ATIVIDADE 1 - MAT - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS - 54-2021 -

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ATIVIDADE DE ESTUDO 1 
 
 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 Disciplina: Estruturas Algébricas 
Valor da atividade: 2,0 pontos Prazo: 17/09/2021 
 
Instruções para Realização da Atividade 
1. Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos; 
2. Os cálculos e fórmulas devem ser realizados no próprio arquivo word. Para isso 
utilize o EQUATION, que é a ferramenta inserida no próprio word, ou outra 
ferramenta disponível. NÃO SERÃO ACEITOS TRABALHOS FEITOS À MÃO E 
INSERIDOS NO ARQUIVO. 
 
Em caso de dúvidas, entre em contato com seu Professor Mediador. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
Utilizado o Pequeno teorema de Fermat, determine o resto da divisão de 𝟑𝟐𝟎𝟐𝟏 
por 7: 
 
𝑎𝑝 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) 
Se 𝑝 ∤ 𝑎, então temos: 
 
𝑎𝑝−1 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 ) 
Sabemos que: 
 
 𝑚𝑜𝑑 é módulo; 
 𝑎 ∈ ℤ; 
 𝑝 é primo; 
 7 é primo e não divide 3. 
 
Utilizando o Pequeno teorema de Fermat, calcular o resto é o mesmo que calcular a 
classe de equivalência módulo 7. 
 
 
Logo pelo Pequeno teorema de Fermat, temos: 
 
𝑎𝑝−1 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝 ) 
𝑎7−1 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 7) 
𝑎6 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 7 ) 
 
Utilizando a divisão o expoente de 32021 por 6 temos: 
 
2021 ÷ 6 = 6 · 336 + 5 
 
Reescrevendo o problema, temos: 
 
32021 ≡ 36·336+5 (𝑚𝑜𝑑 7) 
 
Utilizando as propriedades de potenciação, temos: 
 
32021 ≡ (36)336 · 35 (𝑚𝑜𝑑 7) 
 
Sabemos que: 
 
𝑎𝑝−1 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝 ) 
 
Logo, temos: 
 
32021 ≡ 1336 · 35 (𝑚𝑜𝑑 7) 
32021 ≡ 1 · 35 (𝑚𝑜𝑑 7) 
32021 ≡ 1 · 243 (𝑚𝑜𝑑 7) 
32021 ≡ 243 (𝑚𝑜𝑑 7) 
 
Se utilizando da divisão de 243 por 7, se obtém: 
 
243 ÷ 7 = 7 · 34 + 5 
 
Sabemos que: 7 · 34 = 238. Assim utilizando 238, em ambos os lados da 
equivalência temos: 
 
32021 − 238 ≡ 243 − 238 (𝑚𝑜𝑑 7) 
32021 − 238 ≡ 5 (𝑚𝑜𝑑 7) 
 
Assim temos, pelo Pequeno teorema de Fermat que o resto da divisão é 5.