Questão resolvida - Dada a função f(x)=1_(x²+4x), encontre os valores extremos de f no intervalo ]-4,0[ - máximo e mínimo da função - cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dada a função
 
 f x =( )
1
x² + 4x
 
 encontre os valores extremos de f no intervalo . - 4, 0] [
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos fazer a derivada da função;
 
 f x = f x = x² + x f' x = - x² + 4x ⋅ 2x+ 4 f' x = -( )
1
x² + x
→ ( ) ( )-1 → ( ) ( )-2 ( ) → ( )
2x+ 4
x² + 4x( )2
Agora, devemos igualar a derivada a zero e resolver a equação para x, os valores 
encontrados são os prováveis pontos críticos de ; f x( )
 
- = 0 2x+ 4 = 0 ⋅ x² + 4x 2x+ 4 = 0 2x = -4 x = - x = -2
2x+ 4
x² + 4x( )2
→ ( )2 → → →
4
2
→
Assim, o único candidato a ponto crítico é o de coordenada . Vamos vericar o x = -2
comportamento da derivada nos entornos de , vamos analisar o sinal da f' x( ) x = -2
derivada para e ;x = -1 x = -3
 
x = -1 f' -1 = - = - = - = -→ ( )
2 -1 + 4
-1 ² + 4 -1
( )
(( ) ( ))2
-2 + 4
1- 4( )2
2
-3( )2
2
9
 
x = -3 f' -3 = - f' -3 = - = - =→ ( )
2 -3 + 4
-3 ² + 4 -3
( )
(( ) ( ))2
→ ( )
-6 + 4
9- 12( )2
-2
-3( )2
2
9
Onde o valor da derivada é positivo, indica que a função é crescente, onde o valor é 
negativo, indica que a função é decrescente;
 
 
 
 
Vaja pela análise que o ponto para é ponto de máximo no intervalo , já x = -2 - 4, 0] [
que a função cresce até e decresce depois de .x = -2 x = -2
 
Adicionalmente, podemos verificar isso no gráfico da função abaixo;
 
 
 
-2-3
-
-1
+
crescente decrescente