Deformação por Cisalhamento em Materiais

Prévia do material em texto

1
 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
PROFESSORA: SALETE BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Deformação por Cisalhamento Máxima Absoluta 
Introdução: 
 
Em três dimensões, o estado de tensão em um ponto é representado por um elemento 
orientado em uma direção específica, de forma que o elemento esteja sujeito somente a tensões 
principais com valores máximo, intermediário e mínimo ( )minintmáx e, σσσ . Essas tensões submetem 
o material a deformações principais associadas ( )minintmax e, εεε . 
 
 
 
Figura 1- Alongamento no ponto devido às deformações principais. 
 2
Caso o material seja homogêneo e isotrópico, o elemento não estará sujeito a deformações 
por cisalhamento porque a tensão de cisalhamento nos planos principais será nula. Supor que as três 
deformações principais provoquem alongamentos ao longo dos eixos x’, y’e z’ como na Figura 1. 
Podemos olhar o elemento em duas dimensões como nas Figuras 1.b, 1.c e1.d. Dessa forma 
poderemos utilizar o círculo de Mohr para determinar a deformação por cisalhamento máxima no 
plano em cada caso. 
Pelos três círculos vê-se que a deformação por cisalhamento máxima absoluta é determinada 
no círculo de maior raio. Ela ocorre no elemento orientado a 45º em torno do eixo y’em relação ao 
elemento mostrado em sua posição original, Figuras 1.a ou 1.c. Para essa condição: 
 
minmax
abs
max εεγ −= (1) 
2
minmax
med
εεε += (2) 
 
Estado Plano de Deformações 
 
Vamos fazer uma análise caso o material esteja sujeito a um estado plano de deformações, ou seja, 
quando as deformações principais têm o mesmo sinal, isto é, ambas provocam alongamento ou 
ambas provocam contração. 
 
Exemplo: 
Caso as deformações principais no plano sejam maxε e intε , enquanto a deformação principal fora do 
plano 0min =ε , Figura 2.a, então os três círculos de Mohr que descrevem os componentes de 
deformação normal e por cisalhamento para elementos orientados em torno dos eixos x’, y’ e z’ 
serão mostrados na Figura 2.b. Concluímos que o maior círculo tem raio ( ) 2R max'z'xγ= . Portanto: 
 ( ) maxmax'z'x
abs
max εγγ == (3) 
 
 
Figura 2 - Estado Plano de Deformações. 
 
Esse valor representa a deformação por cisalhamento máxima absoluta para o material. Observe que 
ela é superior à deformação por cisalhamento máxima no plano que é: 
 ( ) intmaxmax'z'x εεγ −= (4) 
 3
 
Se uma das deformações principais no plano tiver sinal oposto ao da outra, então maxε provocará 
alongamento, minε provocará contração e a deformação principal fora do plano será 0int =ε , Figura 
3.a. Os círculos de Mohr que descrevem as deformações em cada orientação do elemento e m torno 
dos eixos x’, y’e z’, apresentam-se na Figura 3.b. Nesse caso: 
 ( ) minmaxmax'y'x
abs
max εεγγ −== (5) 
 
 
Figura 3 – Estado Plano de Deformações. 
 
Exemplo: O estado Plano de deformações no ponto é representado pelos componentes de 
deformação ( )6x 10400 −−=ε , ( )6y 10200 −=ε , ( )6xy 10150 −=γ . Determinar a deformação por 
cisalhamento máxima no plano e a deformação por cisalhamento máxima absoluta. 
 
Resposta: 
( )6
plano
nomax 10618
−=γ , ( )6
abs
max 10618
−=γ 
 
 
 
 
 
 
 
 4
Referências Bibliográficas 
 
 
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995. 
2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 
3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000. 
 
Observações: 
1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 
2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.