Estruturas de Concreto - Lajes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS 
DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Musso Junior 
musso@npd.ufes.br 
 
 
 
 
2010/2 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO I E II (EST01058 – EST01059) 
 
PROGRAMA 
 
1 - BASES DO DIMENSIONAMENTO 
2 - VIGAS - ANÁLISE ESTRUTURAL 
3 - VIGAS - DIMENSIONAMENTO 
4 - VIGAS - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
5 - VIGAS - EXEMPLOS 
6 - LAJES - ANÁLISE ESTRUTURAL 
7 - LAJES - DIMENSIONAMENTO 
8 - LAJES - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
9 - LAJES - EXEMPLOS 
10 - PILARES - ANÁLISE ESTRUTURAL 
11 - PILARES - DIMENSIONAMENTO 
12 - PILARES - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
13 - PILARES - EXEMPLOS 
14 - FUNDAÇÕES - ANÁLISE ESTRUTURAL 
15 - FUNDAÇÕES - DIMENSIONAMENTO 
16 - FUNDAÇÕES - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
17 - FUNDAÇÕES - EXEMPLOS 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
1 – [MUSSO] MUSSO JUNIOR, F. Dimensionamento de Estruturas de Concreto Armado. Departamento de 
Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2010. 
2 – [ARAUJO] ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. v. 1 a 4. 2a ed. Rio Grande: Dunas, 2003. 
3 – [MONTOYA] MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A. G.; CABRÉ, F. M. Hormigón Armado: ábacos para el 
calculo de secciones em el estado ultimo de agotamiento. tomo II.10a ed. Barcelona: Gustavo Gili, 1981. 
4 – [LEONHARDT] LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de Concreto. v. 1 a 6. 1a ed. Rio de Janeiro: 
Interciência, 1977. 
5 – [MOSLEY] MOSLEY, B.; BUNGEY, J.;HULSE, R. Reinforced Concrete Design to Eurocode 2. 6a ed. New 
York: Palgrave Macmillan, 2007. 
6 – [FAVRE] FAVRE, R.; JACCOUD, J.; BURDET, O.; CHARIF, H. Dimensionnement des Structures em Béton: 
Aptitude au Service et Elements de Structures. Traité de Génie Civil. v. 8. Lausanne: Pressses Polytechniques 
Universitaires Romandes, 2004. 
7 – [BARES] BARES, R. Tablas para el Cálculo de Placas y Vigas Pared. 2a ed. Barcelona: Gustavo Gili, 
1981. 
8 – [CZERNY] CZERNY, F. Tafeln fur Rechtekplatten. Beton-Kalender, Teil I. Berlin: Ernst & Sohn, 1996. 
9 – [EISENBIEGLER] EISENBIEGLER, G.; LIEB, H. Schnittgrossen und Verformungen von Pilzdecken mit 
Stutzenkopfverstarkungen infolge Gleichlast. Beton-und Stahlbetonbau. n. 74, p. 219-224, 1979. 
10 – [GRASSER] GRASSER, E.; THIELEN, G. Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgroβen und 
Formanderungen von Stahlbetontragwerken. Deutscher Ausschuss fur Stahlbeton. n. 240, Berlin: Beuth, 
1991. 
11 – [NBR 6118] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de Estruturas de Concreto - 
Procedimento: NBR 6118. Rio de Janeiro, 2003. 
12 – [NBR 6120] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o Cálculo de 
Estruturas de Edificações - Procedimento: NBR 6120. Rio de Janeiro, 1980. 
13 – [NBR 7480] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Aço destinado a Armaduras para 
Estruturas de Concreto Armado - Especificação: NBR 7480. Rio de Janeiro, 2007. 
14 – [NBR 8681] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e Segurança nas Estruturas - 
Procedimento: NBR 8681. Rio de Janeiro, 2003. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÕES 
 
EST01058 - ESTRUTURAS DE CONCRETO I - P1 (29/09); P2 (24/11); PF (15/12) 
EST01059 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II - P1 (28/09); P2 (23/11); PF (14/12) 
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1 - BASES DO DIMENSIONAMENTO 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 3
 
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS 
Classificação dos Elementos Estruturais 
Tipo Definição Elemento Esquema Definição 
 
Viga 
 
 
 
 
 
elemento linear em que a flexão é 
preponderante 
 
 
Pilar 
elemento linear de eixo reto, usualmente 
disposto na vertical, em que a força normal 
de compressão é preponderante; a maior 
dimensão da seção transversal é menor ou 
igual a 5 vezes a menor dimensão 
Tirante 
 
 
elemento linear de eixo reto em que a força 
normal de tração é preponderante 
 
 
Li
ne
ar
 
o 
co
m
pr
im
en
to
 l
on
gi
tu
di
na
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 m
ai
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s 
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ai
or
 d
im
en
sã
o 
da
 s
eç
ão
 tr
an
sv
er
sa
l 
Arco 
 
elemento curvo em que a força normal de 
compressão é preponderante, agindo ou 
não com flexão 
 
Laje 
 
elemento de superfície plana sujeito 
principalmente a ações normais a seu 
plano; o lado menor é maior ou igual a 5 
vezes a espessura 
 
Viga-parede 
elemento de superfície plana sujeito 
principalmente a ações contidas em seu 
plano; o comprimento é menor que três 
vezes a maior dimensão da seção 
transversal 
Casca 
 
 
elemento de superfície não plana 
 
 
Su
pe
rf
íc
ie
 
um
a 
di
m
en
sã
o,
 u
su
al
m
en
te
 c
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m
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a 
es
pe
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 é
 
re
la
tiv
am
en
te
 p
eq
ue
na
 e
m
 fa
ce
 d
as
 d
em
ai
s 
Pilar-parede 
elemento de superfície plana ou casca 
cilíndrica, usualmente disposto na vertical, 
em que a força normal de compressão é 
preponderante; a maior dimensão da seção 
transversal é maior que 5 vezes a menor 
dimensão 
Sapata 
 
 
elemento de volume usado para transmitir 
ao solo as cargas de fundação 
 
 
Vo
lu
m
e 
trê
s 
di
m
en
sõ
es
 s
ão
 
si
gn
ifi
ca
tiv
as
 
Bloco sobre 
estacas 
 
elemento de volume usado para transmitir 
às estacas as cargas de fundação 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 4
 
Sistemas Estruturais de Lajes 
Lajes Maciças Lajes Nervuradas 
 
Laje maciça com vigas Laje nervurada com vigas 
 
Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje cogumelo nervurada 
 
Laje maciça com capitel 
Laje cogumelo maciça Laje nervurada com vigas integradas 
[MUSSO] 
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Dimensões Limites de Elementos Estruturais 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
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Vãos Efetivos e Comprimento Equivalente de Elementos Estruturais 
Vão efetivo de vigas 
 
Vão efetivo de lajes 
 
Comprimento equivalente de pilares 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 7
 
ESTADOS LIMITES DE UMA ESTRUTURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 8681] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 8
 
DIRETRIZES DE DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 
Exigências de Durabilidade 
 
 
Classes de Agressividade Ambiental 
Correspondência entre Classe de Agressividade e Qualidade do Concreto 
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Correspondência entre Classe de Agressividade e Cobrimento Nominal dos Elementos Estruturais 
 
 
Correspondência entre Classe de Agressividade e Abertura de Fissura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
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PROPRIEDADES DO CONCRETO 
Ecs 4760fck1/2 MPa 
módulo de elasticidade secante do concreto 
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) 
resistência média do concreto à tração 
fcd fck/1,4 
resistência de cálculo do concreto à compressão 
Gc 0,4Ecs 
módulo de elasticidade transversal do 
concreto 
fck resistência característica do concreto à compressão 
aos 28 dias 
αc 10-5/oC 
coeficiente de dilatação térmica do concreto 
fctk 0,7fctm
resistência característica do concreto à tração 
ν 0,2 
coeficiente de poisson do concreto 
fctd fctk/1,4 
resistência de cálculo do concreto à tração 
ρc 2400 kg/m3 concreto simples 
2500 kg/m3 concreto armado 
massa específica do concreto 
Propriedades de Cálculo do Concreto em Função de sua Classe 
Classe C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 equação 
fck MPa 15 20 25 30 35 40 45 50 
fcd MPa 10,71 14,29 17,86 21,43 25,00 28,57 32,14 35,71 fck/1,4 
fctm MPa 1,825 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 3,795 4,072 0,3fck2/3
fctkMPa 1,277 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 2,657 2,850 0,7fctm
fctd MPa 0,912 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 1,898 2,036 fctk/1,4 
Ecs MPa 18435 21287 23800 26072 28161 30105 31931 33658 4760fck1/2
Gc MPa 7374 8515 9520 10429 11264 12042 12772 13463 0,4Ecs
Obs.: C20 ou superior – concreto armado (C15 só para fundações e obras provisórias) 
 C25 ou superior – concreto protendido 
Diagrama σ-ε Parabólico do Concreto comprimido para Estado Limite Último (ELU) 
 
Diagrama σ-ε Simplificado Retangular do Concreto comprimido para Estado Limite Último (λ = 0,8; η = 0,85) 
 
{NBR 6118] 
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Diagrama σ-ε do Concreto comprimido para Estado Limite de Serviço (ELS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de Fluência e Deformação de Retração do Concreto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecs
εc
1 
σc
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 12
 
PROPRIEDADES DO AÇO 
Es 210000 MPa 
módulo de elasticidade do aço 
αs 10-5/oC 
coeficiente de dilatação térmica do aço 
fyd fyk/1,15 
resistência de cálculo de escoamento do aço à 
tração 
fyd/Esεyd
deformação de escoamento do aço 
fyk resistência característica de escoamento do aço à 
tração 
ρs 7850 kg/m3
massa específica do aço 
Resistência de Cálculo e Deformação de Escoamento do Aço em função de sua Categoria 
Categoria CA-25 CA-50 CA-60 equação 
fyk MPa 250 500 600 
fyd MPa 217,4 434,8 521,7 fyk/1,15 
0,1035% 0,2070% εyd 0,2484% fyd/Es
Diagrama σ-ε do Aço para Estado Limite Último (ELU) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es
εs
1 
σs
fyd
10‰ εyd
Diagrama σ-ε do Aço para Estado Limite de Serviço (ELS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação entre Coeficiente de Conformação η (NBR 7480) e Coeficiente de Conformação η1 (NBR 6118) 
 
Es
εs
1 
σs
 
 
[NBR 6118] 
 
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Classificação do Aço das Armaduras 
 
 
Comprimento de Barras e Fios 
 
Diâmetro, Massa, Área da Seção e Perímetro de Barras e Fios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 7480] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 14
 
 
Propriedades Mecânicas de Barras e Fios 
 
[NBR 7480] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 15
 
Configuração Geométrica de Barras e Fios 
 
 
 
 
 
 
[NBR 7480] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 16
 
AÇÕES NOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
Classificação das Ações 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 8681] 
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Peso Específico dos Materiais de Construção 
[NBR 6120] 
 
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Valores Mínimos de Cargas Verticais Acidentais em Lajes 
 
[NBR 6120] 
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Valores Mínimos de Cargas Verticais Acidentais em Lajes (Continuação) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6120] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 20
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6 - LAJES - ANÁLISE ESTRUTURAL
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Sistemas Estruturais de Lajes 
Lajes Maciças Lajes Nervuradas 
 
Laje maciça com vigas Laje nervurada com vigas 
 
Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje cogumelo nervurada 
 
Laje maciça com capitel 
Laje cogumelo maciça Laje nervurada com vigas integradas 
[MUSSO] 
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CRITÉRIOS SIMPLIFICADOS DE ENGASTAMENTO DE LAJES ADJACENTES COM APOIOS LINEARES 
Esquema 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engastar L1 em L2 
Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1 
Esquema 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engastar L1 em L2 
Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1 e x > 2y/3 
Engastar L3 em L2 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
4 m
L1 L3
5 m 
5m
 
vazio 
L4
1 m
la
je
 e
m
 
ba
la
nç
o
7m
 
6 m
L2
a1 < a2
L1 L2
a2
a1 < a2 
L1 L2
a2
x y 
vazio 
L3 
a3 
la
je
 e
m
 
ba
la
nç
o
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Áreas para Cálculo de Força Cortante em Lajes Retangulares com Carga Uniforme e Apoios Lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
 
a 
b 
45o 45o
45o 45o
a/
2 
a/
2 
[a
b-
a2
/2
]/2
 
a2/4 
a2/4 
[a
b-
a2
/2
]/2
 
a/2 a/2 
a 
b 
30o 45o
30o 45o
[(3
-3
1/
2 )
ab
-(2
.3
1/
2 -
3)
a2
]/2
 
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
(31/2-1)a2/4
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
(31/2-1)a2/4 [
(3
1/
2 -
1)
ab
-(2
-3
1/
2 )
a2
]/2
 
b/a > 31/2-1 
4 
a 
b 
30o 30o
30o 30o
[a
b-
31
/2
a2
/6
]/2
 
[a
b-
31
/2
a2
/6
]/2
 
31/2a2/12 
31/2a2/12 
31
/2
a/
6
31
/2
a/
6
a/2 a/2 
b/a > 31/2/3 7 
a 
b 
30o 45o
45o 60o
(3
-3
1/
2 )
[a
b/
2-
a2
/4
] 
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
(31/2-1)a2/4 
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
(3-31/2)a2/4 
(3
1/
2 -
1)
[a
b/
2-
a2
/4
] 
a 
b 
45o 60o
45o 60o
[(3
-3
1/
2 )
ab
-3
(2
-3
1/
2 )
a2
]/2
 
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
(3-31/2)a2/4
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
(3-31/2)a2/4
[(3
1/
2 -
1)
ab
-(2
.3
1/
2 -
3)
a2
]/2
 
b/a > 1 b/a > 3-31/2 5 6a 
b 
a 
45o 30o 
45o 30
o 
b/
2 
b/
2 
b2
/4
 
b/2 
31
/2
b2
/1
2 
[ab-(31/2+3)b2/12]/2 
31/2b/6 
[ab-(31/2+3)b2/12]/2 
b/a < 3-31/2 6b 
a 
b 
30o 30o
45o
[a
b-
(3
1/
2 +
3)
a2
/1
2]
/2
 31/2a2/12 
31
/2
a/
6
a/
2[a
b-
(3
1/
2 +
3)
a2
/1
2]
/2
 
a2/4 
45o
a/2 a/2 
a 
b 
45o 45o
45o 45o
a/
2 
a/
2 
[a
b-
a2
/2
]/2
 
a2/4 
a2/4 
[a
b-
a2
/2
]/2
 
a/2 a/2 
b/a > (31/2+3)/6 b/a > 1 
8 9 
b 
a 
30o 30o 
30o 30o 
b/
2 
b/
2 
31
/2
b2
/1
2 
31/2b/6 
31
/2
b2
/1
2 
[ab-31/2b2/6]/2 
31/2b/6 
[ab-31/2b2/6]/2 
b/a > 31/2 b/a < 31/2 
3a 3b a 
b 
60o 60o
60o 60o
31
/2
a/
2 [a
b-
31
/2
a2
/2
]/2
 
31/2a2/4 
31/2a2/4 
31
/2
a/
2 
[a
b-
31
/2
a2
/2
]/2
 
a/2 a/2 
a 
b 
45o 45o
60o 60o
a/
2 
31
/2
a/
2 
[a
b-
(3
1/
2 +
1)
a2
/4
]/2
 a2/4 
31/2a2/4 
a/2 a/2 
[a
b-
(3
1/
2 +
1)
a2
/4
]/2
 
b 
a 
45o 45
o 
30o 30o 
(3
1/
2 -
1)
b/
2 
(3
-3
1/
2 )
b/
2 
(3
1/
2 -
1)
b2
/4
 
(31/2-1)b/2 
(3
1/
2 -
1)
b2
/4
 
[(3-31/2)ab-
(2.31/2-3)b2]/2 
[(31/2-1)ab-
(2-31/2)b2]/2 
(31/2-1)b/2 
b/a > 1 b/a > (31/2+1)/2 b/a < (31/2+1)/2 1 2a 2b 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 78
 
Força Cortante em Lajes Retangulares com Carga Uniforme e Apoios Lineares (β = b/a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
a 
b 
45o 45o
45o 45o
a/
2 
a/
2 p
a[
1-
1/
(2
β)]
/2
 
pa/4 
pa/4 
a/2 a/2 
β > 31/2-1 a 
b 
30o 45o
30o 45o
pa
[(3
-3
1/
2 )
-(2
.3
1/
2 -
3)
/β]
/2
 
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
pa(31/2-1)/4
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
pa(31/2-1)/4
pa
[(3
1/
2 -
1)
-(2
-3
1/
2 )
/β]
/2
 
4 
a 
b 
30o 30o
30o 30o
pa
[1
-3
1/
2 /(
6β
)]/
2 
pa
[1
-3
1/
2 /(
6β
)]/
2 
pa31/2/12 
pa31/2/12 
31
/2
a/
6
31
/2
a/
6
a/2 a/2 
β > 31/2/3 7 
β > 3-31/2 a 
b 
30o 45o
45o 60o
pa
(3
-3
1/
2 )
[1
/2
-1
/(4
β)]
 
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
pa(31/2-1)/4 
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
pa(3-31/2)/4 
pa
(3
1/
2 -
1)
[1
/2
-1
/(4
β)]
 
a 
b 
45o 60o
45o 60o
pa
[(3
-3
1/
2)
-3
(2
-3
1/
2 )
/β]
/2
 
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
pa(3-31/2)/4
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
pa(3-31/2)/4 pa
[(3
1/
2 -
1)
-(2
.3
1/
2 -
3)
/β]
/2
 
β > 1 5 6a 
b 
a 
45o 30o 
45o 30
o 
b/
2 
b/
2 
pa
β/4
 
b/2 
pa
31
/2
β/1
2 
pa[β-(31/2+3)β2/12]/2 
31/2b/6 
pa[β-(31/2+3)β2/12]/2 
β < 3-31/2 6b 
a 
b 
30o 30o
45o
pa
[1
-(
31
/2
+3
)/(
12
β)]
/2
 pa31/2/12 
31
/2
a/
6
a/
2pa
[1
-(
31
/2
+3
)/(
12
β)]
/2
 
pa/4 45o
a/2 a/2 
a 
b 
45o 45o
45o 45o
a/
2 
a/
2 
pa
[1
-1
/(2
β)]
/2
 
pa/4 
pa/4 
pa
[1
-1
/(2
β)]
/2
 
a/2 a/2 
β > (31/2+3)/6 β > 1 8 9 
β < 31/2 
b 
a 
30o 30o 
30o 30o 
b/
2 
b/
2 p
a3
1/
2 β/
12
 
31/2b/6 
pa
31
/2
β/1
2 
pa[β-31/2β2/6]/2 
31/2b/6 
pa[β-31/2β2/6]/2 
β > 31/2 3a 3b a 
b 
60o 60o
60o 60o
31
/2
a/
2 
pa
[1
-3
1/
2 /(
2β
)]/
2 
pa31/2/4 
pa31/2/4 
31
/2
a/
2 
pa
[1
-3
1/
2 /(
2β
)]/
2 
a/2 a/2 
a 
b 
45o 45o
60o 60o
a/
2 
31
/2
a/
2 
pa
[1
-(
31
/2
+1
)/(
4β
)]/
2 
pa/4 
pa31/2/4 
a/2 a/2 
β < (31/2+1)/2 
b 
a 
45o 45
o 
30o 30o 
(3
1/
2 -
1)
b/
2 
(3
-3
1/
2 )
b/
2 
pa
(3
1/
2 -
1)
β/4
 
(31/2-1)b/2 
pa
(3
1/
2 -
1)
β/4
 
pa[(3-31/2)β-
(2.31/2-3)β2]/2 
pa[(31/2-1)β-
(2-31/2)β2]/2 
(31/2-1)b/2 
β > 1 β > (31/2+1)/2 1 2a 2b 
pa
[1
-1
/(2
β)]
/2
 
pa
[1
-(
31
/2
+1
)/(
4β
)]/
2 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 79
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,2 multiplicar
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 80
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,2 dividir 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 81
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
[CZERNY] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 82
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
 
[CZERNY] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 83
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
 
[CZERNY] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 84
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
 
[CZERNY] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 85
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
[CZERNY] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 86
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
 
[CZERNY] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 87
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
[CZERNY] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 88
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
[CZERNY] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 89
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
[CZERNY] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 90
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJES 
[BARES] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 91
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJES 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 92
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJES 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 93
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJES 
 
 
 
 
 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 94
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 95
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJES 
 
 
 
[BARES] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 96
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 97
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 98
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
 
[BARES] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 99
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 100
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,0 
 
 
 
[BARES] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 101
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,15 
 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 102
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,15 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 103
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,15 
 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 104
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS PONTUAIS – POISSON 0,0 
BORDAS COM ROTAÇÃO LIVRE E FLECHA LIVRE 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 105
 
ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS PONTUAIS – POISSON 0,25 
BORDAS COM ROTAÇÃO IMPEDIDA E FLECHA LIVRE 
 
[BARES] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 106
 
FLECHAS EM DIVERSOS SISTEMAS ESTRUTURAIS DE LAJE 
[FAVRE] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 107
 
MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES – POISSON 0,15 
[FAVRE] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 108
 
LAJES - LAJES LISAS E LAJES COGUMELO – LAJES COM APOIOS PONTUAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 109
 
MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS 
 
 
 
 
[EISENBIEGLER] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 110
 
SISTEMA DA LAJE DO PAINEL INTERNO 
 
SISTEMA DA LAJE DO PAINEL DE BORDA 
 
SISTEMA DA LAJE DO PAINEL DE CANTO 
 
[EISENBIEGLER] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 111
 
MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS – PAINEL INTERNO 
 
 
[EISENBIEGLER] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 112
 
MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS – PAINEL DE BORDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[EISENBIEGLER] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 113
 
MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS – PAINEL DE CANTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[EISENBIEGLER] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 114
 
MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS – PAINEL INTERNO 
 
[EISENBIEGLER] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 1157 - LAJES - DIMENSIONAMENTO 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 116
 
LAJES - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À MOMENTO FLETOR (ELU-M) 
Diagramas σ-ε do aço e do concreto comprimido e domínios de deformação da seção 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armadura simples (necessidade de armadura longitudinal apenas na zona tracionada da seção) 
Equações de equilíbrio e de compatibilidade Problemas propostos 
η = 0,85; λ = 0,8 
 
 
 
 
 
 
 
(a) )x5,0d(fxbCzM0M cdRd λ−ηλ==∴=∑ 
(b) cdydsx fxbCfAF0F ηλ===∴=∑ 
d
3,5‰
‰5,3xx
yd
34lim ε+== (4a) 
s
yd
yd E
f=ε ; Es = 210 GPa (5) 
obs.: para aumentar a ductilidade da 
 seção a NBR 6118 (14.6.4.3) admite, 
 0,5d (fck < 35 MPa) (4b) 
 0,4d (fck > 35 MPa 
Æ η = 0,85; λ = 0,8 (1) 
Limite para uso de armadura simples (MRd = Md,lim) 
(x = xlim) em (a): )x5,0d(fxbM limcdlimlim,d λ−ηλ= (2) 
(x = xlim) em (b): ydcdlimlim,s f/fxbA ηλ= (3) 
A - Dimensionamento da armadura As (MRd = MSd) 
Æ Dados: MSd < Md,lim, b, d, fcd, fyd Æ Obter: As 
de (a): ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
η−−λ= cd2
Sd
fbd
M211dx (6) (raiz eq. 2o grau) 
em (b): ydcds f/fxbA ηλ= (7) ( )bhf/f035,0%;15,0máximoAA ydcdmín,ss =≥ (8) 
B - Verificação do momento fletor resistente 
Æ Dados: b, d, As < As,lim, fcd, fyd Æ Obter: MRd 
de (b): )fb/(fAx cdyds λη= (9) 
em (a): )x5,0d(fxbM cdRd λ−ηλ= (10) 
 
Armadura dupla (necessidade de armadura longitudinal nas zonas tracionada e comprimida da seção) 
Equações de equilíbrio e de compatibilidade Problemas propostos 
η = 0,85; λ = 0,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) MMM lim,dRd Δ+= 
(b) )dd(AM sds ′−σ′′=Δ 
(c) sdsydlim,syds AfAfA σ′′+= 
(d) 
limlim
s
x
‰5,3
dx
=′−
ε′ 
(e) )f;E(mínimo ydsssd ε′=σ′ 
A - Dimensionamento de As e As' (MRd = MSd) 
Æ Dados: MSd > Md,lim, b, d, d', fcd, fyd Æ Obter: As; As' 
de (a): lim,dSd MMM −=Δ (11); Md,lim ver (2) 
em (b): 
´)dd(
MM
A
sd
lim,dSd
s −σ′
−=′ (12) 
onde: )f;E(mínimo ydsssd ε′=σ′ (13) 
com limlims x/)dx(‰5,3 ′−=ε′ (14) 
de (c)/fyd: ydsdslim,ss f/AAA σ′′+= (15); As,lim ver (3) 
bh%4AAA máx,sss =≤′+ (16) 
B - Verificação do momento fletor resistente 
Æ Dados: b, d, As > As,lim, As', fcd, fyd Æ Obter: MRd 
de (a): MMM lim,dRd Δ+= (17); Md,lim ver (2) 
de (b): )dd(AM sds ′−σ′′=Δ (18); σ'sd ver (13) 
 
Tabela 2 - Armadura longitudinal mínima (As,mín) e armadura longitudinal limite (As,lim) 
fck MPa 20 25 30 35 40 45 50 
As,mín/(bh); Aço CA-50 (8) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% 0,230% 0,259% 0,288% 
As,lim/(bd); Aço CA-50 (3) xduc 1,117% 1,396% 1,676% 1,955% 1,787% 2,011% 2,234% 
As,lim/(bd); Aço CA-50 (3) x34 1,404% 1,755% 2,106% 2,457% 2,808% 3,159% 3,510% 
Tabela 3 - Profundidade limite da linha neutra(xlim) 
aço fyd MPa = fyk/1,15 εyd (5) x34/d (4) 
CA-25 217,39 0,1035% 0,7717 
CA-50 434,78 0,2070% 0,6283 
CA-60 521,74 0,2484% 0,5848 
 
[MUSSO] 
x 
MRd 
λx 
F = Asfyd 
C = bλxηfcd
z = d-0,5λx
ηfcd 
h d 
b 
As 
l. neutra 
xlim 
d' 
d 
b 
As 
l. neutra 
MRd 
Asfyd 
sdsA σ′′ 
=
sdsA σ′′
sdsA σ′′
ΔM
d-d´
As,limfyd 
Md,lim 
λxlim 
+
ηfcd ηfcd 
As´ 
xlim 
εc = 3,5‰ 
εs 
d 
 
d' 
 
εs' 
εs tanα = Es 
10‰ 
 σs 
εyd = fyd/Es 
fyd 
α -3,5‰ -εyd 
-fyd 
σ-ε aço 
10‰ 
εs
-3,5‰ εyd εc 0
4 3
2 x 3
4 
A
B
Md dh
As' 
As 
b
linha 
neutra 
simplificado 
λx x 
parabólico 
ηfcd 
σ-ε concreto domínios de deformaçãoseção
d'
εs'ηfcd 2 e 3 – ruptura dúctil (εs > εyd) 
4 – ruptura frágil (εs < εyd) 
xlim = xduc 
xlim = x34 
εc = 3,5‰ 
εs = εyd 
d 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 117
 
LAJES - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À MOMENTO FLETOR (ELU-M) - FORMULÁRIO 
ah máximo(2 cm; φ; 1,2dag) 
espaçamento livre mínimo horizontal entre barras 
fck resistência característica do concreto à 
compressão aos 28 dias 
av máximo(2 cm; φ; 0,5dag) 
espaçamento livre mínimo vertical entre barras da 
armadura longitudinal 
fyd fyk/1,15 
resistência de cálculo de escoamento do 
aço à tração 
Ac bh 
área da seção transversal 
fyk resistência característica de escoamento do 
aço à tração 
As área da seção da armadura longitudinal tracionada h altura da seção transversal 
As’ área da seção da armadura longitudinal comprimida Md 1,4(MG + MQ) 
momento fletor solicitante de cálculo 
As,mín área da seção mínima da armadura longitudinal 
tracionada 
Md,lim momento fletor resistente de cálculo 
máximo com armadura simples 
As,lim área da seção da armadura tracionada 
correspondente a Md,lim 
MG momento fletor da ação permanente G 
b largura da seção transversal MQ momento fletor da ação variável Q 
dag diâmetro do agregado graúdo (b1=19mm;b2=25mm) x profundidade da linha neutra no estádio 3 
d altura útil da seção transversal 
distância do centróide da armadura tracionada à 
borda comprimida da seção transversal 
xlim profundidade máxima da linha neutra para 
ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) 
d’ distância do centróide da armadura comprimida à 
borda comprimida da seção transversal 
εs’ encurtamento da armadura comprimida 
dlim altura útil mínima da seção com armadura simples εyd fyd/Es - deformação de escoamento do aço 
Es 210000 MPa - módulo de elasticidade do aço φ diâmetro da barra da armadura longitudinal 
fcd fck/1,4 
resistência de cálculo do concreto à compressão 
σs’d tensão de compressão na armadura 
longitudinal comprimida 
A – Momento fletor resistente de cálculo máximo com armadura simples (dados b e d, obter Md,lim e As,lim) 
fck < 35 MPa > 35 MPa 
xlim 0,5d 0,4d A1 
Md,lim cd
2fbd272,0 cd
2fbd22848,0 A2 
As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3 
B – Dimensionamento da altura útil mínima da seção com armadura simples (dados Md e b, obter dlim) 
fck < 35 MPa > 35 MPa 
dlim 
cd
d
bf272,0
M 
cd
d
bf22848,0
M B1 
 
C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b e d, obter As e As’) 
Armadura Simples (Md < Md,lim; x < xlim) 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
cd
2
d
fbd425,0
M
11d25,1x C1 
 
ydcds f/bxf68,0A = C2 
As,mín (ver taxa mínima de armadura longitudial) C3 
Armadura Dupla (Md > Md,lim; x = xlim) 
)'dd(f
MM
AA
yd
lim,dd
lim,ss −
−+= C4 
 
)'dd('
MM
'A
ds
lim,dd
s −σ
−= C5 
ydds f' =σ se εs’ > εyd; 'E' ssds ε=σ se εs’ < εyd C6 
fck < 35 MPa > 35 MPa 
εs’ )d/'d5,0(007,0 − )d/'d4,0(00875,0 − C7 
D - Momento fletor resistente de cálculo com armadura simples (dados As < As,lim , b e d, obter Md) 
cd
yds
bf68,0
fA
x = D1 
)x4,0d(bxf68,0M cdd −= D2 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 118
 
LAJES - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 119
 
LAJES - TABELA Md-As DE DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR – DIAGRAMA RETANGULAR 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 120
 
LAJES - TABELA Md-As DE DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR – DIAGRAMA PARABÓLICO 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 121
 
LAJES - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À MOMENTO FLETOR (ELU-M) – SEÇÃO T 
Armadura Simples (MSd < Md,lim) 
Profundidade limite da linha neutra (xlim) e 
Momento fletor limite para armad. simples (Md,lim) 
Situação de cálculo 2 
Toda mesa e parte da alma comprimidas (MSd > MRf) 
(a1) d
3,5‰
‰5,3xx
yd
34lim ε+== ; s
yd
yd E
f=ε 
ou para aumentar a ductilidade da seção: 
(a2) 
MPa35fparad4,0x
MPa35fparad5,0x
cklim
cklim
>=
≤=
 
 
(b) caso hf > λxlim , de (d) com x = xlim: 
 )x5,0d(fxbM limcdlimflim,d λ−ηλ= 
 caso hf < λxlim , de (f) = (h) + (j) com x = xlim: 
 +−η−=+= )h5,0d(fh)bb(MMM fcdfwfwalim,d 
 )x5,0d(fxb limcdlimw λ−ηλ+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(f) waSd MMM += 
(g) was AAA += 
Momento fletor resistente da mesa (flange) de 
viga de seção T (MRf) 
Momento fletor resistente das abas de vigade 
seção T (Ma) e área de aço correspondente (Aa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) )h5,0d(fhbCzM0M fcdffRf −η==∴=∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(h) )h5,0d(fh)bb(CzM0M fcdfwfa −η−==∴=∑ 
(i) cdfwfydax fh)bb(CfAF0F η−===∴=∑ 
Situação de cálculo 1 
Parte da mesa ou toda mesa comprimida (MSd < MRf) 
Momento fletor resistente da alma de viga de 
seção T (Mw) e área de aço correspondente (Aw) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) )x5,0d(fxbCzM0M cdfSd λ−ηλ==∴=∑ 
(e) cdfydsx fxbCfAF0F ηλ===∴=∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
(j) )x5,0d(fxbCzM0M cdww λ−ηλ==∴=∑ 
(k) cdwydwx fxbCfAF0F ηλ===∴=∑ 
Problema proposto (MSd < MRf) Problema proposto (MSd > MRf) 
A - Dimensionamento da armadura As 
Æ Dados: MSd < MRf, bf, hf, bw, d, fcd, fyd Æ Obter: As 
η = 0,85; λ = 0,8 (1) 
de (c): )h5,0d(fhbM fcdffRf −η= (2) 
de (d): ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
η−−λ= cd2f
Sd
fdb
M211dx (3) (raiz eq.2ograu) 
em (e): ydcdfs f/fxbA ηλ= (4) 
cmínmín,ss AAA ρ=≥ (5) 
(ver taxa mínima de armadura longitudinal – seção T)
onde: hbh)bb(A wfwfc +−= (6) 
 
 
 
A - Dimensionamento da armadura As 
Æ Dados: MSd > MRf, bf, hf, bw, d, fcd, fyd Æ Obter: As 
η = 0,85; λ = 0,8 (7); )h5,0d(fhbM fcdffRf −η= (8) 
de (h): )h5,0d(fh)bb(M fcdfwfa −η−= (9) 
de (f): aSdw MMM −= (10) 
de (i): ydcdfwfa f/fh)bb(A η−= (11) 
de (j): ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
η−−λ= cd2w
w
fdb
M211dx (12) (raiz eq.2ogr) 
em (k): ydcdww f/fxbA ηλ= (13); 
de (g): was AAA += (14) 
cmínmín,ss AAA ρ=≥ (15) (taxa mínima – seçao T) 
onde: hbh)bb(A wfwfc +−= (16) 
[MUSSO] 
x 
MRf 
λx=hf 
F = Asfyd 
C = bfhfηfcd
z = d - 0,5hf
ηfcd 
h d 
bf 
As 
l. neutra 
bw 
hf x 
Ma 
λx=hf 
F = Aafyd 
C = (bf - bw)hfηfcd
z = d - 0,5hf
ηfcd 
h d 
bf - bw 
Aa 
l. neutra 
bw 
hf
x 
Mw 
λx 
F = Awfyd
C = bwλxηfcd 
z = d - 0,5λx
ηfcd 
h d 
Aw
l. neutra 
bw 
hf x 
MSd 
λx 
F = Asfyd 
C = bfλxηfcd
z = d-0,5λx
ηfcd 
h d 
bf 
As 
l. neutra 
bw 
hf 
Ma 
h d 
bf 
As 
bw 
hf
(abas) 
=
bf - bw 
Aa 
hf 
+ 
bw
Aw 
λx 
MSd Mw 
(alma)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 122
 
LAJES - LARGURA COLABORANTE DE SEÇÃO T 
 
Definição de “ a “ para cálculo da largura colaborante bf 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 123
 
LAJES – ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE SEM ARMADURA 
TRANSVERSAL (ELU-V) - FORMULÁRIO 
As área da seção da armadura longitudinal tracionada Vd 1,4(VG + VQ) 
força cortante solicitante de cálculo 
b largura da seção transversal 
100 cm no caso de laje 
VRd força cortante resistente de cálculo por 
tração diagonal do concreto na punção 
d altura útil da seção transversal 
distância do centróide da armadura tracionada à 
borda comprimida da seção transversal 
VRd1 força cortante resistente de cálculo por 
tração diagonal do concreto 
fcd fck/1,4 
resistência de cálculo do concreto à compressão 
VRd2 força cortante resistente de cálculo máxima 
por compressão diagonal das bielas de 
concreto 
fck resistência característica do concreto à 
compressão aos 28 dias 
VG força cortante da ação permanente G 
fctd fctk/1,4 
resistência de cálculo do concreto à tração 
VQ força cortante da ação variável Q 
fctk 0,7fctm 
resistência característica do concreto à tração 
ν 0,6(1 – fck/250); fck em MPa 
coeficiente de redução da resistência do 
concreto fissurado por força cortante 
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) 
resistência média do concreto à tração 
ρ As/(bd) 
taxa geométrica de armadura longitudinal 
tracionada 
h altura da seção transversal 
 
ρ1 As/(bd) < 0,02 
taxa geométrica de armadura longitudinal 
tracionada 
k d/201+ d em cm 
parâmetro k 
τRd 0,25fctd 
tensão resistente de cálculo do concreto ao 
cisalhamento 
k1 1,6 – d > 1 d em m 
parâmetro k1 
θ ângulo das bielas comprimidas de concreto 
A – Força cortante resistente de cálculo por tração do concreto (dados b e d, obter VRd1; Vd < VRd1) 
VRd1 bd)402,1(kV 11Rd1Rd ρ+τ= A1 
τRd 3/2ckctd f0375,0f25,0 = (fck em MPa) A2 
k1 1d6,1 ≥− d em m A3 
ρ1 02,0bd
A s ≤ A4 
fck MPa 20 25 30 35 40 
fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 
fctk MPa 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 
fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 
τRd MPa 0,2763 0,3206 0,3621 0,4012 0,4386 
B – Força cortante resistente de cálculo por compressão do concreto (dados b e d, obter VRd2; Vd < VRd2) 
mod simplificado (θ = 45o) refinado (θ = 30o-45o) 
VRd2 cdfbd45,0 ν θν 2senfbd45,0 cd B1 
fck MPa 20 25 30 35 40 
ν 0,552 0,540 0,528 0,516 0,504 
bd
V 2Rd 45o 0,355 0,434 0,509 0,581 0,648 
 
bd
V 2Rd 30o 0,307 0,376 0,441 0,503 0,561 
 
obs.: VRd2/(bd) em kN/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 124
 
LAJES – ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO (ELU-PUNÇÃO) 
O que é punção? 
Punção é a ruptura local por cisalhamento, resultante de uma força concentrada (carga ou reação) atuando 
em uma área relativamente pequena, chamada de “área carregada” 
Ruptura por punção de laje em concreto armado 
 
Sistemas estruturais de lajes onde se deve verificar a resistência à punção 
 
Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje maciça com capitel 
Ensaio de resistência à punção 
 
1908 2006 
Modelo para verificação da resistência à punção 
 
 
Corte Planta 
Perímetros básicos u1 típicos em torno de áreas carregadas 
 
O perímetro básico u1 geralmente é definido a uma distância 2d da área carregada e deve ser construído de 
modo a minimizar seu comprimento 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 125
 
LAJES – ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO (ELU-PUNÇÃO) 
Modelo de Cálculo 
 
 
Tensão de Cisalhamento Solicitante - Pilar Interno sem Momento 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 126
 
Tensão de Cisalhamento Resistente por Compressão Diagonal 
 
Tensão de Cisalhamento Resistente por Tração Diagonal sem Armadura de Punção 
 
Tensão de Cisalhamento Resistente por Tração Diagonal com Armadura de Punção 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 127
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 128
 
LAJES - ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE DEFORMAÇÃO (ELS-DEF) 
Princípio dos trabalhos virtuais 
∫=Δ x dxEI )x(M)x(M (1) 
Módulo de elasticidade secante do concreto Ecs 
ckcs f4760E = MPa (2a) 
Módulo de elasticidade do aço Es MPa210000Es = (2b) 
Momento de inércia efetivo Ie 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= c2
3
r
c
3
r
e I;IM
M
1I
M
M
mínI (3) 
Ic momento de inércia da seção bruta 
I2 momento de inércia da seção 
 fissurada 
Mr momento de fissuração da seção 
M momento fletor que atua na seção 
 para combinação de ação considerada 
 
Momento de inércia efetivo médio Iem 
Vão Critério nec(1) Iem(2)(3) 
vão 1 ou 2 (Ie)v 
1 0,85(Ie)v+0,15(Ie)e1 contínuo ponderado 2 0,70(Ie)v+ 0,15[(Ie)e1+(Ie)e2] 
balanço apoio 1 (Ie)e1 
(1) número de extremos contínuos 
(2) v - vão; e1 - extremo contínuo 1; e2 - extremo contínuo 2 
(3) consideração do momento de inércia constante na viga 
Componentes das flechas Δ 
 
 
 
 
 
 
 
 Δime,QP flecha imediata da ação 
 quase permanente (G+ψ2Q) 
 Δdif,QP flecha diferida da fluência e retração 
 = αfΔime,QP 
 ΔQ flecha da ação variável (Q) 
 Δlim flecha limite 
 Δcf contraflecha 
 
Tabela 1 - Verificação da segurança Δ < Δlim 
Razão Flecha Δ Δlim(2) 
efeito visual 
desagradável
Total(1) 
Δime,QP+ Δdif,QP 250
L 
vibração 
indesejável 
Ação Variável 
ΔQ 350
L 
dano à 
alvenaria 
Após Alvenaria 
Δdif,QP ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ cm1;
500
Lmín
(1) flecha total excessiva pode ser parcialmente 
 compensada por contraflecha< L / 350 
(2) no caso de balanço, L é o dobro do balanço 
Tabela 2 - Parâmetros para flecha imediata e flecha diferida 
Componente 
da flecha 
Combinação 
de ação 
Mom 
fletor Inércia 
ΔG permanente (G) MG Ie,G 
ΔR rara (G+Q) MR Ie,R 
ΔQ ΔR - ΔG 
Δime 
 
Δime,QP quase permanente (G+ψ2Q) MQP Ie,QP 
Tabela 3 - Parcela quase permanente 
da ação variável (ψ2Q) 
Q = Carga acidental de edifícios ψ2 
edifício residencial 0,3 
edifício comercial, de escritórios 0,4 
biblioteca, oficina, garagem 0,6 
ponte rodoviária, passarela 0,3 
Fator αf (fluência e retração do concreto) 
'501
)t()t( o
f ρ+
ξ−ξ=α (4); 
bd
'A
' s=ρ (5); ∑
∑=
i
oii
o
P
tP
t (6) 
32,0t t)996,0(68,0)70t( =≤ξ ; 2)70t( =>ξ ; t (meses) (7) 
Tabela 4 – Parâmetro ξ(t) 
t meses 1 3 6 12 > 70 
ξ(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00 
 
 t tempo, em meses, quando se deseja calcular a flecha 
 toi idade do concreto, em meses, ao se aplicar a carga Pi 
 As’ área comprimida de aço no vão; no apoio se balanço 
Utilização de coeficientes kime 
Seja Δela a flecha elástica obtida com Ecs e Ic (seção bruta) logo: 
QP,ecimeelaimeQP,ime I/Ik;k =Δ=Δ ; Ie,QP calculado com MQP (8) 
QP,imefQP,dif Δα=Δ (9) 
Momento de fissuração Mr 
É o valor do momento fletor que produz na 
seção bruta (secão de concreto 
desprezando armadura) uma tensão igual 
a fctf na fibra extrema tracionada 
ctfcr fWM = (10) 
Wc módulo resistente da seção bruta em 
 relação a fibra extrema tracionada 
 tc y/I= (11) 
 Ic mom. de inércia da seção bruta 
 yt distância do centróide à fibra 
 extrema tracionada 
fctf resistência do concreto à tração na 
 flexão (módulo de ruptura) (MPa) 
)Rseção(f45,0 3/2ck= (12a) 
)Tseção(f36,0 3/2ck= (12b) 
Tabela 5 – Parâmetros diversos 
fck MPa 20 25 30 35 40 45 50 
Ecs MPa (2) 21287 23800 26072 28161 30105 31931 33658 
n = Es/Ecs (13) 9,865 8,824 8,055 7,457 6,976 6,577 6,239 
fctf MPa (seção R) (12a) 3,32 3,85 4,34 4,81 5,26 5,69 6,11 
[MUSSO] 
Δime,QP 
Δlim 
Δcf 
Δdif,QP 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 129
 
LAJES - ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE DEFORMAÇÃO (ELS-DEF) - FORMULÁRIO 
As área da seção da armadura longitudinal tracionada Ie momento de inércia efetivo da seção 
As’ área da seção da armadura longitudinal comprimida L vão entre apoios 
b largura da seção transversal MQP MG + ψ2MQ (momento no vão) 
momento fletor quase permanente da ação 
quase permanente pQP 
bf largura da mesa da seção T MG momento fletor da ação permanente G 
bw largura da nervura da seção T MQ momento fletor da ação variável Q 
d altura útil da seção transversal 
distância do centróide da armadura tracionada à 
borda comprimida da seção transversal 
Mr Wcfctf 
momento fletor de fissuração 
d’ distância do centróide da armadura comprimida à 
borda comprimida da seção transversal 
n Es/Ecs 
razão entre os módulos de elasticidade do 
aço e do concreto 
Ecs 4760fck1/2 MPa 
módulo de elasticidade secante do concreto 
pQP G + ψ2Q 
ação quase permanente 
Es 210000 MPa - módulo de elasticidade do aço x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 
fck resistência característica do concreto à compressão 
aos 28 dias 
xc profundidade da linha neutra da seção bruta 
distância do centróide da seção bruta à fibra 
extrema comprimida 
fctf αfctm 
resistência do concreto à tração na flexão 
Wc Ic/yt (bh2/6 para seção retangular) 
módulo resistente da seção bruta 
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) 
resistência média do concreto à tração 
yt h - xc 
distância do centróide da seção bruta à fibra 
extrema tracionada 
h altura da seção transversal 
 
α 1,2 para seção T ou duplo T 
1,5 para seção retangular 
hf altura da mesa da seção T 
 
αf coeficiente para levar em conta a fluência 
do concreto no cálculo da flecha diferida 
I2 momento de inércia da seção no estádio 2 ψ2 0,3 para edifícios residenciais 
0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, 
 estações e edifícios públicos 
0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens 
fator de redução da ação variável para 
combinação de ação quase permanente 
Ic momento de inércia da seção bruta ρ’ As’/(bd) 
taxa geométrica de arm. Longit. comprimida 
A – Flecha elástica (flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic) 
elásticaf A1 
B – Flecha imediata (flecha do elemento ao entrar em carga) 
e
c
elásticaimediata I
I
ff = B1 
seção fissurada (MQP > Mr) 
2
3
QP
r
c
3
QP
r
e IM
M
1I
M
M
I ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= (BRANSON) B2 
 
seção não fissurada (MQP < Mr) 
ce II = B3 
 
C – Flecha diferida (flecha do efeito da fluência do concreto) 
imediatafdiferida ff α= C1 
'501
)t()t( o
f ρ+
ξ−ξ=α C2 
32,0t t)996,0(68,0)70t( =≤ξ ; 2)70t( =>ξ ; t (meses) C3 
t meses 1 3 6 12 > 70 
ξ(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00 
D – Flecha total 
itelimdiferidaimediatatotal ffff ≤+= D1 
E – Flecha limite (limitar efeito visual desagradável) 
250/Lf itelim = (L = 2Lbal no caso de balanço) E1 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 130
 
LAJES - SEÇÃO EQUIVALENTE DE CONCRETO (SEÇÃO HOMOGENEIZADA OU TRANSFORMADA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No estado limite de serviço de deformações (ELS-DEF), tanto o concreto quanto o aço tem comportamento σ x 
ε linear. Assim, a área [A+(n-1)As] é uma área fictícia só de concreto (seção equivalente), que quando 
submetida a tensão σc resulta na mesma carga P que atua na seção real composta de concreto e aço 
MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA IC E MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA I2 
Seção real Seção bruta de concreto Seção fissurada (estádio 2 puro) 
A
rm
ad
ur
a 
S
im
pl
es
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)a2/(]aa4aa[x 131
2
222 −+−= (3) 
2/ba1 = 
s2 nAa = 
dnAa s3 −= 
2
2s
3
2
2 )xd(nA3
bx
I −+= (4) 
A
rm
ad
ur
a 
D
up
la
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
hxc = (1) 
 
12
bhI
3
c = (2) 
 
 
)a2/(]aa4aa[x 131
2
222 −+−= (5) 
2/ba1 = 
ss2 A)1n(nAa ′−+= 
dA)1n(dnAa ss3 ′′−−−= 
2
2s
2
2s
3
2
2 )dx(A)1n()xd(nA3
bx
I ′−′−+−+=
(6) 
A
rm
ad
ur
a 
S
im
pl
es
 
 
f131
2
222 h)a2/(]aa4aa[x >−+−= (9) 
2/ba w1 = 
sfwf2 nAh)bb(a +−= 
dnA2/h)bb(a s
2
fwf3 −−−= 
2
2s
2
f
2fwf
3
fwf
3
2w
2
)xd(nA
2
h
xh)bb(
12
h)bb(
3
xb
I
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+
+−+=
 
(10) 
A
rm
ad
ur
a 
D
up
la
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−+=
fwfw
2
fwf
2
w
c h)bb(hb
h)bb(hb
2
1x (7) 
 
2
f
cfwf
3
fwf
2
cw
3
w
c
2
hxh)bb(
12
h)bb(
x
2
hhb
12
hbI
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−+
+−+
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=
(8) 
 
f131
2
222 h)a2/(]aa4aa[x >−+−= (11) 
2/ba w1 = 
ssfwf2 A)1n(nAh)bb(a ′−++−= 
dA)1n(dnA2/h)bb(a ss
2
fwf3 ′′−+−−−= 
+−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+
+−+=
2
2s
2
f
2fwf
3
fwf
3
2w
2
)xd(nA
2
h
xh)bb(
12
h)bb(
3
xb
I
 
2
2s )dx(A)1n( ′−′−+ 
(12) 
Obs.: ∑∑∑ Δ+==== )AI(inérciademomentoI;A/Aixneutralinhadadeprofundidax 2iiiii 
[MUSSO] 
d h 
As 
b 
d h 
As’ 
As 
b 
d´ 
bw 
As 
bf 
hf d h 
h 
b 
xc 
LN 
bw 
bf 
hf 
h 
xc
LN 
bw 
As 
bf 
hf d 
d´ 
h 
As’ 
bw 
nAs 
bf hf 
d 
d´
x2
(n-1)As’ 
LN 
d
nAs
b
x2 
LN 
bw 
nAs 
bf 
hf d 
x2 
LN 
d
(n-1)As’
nAs
b
d´
x2 
LN 
cs
s
cc
cs
s
s
cs
c
c
s
s
s E
E
nonden
E
E
EE
=σ=σ=σ∴σ=ε=σ=ε 
]A)1n(A[)nAA(AnAAAP scsccscccsscc −+σ=+σ=σ+σ=σ+σ= 
nAs 
P 
As 
Ac A 
(n-1)As 
P 
εs = εc 
σs 
Es 
1 εs aço 
σc 
Ecs 
1 εc concreto 
Ac 
A 
real equivalente 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 131
 
LAJES – TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 132
 
LAJES – TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[GRASSER] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 133
 
LAJES – GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA NO ESTÁDIO 2[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 134
 
LAJES – GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA NO ESTÁDIO 2 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 135
 
LAJES – GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO – FÓRMULA DE BRANSON 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 136
 
LAJES - ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção não Fissurada (Estádio 1) 
wk = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs 
aço Æ Es = 210.000 MPa (11) concreto Æ 2/1ck2/1ckcics f4760f)5600(85,0E85,0E === MPa (12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Verificação da Segurança ELS-W 
wk < wlim (15) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
Momento Fletor de Cálculo MF 
MF = MGk + ψ1MQ1k + nψ2jMQjk (1) 
(combinação freqüente) 
 MGk parcela permanente 
 ψ1MQ1k parcela variável principal 
 nψ2jMQjk demais parcelas variáveis 
Tabela 1 – Coeficientes Ψ1 e Ψ2 
Finalidade da Estrutura ψ1 ψ2 
edifício residencial 0,4 0,3 
edifício comercial 0,6 0,4 
biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6 
Momento de Fissuração Mr,w 
É o valor do momento fletor que produz na seção 
bruta (secão de concreto desprezando armadura) 
uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada 
W,ctcW,r fWM = (2) 
Wc módulo resistente da seção bruta em relação a 
 fibra extrema tracionada tc y/I= (3) 
 Ic momento de inércia da seção bruta 
 yt distância do centróide à fibra ext. tracionada 
fct,W resistência do concreto à tração na flexão 
(módulo de ruptura) (MPa) 
)gulartanreseção(f315,0 3/2ck= (4a) 
)Tseção(f252,0 3/2ck= (4b) 
MF < Mr,w ? Sim Não 
Seção Fissurada (Estádio 2) 
)6(454
E5,12
w);5(
f
3
E5,12
w
rs
s
1
2
ctm
s
s
s
1
1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +ρ
σ
η
φ=σση
φ= 
)w;w(mínimow 21k = (7) 
wk abertura de fissura característica 
φ diâmetro da barra da armadura longitudinal 
η1 coeficiente de conformação superficial da barra 
σs tensão no aço tracionado no estádio 2 
Es módulo de elasticidade do aço 
fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck2/3 (MPa) (8) 
ρr taxa de armadura As na região de envolvimento Acr 
= As/Acr (9) 
As área de aço da armadura longitudinal tracionada 
Acr área da região de envolvimento 
Área de Envolvimento Acr 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acr = mín[(y+7,5φ); h/2].b (10) 
d h 
Acr 
b 
< h/2 
7,
5φ
 
y 
φ 
Tensão no Aço Tracionado na 
Seção Fissurada σs (Estádio 2 puro) 
)xd(
I
M
nn 2
2
F
cs −=σ=σ (14) 
 n razão Es/Ecs (13) 
 MF momento fletor para combinação frequente 
 I2 momento de inércia da seção no estádio 2 
 d altura útil da seção 
 x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 
 
x2; I2 (ver ELS-DEF) 
Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial η1 
Tipo de Barra η1 
lisa (CA-25) 1,00 
entalhada (CA-60) 1,40 
alta aderência (CA-50) 2,25 
Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlim 
Classe de 
Agressividade 
 Ambiental 
Agressividade Tipo de Ambiente wlim (mm) 
I fraca rural ou submerso 0,4 
II moderada urbano 
III forte marinho ou industrial 0,3 
IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0,2 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 137
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - LAJES - DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 138
 
LAJES - TAXA MÍNIMA DE ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÂO 
Ac área da seção transversal de concreto fyd fyk/1,15 
resistência de cálculo de escoamento do aço à 
tração 
As área da seção da armadura longitudinal de 
tração 
fyk resistência característica de escoamento do 
aço à tração 
As,mín área da seção mínima da armadura longitudinal 
de tração 
h altura da seção transversal 
b largura da seção transversal ρ As/Ac 
taxa geométrica de armadura longitudinal de 
tração 
fcd fck/1,4 
resistência de cálculo do concreto à 
compressão 
ω Asfyd/(Acfcd) 
taxa mecânica de armadura longitudinal de 
tração 
fck resistência característica do concreto à 
compressão aos 28 dias 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 139
 
LAJES - DISTRIBUIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
T1 - Área da seção transversal de barras longitudinais por metro de laje (cm2/m) 
Diâmetro da barra (mm) – φ < h/8 Espaça- 
mento 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 
7 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 28,72 44,88 54,30 70,12 
8 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 25,13 39,27 47,52 61,36 
9 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 22,34 34,91 42,24 54,54 
10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 
11 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 18,28 28,56 34,56 44,62 
12 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 16,76 26,18 31,68 40,91 
13 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15,47 24,17 29,24 37,76 
14 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 14,36 22,44 27,15 35,06 
15 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 13,40 20,94 25,34 32,72 
16 1,23 1,95 3,14 4,91 7,67 12,57 19,63 23,76 30,68 
17 1,15 1,83 2,96 4,62 7,22 11,83 18,48 22,36 28,87 
18 1,09 1,73 2,79 4,36 6,82 11,17 17,45 21,12 27,27 
19 1,03 1,64 2,65 4,13 6,46 10,58 16,53 20,01 25,84 
20 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 
21 0,93 1,48 2,39 3,74 5,84 9,57 14,96 18,10 23,37 
22 0,89 1,42 2,28 3,57 5,58 9,14 14,28 17,28 22,31 
23 0,85 1,36 2,19 3,41 5,34 8,74 13,66 16,53 21,34 
24 0,82 1,30 2,09 3,27 5,11 8,38 13,09 15,84 20,45 
25 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 
26 0,76 1,20 1,93 3,02 4,72 7,73 12,08 14,62 18,88 
27 0,73 1,15 1,86 2,91 4,55 7,45 11,64 14,08 18,18 
28 0,70 1,11 1,80 2,80 4,38 7,18 11,22 13,58 17,53 
29 0,68 1,07 1,73 2,71 4,23 6,93 10,83 13,11 16,93 
30 0,65 1,04 1,68 2,62 4,09 6,70 10,47 12,67 16,36 
31 0,63 1,01 1,62 2,53 3,96 6,49 10,13 12,26 15,83 
32 0,61 0,97 1,57 2,45 3,83 6,28 9,82 11,88 15,34 
33 0,59 0,94 1,52 2,38 3,72 6,09 9,52 11,52 14,87 
T2 – Taxa mínima de armadura longitudinal ρmín = As,mín/(bh) e espaçamento máximo das barras 
fck MPa 20 25 30 35 40 45 50 
armadura negativa 
de laje armada em 
duas direções 
0,150% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,150% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,150% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,173% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,201% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,230% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,259% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
armaduras 
positivas de laje 
armada em duas 
direções 
0,101% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,101% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,101% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,116% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,135% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,154% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,173% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
armadura negativa 
de laje armada em 
uma direção 
0,150% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,150% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,150% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,173% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,201% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,230% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,259% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
armadura positiva 
principal de laje 
armada em uma 
direção 
0,150% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,150% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,150% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,173% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,201% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,230% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
0,259% 
emáx = 2h 
< 20 cm 
armadura positiva 
secundária de laje 
armada em uma 
direção 
0,075% 
>0,2As,princ 
emáx=33cm 
0,075% 
>0,2As,princ 
emáx=33cm 
0,075% 
>0,2As,princ 
emáx=33cm 
0,086% 
>0,2As,princ 
emáx=33cm 
0,101% 
>0,2As,princ 
emáx=33cm 
0,115% 
>0,2As,princ 
emáx=33cm 
0,129% 
>0,2As,princ 
emáx=33cm 
obs.: 
1 – valores acima válidos para fyk = 500 MPa (aço CA-50) 
2 - laje armada em uma direção é a laje cuja razão entre o comprimento do lado maior e o comprimento do lado 
menor > 2 
3 - laje armada em duas direções é a laje cuja razão entre o comprimento do lado maior e o comprimento do lado 
menor < 2 
4 - independente da laje ser definida como armada em uma ou duas direções, toda laje possui armadura 
longitudinal disposta nas duas direções 
5 – armadura negativa é aquela colocadapróxima a face superior da laje (resiste a tração superior causada por 
momento fletor negativo) 
6 – armadura positiva é aquela colocada próxima a face inferior da laje (resiste a tração inferior causada por 
momento fletor positivo) 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 140
 
LAJES – DISPOSIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL – LAJE COM APOIOS LINEARES – APOIADA 
 
 
 
 
 
 
[FAVRE] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 141
 
LAJES – DISPOSIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL – LAJE COM APOIOS LINEARES – ENGASTADA 
 
 
 
 
 
[FAVRE] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 142
 
LAJES – DISPOSIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL – LAJE COM APOIOS PONTUAIS – INTERNA 
 
 
 
 
[FAVRE] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 143
 
LAJES – DISPOSIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL – LAJE COM APOIOS PONTUAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 144
 
LAJES – DISPOSIÇÂO DA ARMADURA DE PUNÇÃO 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 145
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.1 - LAJES MACIÇAS - EXEMPLOS
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 146
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES MACIÇAS - CASO 1 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 147
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES MACIÇAS - CASO 2 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 148
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES MACIÇAS - CASO 3 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 149
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES MACIÇAS - CASO 4 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 150
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES MACIÇAS - CASO 5 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 151
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES MACIÇAS - CASO 6 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 152
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES MACIÇAS - CASO 7 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 153
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES MACIÇAS - CASO 8 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 154
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES MACIÇAS - CASO 9 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 155
 
LAJES – PLANILHA DE DIMENSIONAMENTO DE LAJE MACIÇA COM APOIOS LINEARES 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 156
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.2 - LAJES NERVURADAS - EXEMPLOS 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 157
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES NERVURADAS - CASO 1 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 158
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES NERVURADAS - CASO 2 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 159
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES NERVURADAS - CASO 3 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 160
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES NERVURADAS - CASO 4 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 161
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES NERVURADAS - CASO 5 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 162
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES NERVURADAS - CASO 6 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 163
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES NERVURADAS - CASO 7 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 164
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES NERVURADAS - CASO 8 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 165
 
LAJES - EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO - LAJES NERVURADAS - CASO 9 - VÃO MENOR = 6 m - C25 
 
[MUSSO] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 166
 
LAJES – PLANILHA DE DIMENSIONAMENTO DE LAJE NERVURADA COM APOIOS LINEARES 
 
[MUSSO] 
 
	DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS 
	DE CONCRETO ARMADO