
5
 e 
f
(
x
,
y
)
8
 no domínio de 
f
 no plano. 
Resolução: 
Curva de Nível (Cn) 
f
(
x
,
y
)0 
229 yx 
 0 
 9  2x  2y  0 
 2x  2y  9 
Cn0  {(
x
,
y
) 2 ; 2x  2y  9}; 
Cn
5
 {(
x
,
y
) 2 ; 2x  2y  4}; 
Cn
8
 {(
x
,
y
) 2 ; 2x  2y  1}. 
w

229 yx 
  2w  9  2x  2y  2x  2y  2w  9 é uma esfera de centro na 
origem e raio 3. Como 
w
 0, o gráfico é a superfície superior da esfera. 
=
x
y
w
=w
w
Cc
Cc
Cn
Cn
Cn0
8
5
8
5
5
8 
Resposta: 
Calcule os limites: 
10. 
)4,3(),(
lim
yx
22 yx 
 
Resolução: 
)4,3(),(
lim
yx
22 yx 

22 43 )(
 
25
 5. 
Resposta: 5 
11. 
)1,0(),(
lim
yx 32 5
3
yxyyx
xyx


 
Resolução: 
)1,0(),(
lim
yx 32 5
3
yxyyx
xyx



32 110510
3100


 3. 
Resposta: 3 
12. 
)0,0(),(
lim
yx yx
xyx

2
 
Resolução: INDETERMINAÇÃO 0/0. 

)0,0(),(
lim
yx yx
xyx

2

yx
yx

 
)0,0(),(
lim
yx
 
yx
yxyxx

 )( 

)0,0(),(
lim
yx
 yxx 
 0. 
Resposta: 0 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5 
13. 
)1,1(),(
lim
yx yx
yx

 22
 
Resolução: 
)1,1(),(
lim
yx yx
yx

 22
 =
)1,1(),(
lim
yx yx
yxyx

 )()(

)1,1(),(
lim
yx
)( yx 
  11  2. 
Resposta: 2 
14. Aplicando limites por caminhos, mostre que 
f
(
x
,
y
)
24
22
yx
yx

 não tem limite quando 
(
x
,
y
) se aproxima de (0,0). 
Resolução: 
Ao longo da curva 
y

k
2x
, 
x
0: 





0
2
x
kxy
 
)0,0(),(
lim
yx 24
22
yx
yx

 
0
lim
x 224
222
)(
)(
kxx
kxx

 
0
lim
x 424
42
xkx
kx

 
0
lim
x 21
2
k
k

 
21
2
k
k

. 
Este limite varia com o caminho de aproximação: 
k
0  limite é 0; 
k
1  limite é 1. 
Resposta: Logo, 

)0,0(),(
lim
yx
f
(
x
,
y
). 
15. 
f
(
x
,
y
) 
24
24
yx
yx


 (Caminhos 
y

k
2x
); 
Resolução: 





0
2
x
kxy
 
)0,0(),(
lim
yx 24
24
yx
yx


 
0
lim
x 224
224
)(
)(
kxx
kxx


 
0
lim
x 424
424
xkx
xkx

 
0
lim
x 2
2
1
1
k
k

 
2
2
1
1
k
k

 . 
Este limite varia com o caminho de aproximação: 
k
0  limite é 1; 
k
1  limite é 0. 
Resposta: Logo, 

)0,0(),(
lim
yx
f
(
x
,
y
). 
16. 
f
(
x
,
y
) 
yx
yx


 (Caminhos 
y

k x
, 
k
1); 
Resolução: 





0x
kxy
 
)0,0(),(
lim
yx yx
yx


 
0
lim
x kxx
kxx


 
0
lim
x k
k


1
1
 
k
k


1
1
. 
Este limite varia com o caminho de aproximação: 
k
0  limite é 1; 
k
1  limite é 0. 
Resposta: Logo, 

)0,0(),(
lim
yx
f
(
x
,
y
). 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 6 
17. 
f
(
x
,
y
) 
y
yx 22 
 (Caminhos 
y

k
2x
, 
k
0); 
Resolução: 





0
2
x
kxy
 
)0,0(),(
lim
yx y
yx 22 
 
0
lim
x 2
222
kx
kxx )( 
0
lim
x 2
222 1
kx
xkx )(  
0
lim
x k
xk 221 
k
1
. 
Este limite varia com o caminho de aproximação: 
k
1  limite é 1; 
k
2  limite é 
2
1
. 
Resposta: Logo, 

)0,0(),(
lim
yx
f
(
x
,
y
). 
Discutir a continuidade das seguintes funções: 
18. 
  252, 22  xyyxyxf
 
Resolução: 
Como f é uma função polinomial de duas variáveis, f é continua em todos os pontos do 
2
. 
Resposta: 
19. 
 
2233
1
,
22 


yxxyxyx
yx
yxg
 
Resolução: 
A função g pode ser reescrita como: 
 
     12131
1
2233
1
,
222 





yyxyx
yx
yxxyxyx
yx
yxg
=
      211
1
231
1
2 




xxy
yx
xxy
yx
 
Logo g é contínua 
  2,  yx
, desde que 
2,1  xx
 e 
1y
 
Resposta: 
20. 
   4ln, 22  yxyxh
 
Resolução: 
Como 
0422 yx
, 
  2,  yx
, então a função h é contínua em todos os pontos do 
2
. 
Resposta: