Resistência dos Materiais - Torção Não-Uniforme

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Salete Souza de Oliveira Buffoni 1
 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Torção Não-Uniforme 
A barra não precisa ser prismática e os torques aplicados podem agir em 
qualquer lugar ao longo do eixo da barra. Nesse caso aplica-se a fórmula de torção pura 
em segmentos individuais da barra e somam-se os resultados, ou aplicam-se as fórmulas 
para elementos diferenciais e integra-se, 
Caso 1 – Barra consistindo de segmentos prismáticos com torque constante ao 
longo de cada segmento, como na Figura 1. 
 
Figura 1 - Barra em torção não-uniforme 
Tem-se que os torques abaixo são constantes ao longo do comprimento de seu 
segmento: 
321CD TTTT +−−= (1) 
21BC TTT −−= (2) 
1AB TT −= (3) 
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Convenção de sinal 
Um torque interno é positivo quando seu vetor aponta para fora da seção cortada 
e negativa quando seu vetor aponta em direção a seção. 
 
Caso o torque tenha sinal positivo, isso quer dizer que ele está na direção 
assumida, caso contrário, ele age na direção oposta. 
 
Ângulo de torção 
O ângulo de torção total de uma extremidade da barra em relação à outra é então obtido 
através da soma algébrica, da seguinte maneira: 
n21 φφφφ +++= K (4) 
1φ - Ângulo de torção para o segmento 1. 
2φ - Ângulo de torção para o segmento 2 
E assim por diante, onde n é o número total de segmentos. 
Fórmula geral do ângulo de torção 
( )∑∑ == ==
n
1i iPi
ii
n
1i
i IG
LTφφ (5) 
O subscrito i é um índice numérico para os vários segmentos, Ti é o torque interno, Li é 
o comprimento, Gi é o módulo de cisalhamento e ( )iPI é o momento de inércia polar. 
 
Caso 2 - Barra com seções transversais variando continuamente e torque constante 
A tensão de cisalhamento máxima ocorre na seção que tem o menor diâmetro. 
Consideremos um elemento de comprimento dx à distância x de uma extremidade da 
barra, como na Figura 2. O ângulo de rotação diferencial φd para esse elemento é: 
( )xGI
Tdxd
P
=φ (6) 
 
Figura 2 - Barra em torção não-uniforme. 
 
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Em que ( )xI P é o momento polar de inércia da seção transversal à distância x da 
extremidade. O ângulo de torção para toda a barra é a soma dos ângulos de rotação 
diferenciais. 
( )∫∫ ==
L
0 P
L
0
xGI
Tdxdφφ (7) 
Resolução da integral: Analítica ou numericamente. 
 
Caso 3 - Barra com seções transversais variando continuamente e torque variando 
continuamente como na Figura 3. 
 
Figura 3 – Barra em torção não-uniforme 
Ângulo de torção para o caso 3 
 
( )
( )∫∫ ==
L
0 P
L
0
xGI
dxxTdφφ (8) 
 
Limitações 
As análises descritas são válidas para barras feitas de materiais elásticos lineares com 
seções transversais circulares (sólidas ou vazadas). As tensões determinadas são válidas 
em regiões distantes de concentração de tensão. 
 
 
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Exercício 
1. Um eixo sólido de aço ABCD, Figura 4, tendo diâmetro d=30 mm gira 
livremente em mancais nos pontos A e E. O eixo é comandado pela engrenagem 
em C, que aplica um torque T2=450 N.m na direção ilustrada na figura. As 
engrenagens em B e D são giradas pelo eixo e tem torques de resistência T1=275 
N.m e T3=175 N.m, respectivamente, agindo na direção oposta ao torque T2. Os 
segmentos BC e CD têm comprimentos LBC = 500 mm e LCD=400 mm, 
respectivamente, e o módulo de elasticidade de cisalhamento G=80 GPa. 
Determine a tensão de cisalhamento máxima em cada parte do eixo e o ângulo 
de torção entre as engrenagens B e D. 
 
Figura 4 - Eixo de aço em torção. 
Solução 
 
Figura 5 – Diagramas de corpo livre. 
Resposta: MPa9,51BC =τ , MPa0,33CD =τ , oBD 61,0−=φ 
 
Estudar o exercício resolvido 3.5 do Gere pág. 155 
 
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Transmissão de Potência por eixos Circulares 
 
Utilidade: Transmitir potência mecânica de um dispositivo ou máquina para outro (eixo 
propulsor de um navio, eixo de uma bicicleta). 
 
A potência é transmitida através do movimento rotatório do eixo e a quantidade 
de potência transmitida depende da magnitude do torque e da velocidade de rotação. 
 
Problema comum 
Determinar o tamanho do eixo de tal forma que ele transmita uma quantidade 
específica de potência numa velocidade de rotação especificada sem exceder as tensões 
admissíveis do material. 
Analise a Figura 6 
 
Figura 6 - Eixo transmitindo um torque constante T a uma velocidade angular w. 
Trabalho realizado por um torque de magnitude constante 
ψTW = (9) 
Onde W é o trabalho realizado pelo torque T e ψ é o ângulo de rotação em radianos 
Potência é a taxa em que o trabalho é realizado 
dt
dt
dt
dWP ψ== (10) 
Onde P é a potência e t é o tempo. A velocidade angular, ω é dada por: 
dt
dψω = (11) 
Substituindo-se (11) em (10) 
ωt
dt
dWP == srad=ϖ (12) 
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Essa fórmula da física, fornece a potência transmitida por um eixo em rotação 
transmitindo um torque constante T 
Unidades: 
SI= Torque T em N/m -> Potência em Watt (W). 1 Watt = 1 Nm/seg = 1 joule/seg 
Torque T em libra-pés -> Potência em pé-libras/seg 
Velocidade Angular 
f2πω = (ω em rad/s, f =Hz=s-1) (13) 
Substituindo-se (13) em (12) 
 
fT2P π= (f =Hz=s-1) (14) 
 
Número de revoluções por minuto (rpm), denotada pela letra n é dada por: 
f60n = (15) 
Substituindo-se (15) em (14) 
 
60
nT2P π= (16) 
Prática da engenharia nos estados unidos 
Potência é expressa em Cavalos (hp) -> 1 hp=550 ft-lb/s 
Exercício: 
1. Um motor rotacionando um eixo circular sólido transmite 40 hp para uma 
engrenagem em B, Figura 7. A tensào de cisalhamento admissível no aço é 6000 
psi 
(a) Qual é o diâmetro d necessário do eixo se ele é operado a 500 rpm? 
(b) Qual é o diâmetro d necessário se ele é operado a 3000 rpm? 
Resposta: (a) d=1,62 in (b) d=0,89 in 
 
Figura 7: Eixo de aço em torção. 
Resolver o exercício 3.8 do Gere pág. 165 
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Membros de Torção Estaticamente Indeterminados 
 
As reações e torque internos não podem ser mais obtidos através das equações de 
equilíbrios. 
Utilizam-se as equações de compatibilidade. 
 
Passos para se resolver o problema 
1- Escrever as equações de equilíbrio a partir de diagramas de corpo livre. As 
quantidades desconhecidas são os torques, tanto internos como de reação. 
 
 
2- Formular equações de compatibilidade, as incógnitas são os ângulos de torção. 
 
 
3- Relacionar os ângulos de torção aos torques pelas relações de torque-
deslocamento, como PGITL=φ , depois de colocar essas relações nas equações 
de compatibilidade, elas também se tornam equações tendo os torques como 
incógnitas. 
 
 
4- Obter os torques desconhecidos resolvendo simultaneamente as equações de 
equilíbrio e compatibilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ilustração do método de solução: Suponha a barra composta AB apresentada na 
Figura 8. A Extremidade A é engastada e em B existe uma placa rígida. 
 
 
Figura 8 – Barra estaticamente 
indeterminada em torção. 
Quando o torque T é aplicado à 
barra composta, a placa na 
extremidade rotaciona através de um 
pequeno ângulo φ 
 E os torques T1 e T2 são 
desenvolvidos na barra sólida e tudo, 
respectivamente. Do equilíbrio 
sabemos que a soma desses torques 
é igual à carga aplicada, e dessa 
forma a equação de equilíbrio é: 
TTT 21 =+ (17) 
Incógnitas: T1 e T2 
Consideração dos deslocamentos de 
rotação. 
Os ângulos de torção devem ser 
iguais por que a barra e o tubo estão 
unidos seguramente à placa rígida e 
rotacionam com ela. 
21 φφ = (18) 
Relações de Torque deslocamento 
1P1
1
1 IG
LT=φ , 
2P2
2
2 IG
LT=φ (19) 
onde G1 e G2 são os módulos de 
elsaticidade de cisalhamento dos 
materiais,Ip1 e Ip2 são os 
momentos de inércia polar das 
seções transversais. Substituindo-se 
(19) em (18) 
2P2
2
1P1
1
IG
LT
IG
LT = (20) 
Assim, 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+= 2P21P1
1P1
1 IGIG
IG
TT 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+= 2P21P1
2P2
1 IGIG
IG
TT (21) 
A análise estaticamente 
indeterminada está completa. As 
tensões e ângulos de torção podem 
agora ser encontrados a partir dos 
torques
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Exercício: 
1. A barra ACB ilustrada na Figura 9.a e b está engastada em ambas as extremidades 
carregadas por um torque To no ponto C. Os segmentos AC e CB da barra têm diâmetros 
dA e dB, os comprimentos LA e LB e momentos de inércia polar IPA e IPB, respectivamente. 
O material da barra é o mesmo ao longo de ambos os segmentos. 
Obtenha fórmulas para (a) os torques de reação TA e TB nas extremidades, (b) As tensões 
de cisalhamento máximas ACτ e CBτ em cada segmento da barra e (c) o ângulo de 
rotação Cφ na seção transversal em que a carga To é aplicada. 
 
Figura 9- Barra estaticamente indeterminada em torção 
 
Resposta: ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+= PBAPAB
PAB
oA ILIL
ILTT ; ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+= PBAPAB
BPA
oB ILIL
ILTT 
( )PBAPAB
ABo
AC ILIL2
dLT
+=τ ; ( )PBAPAB
BAo
CB ILIL2
dLT
+=τ ; ( )PBAPAB
BAo
C ILILG
LLT
+=φ 
 
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Referências Bibliográficas: 
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 
1995. 
2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 
3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000. 
Observações: 
1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 
2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.