Apostila Calculo 1 - Prof. Jair Vignolle

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1
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TÉCNICA, TECNOLÓGICA
SUL-RIO-GRANDENSE
COORDENADORIA DE CIÊNCIAS DA NATUREZA, MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
CÁLCULO I
ENGENHARIA ELÉTRICA
PROF.: JAIR VIGNOLLE DA SILVA
PROF.: ODAIR A. NOSKOSKI
2

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TÉCNICA, TECNOLÓGICA
UNIDADE – I: CONJUNTOS
O estudo do cálculo baseia-se em propriedades estruturais do conjunto dos números
reais(IR). Existe uma correspondência biunívoca do conjunto dos números reais e os pontos
de uma reta real. Com isto, começamos assim a visualização do processo algébrico,
consequentemente, vislumbrando o entendimento e a aplicabilidade do cálculo. A reta é
construída de tal maneira que podemos localizar os pontos nela, portanto começamos
localizando sua origem(denotado pelo número zero) e definindo uma unidade. Daí podemos
localizar qualquer número real, como por exemplo:
 Uma unidade
 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 eixo real
 Origem
Do lado esquerdo se encontram os negativos e do lado direito os positivos.
Dados a,b  IR, chamamos de tricotomia ao fato de que apenas uma das alternativas
pode ocorrer: ou a=b, ou a>b, ou a<b.
Deste fato, o número que estiver representado à direita na reta numérica é o maior.
Além das três desigualdades acima, podemos ter combinações dessas, como por
exemplo:
ab  significa que a<b ou a=b
a<bc  significa que a<b e bc
PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES
i) se a>b e b>c, então a>c
ii) se a>b, então a+c>b+c
iii) se a>b e c>0 (positivo), então a.c > b.c
iv) se a>b e c<0 (negativo), então a.c < b.c
INTERVALOS
Dados dois números reais “a” e “b” com a <b, chama-se intervalo o conjunto de
números reais compreendidos entre “a” e “b”.
 “a” e “b” chamam-se extremos do intervalo.
 Os extremos podem ou não fazerem parte do intervalo, daí surgem os tipos de
intervalos.
a) (a,b)  intervalo aberto
b) [a,b]  intervalo fechado
c) [a,b) e (a,b]  intervalos semi-abertos
d) intervalos definidos com os sinais - ou   intervalos infinitos.
3
NOTAÇÃO DEFINIÇÃO GRÁFICO
 ] a , b [ { xIR  a < x < b } a b
 [ a , b ] { xIR  a  x  b } a b
 [ a , b [ { xIR  a  x < b } a b
 ] a , b ] { xIR  a < x  b } a b
 ] a , + [ { xIR  x > a } a +
 [ a , + [ { xIR  x  a } a +
 ]  , b [ { xIR  x < b }  b
 ]  , b ] { xIR  x  b }  b
 ]  , + [ IR  +
INEQUAÇÕES
Resolução de inequações simples.
Exemplo 1:
Sendo U=IR, determine o conjunto verdade da inequação 04x2  .
Exemplo 2:
Dê o conjunto verdade em IR da inequação composta 4x106x3x3  .
Exemplo 3:
Reso1va em IR a inequação    0x232x  .
Exercícios:
Sendo U=IR, determine o conjunto verdade da inequação:
1) 06x3  R.:  2x/IRxV 
2) 04x2  R.:  2x/IRxV 
3) 4x106x3x3  R.: 







4
9x/IRxV
4)    01x2x  R.:  2x1/IRxV 
5) 2
x3
x5

 R.:  0xou1x/IRxV 
6)    04x1x
5


R.:  1xou4x/IRxV 
7) 3
x3
1x20 


 R.: 






 2x
2
1/IRxV
4
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO
O valor absoluto a de um número real a é definido por:






0ase,a
0ase,a
a
Em outras palavras, se “a ” é a coordenada de um ponto A de uma reta, então a é a
quantidade de unidades que esse ponto se encontra afastado da origem O.
Exemplos:
3a   33a 
5a     555a 
Propriedades:
i) IRa,aa 
ii) IRa,aaa 
iii) IRa,,a,a,aaaaaa n21n21n21  
iv) IRb,a,bababa 
v) IRa,,a,a,aaaaaa n21n21n21  
vi) .0bcom,IRb,a,
b
a
b
a

Resolução de equações e inequações com módulo.
Exemplo 1:
Resolver a equação 21xx2x  .
Exemplo 2:
Resolver a inequação 73x  .
Exercícios:
1)Resolver, em IR, as seguintes equações:
a) 105x  b) 27x7xx 
c) 01xx  d) 010x3x2 
2) Resolva as seguintes inequações, sendo IRU  :
a) 0
x
1x  b) 6x2x  c) 11x0 
Respostas:
1) a)  15,5V  b)  3V  c) 







2
1V d)  5,5V 
2) a)  0x1/IRxV  b)  4x/IRxV 
 c)    1xe2x0/IRx2x1ou1x0/IRxV 
5
UNIDADE – II: FUNÇÕES
Definição:
 Dados dois conjuntos A e B, dizemos que existe uma função de A em B se para todo
elemento xA corresponda um único yB.
Notação;
 f: A  B A  f B
 x y = f(x) x  y = f(x)
 xA  Variável independente
 yB  Variável dependente
Df = A (domínio)  É formado pelos possíveis valores de x( Conjunto de partida).
CDf = B ( Contra-domínio)  (Conj. de chegada)
Imf  B  É formado pelos valores de y B.
Classificação:
1-Função polinomial:
Função do 1o grau
 É toda função do tipo 
baxyx
IRIR:f



, sendo a,b  IR.
Se a=0, então y=b  Função constante
Se b=0, então y=ax  Função linear
Se a=1 e b=0, então y=x  Função identidade
O gráfico é representado por uma reta.
 Y Se y=0  a.x+b=0  a.x= b  x= b/a
 b   0,a/b
 Se x=0  y=b   b,0
 b/a X
OBSERVAÇÕES:
i)Coeficiente angular:
 Da equação y=ax+b que define a função do 1o grau, isolando “a” temos:
x
bya  ou de outra forma 
12
12
xx
yya


 quando se conhece dois pontos da reta
 “a“ é denominado “coeficiente angular”.
 Também podemos definir “a” como sendo a tangente do ângulo  que o gráfico da
reta da função “y=f(x)” faz com o eixo xx. Ou seja: a=tan().
ii)Coeficiente linear:
De outro modo, da equação y=ax+b, isolando “b” temos:
 b=y-ax  “b” é denominado “coeficiente linear”.
6
Função quadrática ou do 2o grau
 É toda função do tipo 
cbxaxy
IR
x
IRf


2
:

, com a, b, c  IR e a  0.
Observações:
 O gráfico é representado por uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
 A parábola será voltada para baixo se a < 0.
 A parábola será voltada para cima se a > 0.
Funções polinomiais de grau “n”:
 Chama-se função polinomial de grau “n” toda função de IR em IR definida por
f(x)=an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 , onde an  IR* e an-1 , ..., a1 , a0  IR.
2-Função racional:
 Uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais, ou seja:
)(
)()(
2
1
xp
xpxf  , onde )(1 xp e )(2 xp são funções polinomiais e )(2 xp 0.
Como )(2 xp 0, daí temos uma restrição para o domínio dessa função.
Exemplo:
Determine o domínio e faça o gráfico da função 
1
2


x
y .
3-Função algébrica ou irracional:
 Função algébrica é toda função que é expressa em termos de somas, diferenças,
produtos, quocientes ou potências racionais de polinômios.
Exemplo: 
2x4
11xxf )(
4-Função e transcendental:
 As funções que não são algébricas, são transcendentais.
Por exemplo: As que envolvam as funções trigonométricas, as exponenciais ou
logarítmicas.
5-Função exponencial:
 É toda função do tipo xay
IR
x
IRf

 
*:

, com a>0 e a1.
Observações:
- a  chama-sebase
- x  expoente
7
6-Função logarítmica:
 É toda função do tipo 
a
xy
IR
x
IRf
log
: *



 , com a>0 e a1.
Observações:
- a  é a base do logaritmo
- x  chama-se logaritmando
- y  é o logaritmo de x na base a
- Se a=10  o logaritmo chama-se decimal.
 notação: y = log (x)
- Se a = e  2,718281  o logaritmo chama-se neperiano ou logaritmo natural
 notação: y=ln (x)
Condições de existência:
1o ) O logaritmando tem que ser positivo ( x > 0 )
2o ) A base tem que ser positiva e diferente de 1 ( a > 0 e a  1 )
Funções especiais:
7-Função definida por várias sentenças:
 Uma função f pode ser definida por uma lei formado por mais de uma sentença: num
subconjunto D1 do domínio, ela é dada por uma certa lei; noutro subconjunto D2, ela é dada
por outra lei, e assim por diante.
Exemplo:
 A função f : IR  IR definida por: 





1xse,5x)x(f
1xse,2x)x(f
 é definida por duas sentenças. Indicamos também: 






1xse,5x
1xse,2x
)x(f
Considerando a função acima, faça o gráfico e determine o conjunto imagem.
Função modular
 É toda função do tipo 
xy
IR
x
IR:f

 

 y
De outra forma 






0xse,x
0xse,x
xy Gráfico:
 x
Função maior inteiro:
Dado xIR, definimos a operação [[x]]=n, onde n é o maior inteiro tal que nx.
Exemplos:
a)[[2,3]]=2 b)[[0,6]]=0 c)[[-7/2]]=-4 d) [[ 7 ]]=2
8
Definição:
Deste modo a função maior inteiro f é definido como f(x)=[[x]].
Gráfico da função maior inteiro.
Função composta:
 Seja as funções f, de A em B, e g, de B em C. Função composta de g e f ( notação:
gof) é a função da A em C definida por :
(gof)(x)=g(f(x))
Exemplo:
Dadas as funções f(x)=x+1 e g(x)=x2–1, de IR em IR. Determinar as sentenças que definem
as funções fog e gof.
EXERCÍCIOS
1)Determine o conjunto domínio, o conjunto imagem e faça o gráfico das seguintes funções
no mesmo sistema cartesiano:
a)f(x)=3x+2 e g(x)=x+2
b)f(x)=-2x+3 e g(x)=-2x-1
2)Considere f(x)=-2x+5.
a)Determine Df. b)Existe xIR, tal que f(x)=0?
c)Existe xIR, tal que f(x)=
2
1
? d)Determine Imf.
e)Faça o gráfico.
3)Considere a função f(x)=-2x+2, f:AIR, sendo A={xIR/0x2}.
a)Determine Df e Imf. b)Calcule f(0).
c)Determine xIR tal que f(x)=0. d)Faça o gráfico.
e)A função tem um valor mínimo absoluto? Qual é esse valor?
f)A função tem um valor máximo absoluto? Qual é esse ponto?
4)Considere a função f(x)=-x2+2x-3.
a)Determine Df. b)Existe xIR, tal que f(x)=0?
c)Resolva: i)f(x)=-2 ii) f(x)=-1 d)Existe xDf, tal que sua imagem é –1?
e)Determine Imf.
5)Esboce o gráfico e determine Imf das funções:
a)f(x)=2x2-3x-5 b)f(x)=2x2+x-6
c)f(x)=x2-20x+102 d)f(x)=-x2+25
e)f(x)=x2+4x
9
6)Das seguintes funções, determine:
a) os zeros; b) estudo do sinal; c) esboço do gráfico
i)y=x4-4x2-5 ii)y=x3-8 iii)y=x3-x2+3x iv)y=x5-x v)y=x4-x2-2
7)Determine o domínio e faça o gráfico das seguintes funções:
a)
x
xf 1)(  b)
2
3)(



x
xf
8)Encontre o conjunto domínio de y=f(x) de modo que exista a função:
a) y = log (x+1) b) 
)2(
)2(log


x
xy c) 
)1(
2 )9(log


x
xy d)  2log 22  xxy
9) Encontre o conjunto domínio e o conjunto imagem da f(x)=y de modo que exista a
função e esboce o gráfico:
a) y = log (x+1) b)  2log 22  xxy c)  xy 22ln 
d) 32  xy e) 
x
y 





3
1
 f) 12  xy g) 1 xey
10)Faça o gráfico e determine o domínio das funções:
a)






1xse,x
1xse,1x2
)x(f 2 b) 






1xse,x
1xse,1x)x(f
2
c) 









4xse,2x
4x0se2
0xse,2x
)x(f d)











1xse,
x
1
1x0se,x3
0xse,2
)x(f
11)Encontre as raízes e esboce o gráfico das seguintes funções:
a) 42  xy b) 42  xy c) 322  xxy
d) 442  xxy e) 22  xxy
12)Obter as sentenças das funções fog, gof, gog e fof e o domínio de cada sentença, nos
seguintes casos:
a)f(x)=2x e g(x)=4 – x b)f(x)=x2 e g(x)=x-1 c)f(x)=x-1 e g(x)=
1x
1

10
13)Esboce o gráfico das seguintes funções e encontre o domínio e a imagem de cada uma.
a) 1)( 2  xxf b)






1,2
10,1
)(
xsex
xsex
xf c)   2)(  xxf
d)
2
4)(
2



x
xxf e) xxf 4)(  f) 5)( 2  xxf g)
x
x
xf )(
h) xxxf )(
14)Resolva os problemas:
a)Do décimo sexto andar de um edifício, a 50 metros do chão, caiu um vaso. Em cada
momento da queda, a distância do vaso em relação ao solo é dada pela fórmula d=50-5t2, d
em metros e t em segundos.
Quantos segundos o vaso demora para atingir o solo?
b)Um restaurante aumenta seus preços em 10% para cobrir despesas de serviços. Chame de
p os preços do cardápio e de y os preços com acréscimos.
i)Dê a lei que permite calcular y em função de p.
ii)Represente graficamente essa função para 5p500.
iii)Um cliente pagou R$ 120,00 de conta. Qual era o preço sem acréscimo?
c)Uma gráfica cobra R$ 0,10 para copiar cada página, caso o número de cópias seja inferior
ou igual a 50. Se o número de páginas for superior a 50, o custo de cópias por página
adicional passa a ser R$ 0,08. Esboce o gráfico do custo total ( C ) para copiar x páginas.
d)Mostre que f é função do 1o grau, mostre o gráfico das duas funções( esta e a
simplificada) e saliente a diferença, se houver.:
i)     1236)( 2  xxxxf
ii) 
33
22)(
2
3



x
xxxf
e)Seja a função f, definida por f(x+2)=2x2-4x+3.
i)Obtenha f(x).
ii)Calcule f(-1) e f(1).
15)Dadas as funções f(x)=x2-5x+6 e g(x)=2x+1, resolva: 
   )(f
)(f
gf
)x(g)(f
0
2
2
1


16)Sendo a função f : IRIR definida por f(x)=x2 e g : IR IR a função tal que
h
)x(f)hx(f)x(g  , ache g(x).
17)Seja f : IN  Z, a função definida por: f(0)=2, f(1)=3 e f(n+1)=2f(n)-f(n-1), calcule
f(5).
11
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO
1) a)D(f)=D(g)=Im(f)=Im(g)=IR
 b)D(f)=D(g)=Im(f)=Im(g)=IR
2) a)D(f)=IR b)x=
2
5 c)x=
4
11 d)Im(f)=IR
3) a)D(f)=A e Im(f)=[-2,2] b)f(0)=2 c)x=1 e)Sim, y=–2 f)Sim, y=2
4) a)D(f)=IR b) IRx  c-i)S={1} c-ii)S=ø d)Não e)Im(f)=]–,–2]
5) a-b)Im(f)=[
8
49 ,[ c)Im(f)=[2,[ d)Im(f)=]–,25] e)Im(f)=[–4,[
6) i)a)x= 5 b)x]–,– 5 [] 5 ,[y>0 e x]– 5 , 5 [y<0
 ii)a)x=2 b)x]–,2[y<0 e x]2,[y>0
 iii)a)x=0 b)x]–,0[y<0 e x]0,[y>0
 iv)a)x=1 e x=0 b)x]–,–1[]0,1[y<0 e x]–1,0[]1,[y>0
 v)a)x= 2 b)x]–,– 2 [] 2 ,[y>0 e x]– 2 , 2 [y<0
7) a)D(f)=IR b)D(f)=IR–{2}
8) a)D(f)={xIR  x>–1} b)D(f)=Ø c)D(f)={xIR/1<x<3 e x2}
 d)D(f)={xIR / x<–1ou x>2}
9) a)D(f)={xIR  x>–1} e Im(f)=IR b) D(f)={xIR / x<–1 ou x>2} Im(f)=IR
 c)D(f)={xIR/x<1} Im(f)=IR d)D(f)=IR Im(f)=]-3,+[ e-f-g)D(f)=IR Im(f)=IR*+
10) a-b-c-d)D(f)=IR
11) a)x=2 b)x=2 c)x=1 ou x=–3 d)x=2 e)Não tem raízes
12) a)fog(x)=8–2x gof(x)=4–2x gog(x)=x fof(x)=4x
 b)fog(x)=x2–2x+1 gof(x)=x2–1 gog(x)=x–2 fof(x)=x4
 c)fog(x)=
1x
x

 gof(x)=
x
1 gog(x)=
2x
1x

 fof(x)=x–2
13) a)D(f)=Im(f)=IR
 b)D(f)=]0,+[ Im(f)=]–1,0[[2,[
 c)D(f)=IR Im(f)=Z
 d)D(f)=IR–{2} Im(f)=IR–{4}
 e)D(f)=IR+ Im(f)=IR–
 f)D(f)=IR Im(f)=IR+
 g)D(f)=IR Im(f)={1}
 h)D(f)=IR Im(f)=IR–
14) a)t= 10 s b)i)y=1,1.p iii)p= 09109R
11
1200 ,$
 c)






50xsex0801
50x0sex10
xC
,,
,,
)(
 e) i)f(x)=2x2–12x+19 ii)f(-1)=31 f(1)=9
15) 







2
1
S 16)g(x)=2x+h 17)f(5)=7
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
UNUDADE - IV: DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
1- Interpretação geométrica da derivada
 f
 s
 Y Na figura, temos:
 “s” é uma reta secante à curva
 y B
 “t” é uma reta tangente à
 y t curva no ponto A( x0 , y0 )
 A
 y0 C
  x
 
 0 x0 x X
x  incremento da variável x
y  incremento da variável y
x
y

  razão incremental
tan=
x
y

 ( no triângulo retângulo ABC )
Note que, quando x  0, o ponto B tenderá ao ponto A e a reta secante “s” tenderá à
reta tangente t, como conseqüência, o ângulo  tenderá a , e teremos:
A derivada em um ponto:
2- Definição:
 Seja uma função y=f(x) definida num intervalo aberto que contenha “x0” , então a
derivada de f(x) no ponto (x0,f(x0)) quando “x” tende para “x0” será 
0
0
0xx xx
xfxf



)()(lim ,
desde que o limite exista.
 Ou de outra forma:








tanlimlim)(
0
0
0xx0x
0 xx
yy
x
yxf
Notação: y ; )(xf  ; 
dx
dy ; 
dx
df ; 
dx
xdf )( .
Por outro lado, se considerarmos um ponto qualquer “x” com imagem y=f(x)
E outro ponto qualquer com um acréscimo x, ou seja, “x+x”, teremos como imagem
y=f(x+x)
26
Portanto a derivada em qualquer ponto, ou simplesmente, a derivada da função f(x) é dado
por:
x
xfxxfxf
0x 



)()(lim)(
Exemplos:
1)Qual a derivada da função y=2x+1 no ponto (1,3).
Observação:
Da geometria analítica:
 y=ax+b  equação de uma reta com inclinação  então a=tan.
  é o ângulo que a reta faz com o eixo-x.
2)Determinar f ’(x), sendo f(x)=2x-3x.
Observação:
 f ’(x) é uma nova função que leva a cada x0 na tan(inclinação) no ponto (x0,f(x0))
da função f(x).
Exercício 1:
A) Calcule as derivadas nos pontos indicados:
1) y= -x2 no x=1 2) y= x-2 no x=3
3) y= 
2x
1x

 no x= -1 4) y= 4 no x=3
5) f(x)= 






1xse1x2
1xsex 2
,
, no x=1
B) Calcule as derivadas das seguintes funções:
1) y= x3 2)y= x-2 3) y= 2x-3 4)y= 2x 5) y= x
27
Fórmulas de derivação
1) Derivada da função constante:
f(x)=k f ’(x)=0
Dem.:
f ‘(x)=
x
xfxxf
0x 


)()(lim = 
x
kk
0x 


lim = 0
0x
lim = 0
Ex.:
f(x)=5  f ‘(x)=0
2) Derivada da função afim:
f(x)=ax+b f ’(x)=a
Dem.:
f ‘(x)=
x
xfxxf
0x 


)()(lim =
x
baxbxxa
0x 


)(lim =
x
xa
0x 


lim = a
0x
lim = a
Ex.:
f(x)=2x-3  f ‘(x)=2
3) Derivada da função potência:
f(x)=xn f ’(x)=n.xn-1
Ex.:
f(x)=x3  f ‘(x)=3x2
4) Derivada da função:
f(x)=a.xn f ’(x)=a.n.xn-1
Ex.:
f(x)= -2x5  f ‘(x)=-10x4
5) Derivada da função soma algébrica:
f(x)=u(x)+v(x)-w(x) f ’(x)=u ‘(x)+v ‘(x)-w ‘(x)
Ex.:
f(x)= x3-3x2+5x-4  f ‘(x)= 3x2-6x+5
6) Derivada da função produto:
f(x)=u(x).v(x) f ’(x)=u ‘(x).v(x)+u(x).v ‘(x)
Ex.:
f(x)= (x+1).(2x3-4)  f ‘(x)=1.(2x3-4)+(x+1).(6x2)
 f ‘(x)=2x3-4+6x3+6x2
 f ‘(x)=8x3+6x2-4
7) Derivada da função quociente:
f(x)=
)(
)(
xv
xu f ’(x)=
  2xv
xvxuxvxu )().()().( 
28
Ex.:
f(x)= 
22 x
1
1x
2x4


  f ‘(x)=      
   22
2
22
2
x
x21x0
1x
2x4x21x4 .... 



 f ‘(x)= 
  422
22
x
x2
1x
x4x84x4 



 f ‘(x)= 
  422
2
x
x2
1x
4x4x4



 f ‘(x)= 
  322
2
x
2
1x
1xx4


 ).(
Derivada da função composta
 Se y=f(u), u=g(x) e as duas derivadas 
du
dy e 
dx
du existem, então a função composta
definida por y=f(g(x)) tem derivada dada por:
dx
du
du
dy
dx
dy . , ou:
dx
dg.
dg
df
dx
dy
 , ou:
   )().( xguf
dx
xgfd 
Exemplos:
a)Dada a função 
3
1x3
1x2y 







 , calcular 
dx
dy .
Façamos y=f(z)=z3 ( função potência) e z=g(x)=
1x3
1x2

 ( função quociente) então:
y=f(g(x))=
3
1x3
1x2







 que é a composta de g e f.
Portanto: 
dx
dz
dz
dy
dx
dy .
y=z3  
2
2
1x3
1x23z3
dz
dy








 .
z=
1x3
1x2

     
 21x3
31x21x32
dx
dz



.. =
 213
3626


x
xx =
 213
5


x
Daí, temos que:
 2
2
13
5
13
123











xx
x
dx
dy ..
29
b) Dada a função  3 223 1x5x4x2y  , calcular 
dx
dy .
Continuação das fórmulas de derivação
8) Derivada da função exponecial:
f(x)=au(x) f ‘(x)=au(x).lna.u‘(x)
Ex.:
x32x2xf )(
9) Caso particular da função exponencial (base “e”)
f(x)=eu(x) f `(x)=eu(x).u`(x)
Ex.:
f(x)=e2x-1
10) Derivada da função logarítmica
f(x)= )(log xua 
a
e
xu
xuxf log.
)(
)()(

 =
axu
xu
ln).(
)(
Ex.:
f(x)=log(x2-2x+1)
11) Caso particular da função logarítmica( base “e”  neperiano)
f(x)= )(ln xu 
)(
)()(
xu
xuxf


Ex.:







 

x
1xxf
2
ln)(
12) Derivadada função:
f(x)=[u(x)]v(x) f `(x)=v(x).[u(x)]v(x)-1.u`(x)+[u(x)]v(x).ln[u(x)].v`(x)
Ex.:
f(x)=(2x-1)3x
Funções trigonométricas
13) Derivada da função seno:
f(x)=sen[u(x)] f `(x)=cos[u(x)].u`(x)
Ex.:
f(x)=sen(2x+1)
30
14) Derivada da função cosseno:
f(x)=cos[u(x)] f `(x)=-sen[u(x)].u`(x)
Ex.:
f(x)=cosx.senx
15) Derivada da função tangente:
f(x)=tan[u(x)] f `(x)=sec2[u(x)].u`(x)
Ex.:
f(x)= 1x tan
16) Derivada da função arcseno ou sen-1:
f(x)=arcsen[u(x)] )(.
)]([
)( xu
xu1
1xf
2



Ex.:
f(x)=sen-1(3x-1)
Exercício 2:
Determine a derivada das seguintes funções:
1) 
7
8xf )( 2) 
2
1x
3
5xf )( 3) f(x)=x5
4) f(x)= 3 2x 5) 
3x
1xf )( 6) 
3 x
3xf )(
7) f(x)=x3-x2+x-4 8) f(x)=x-x7+5x6-1 9) 
3
2
x
3
x
1x2xf )(
10) f(x)=(x+1).(2x2-4) 11) f(x)= 2x.(x2+4x).(3x4+2x3) 12) 
x
1xf )(
13) 
2x
1
1x
x2xf 

)( 14) 
x
x
1x
2x4xf
2



)( 15) 1x2xf )(
16) f(x)=(4x+5)3.(3x2-x+1)2 17) f(x)=e2x 18) f(x)= x
1
e
19) f(x)= 1xx2e  20) f(x)= x5
2x3  21) f(x)= 1x
12x
10 

22) f(x)=  1x 2 ln 23) f(x)=







  
2
ee xxln 24) f(x)=  1xx 2 log
25) f(x)= x
2
5log 26) f(x)=
x2
xxe 




 27) f(x)=sen(5x2+3x+2)
31
28) f(x)= 53 x4sen 29) f(x)=   1x 234 senln 30) f(x)=cos3(x2+2x)
31) f(x)= 






 x
2
cos 32) f(x)=tan2x 33) f(x)=tan32x
34) f(x)= x2tanln 35) f(x)=  x2cotln 36) f(x)=   xx cotsen
37) f(x)= x3x2 2cot.csc 38) f(x)=
2xe csc 39) f(x)=arcsen(1+x)
40) f(x)= 





x
1arccos 41) f(x)=arccos(1-2x) 42) f(x)=arctan5x
43) f(x)=arccot4x2 44) f(x)=arcsecx2 45) f(x)=arccsc(lnx)
Derivadas sucessivas
Seja f(x)=2x4. Qual a 6a derivada desta f(x)?
1a derivada: 3x8y
dx
dy

2a derivada: 2
2
2
x24y
dx
yd

3a derivada: x48y
dx
yd
3
3

4a derivada: 48y
dx
yd iv
4
4

5a derivada: 0y
dx
yd v
5
5

6a derivada: 0y
dx
yd vi
6
6

De uma forma geral:












1n
1n
n
n
dx
yd
dx
yd   1nn yy
Derivada da função implícita F(x,y)=0
 Dada a função implícita 02yyxx 223  , determine xydx
dy  e yxdy
dx
 .
32
Exercício 3:
A) Calcular as derivadas sucessivas até a ordem “n” indicada:
1) x2x3y 4  ; n=5 2) dcxbxaxxfy 23  )( ; n=3
3) 52 x4x23y  ; n=10 4) 2x3y  ; n=2
5) 
1x
1y

 ; n=4 6) 1x2ey  ; n=3
7) 
xe
1y  ; n=4 8) x2y ln ; n=2
9) )sen(axy  ; n=7 10) 
2
x2y cos ; n=5
B) Dadas as funções implícitas, calcule as derivadas indicadas:
1) x
3 23 23 2 yayx 
2) xx
y
yaex 

ln
3) yxy
xxy  arctan
4)   y22 xyx2
1
x
y  lnarctan
5) x
xy yyx 
6) xx
3 23 23 2 yayx 
Exercícios complementares:
A) Determine a derivada das seguintes funções:
1) f(x)=3x 2) 1x2xf  .)( 3) f(x)=x-2 4) 2
1
xxf )(
5) f(x)=5x3 6) x2xf )( 7) 
4x
5xf )( 8) f(x)= -10x –4
9) f(x)=4x3-5x2-7x+2 10) f(x)=(x+1).(x3+2x) 11) f(x)=x.(x2+1)
12) f(x)=(3x2+4x-2).(-x3+4x2) 13) f(x)=(x+1).(x2+2x).(x3+3x2+4)
14) 2x
3x2
xxf 

)( 15) 
xx
xxxf


)( 16) f(x)=(4x3-5x2+7x)3
17) f(x)=(x2+1).(2x+3)2.(-3x+2)3 18) 
 2
3 23
2x5
xx4xf


)( 19) x3
2xexf )(
33
20) x
1
exf )( 21) 
3 x22xe
1xf

)( 22) f(x)=2x 23) 
x
2
1xf 





)(
24)   x2xf )( 25) 
x
1xf ln)(  26) 
1x
1xxf


 ln)( 27) xxexf )(
28) f(x)=logx 29) 
2x5
4x2xf
3
1 

 log)( 30)  1xxf 2
2x
 log)(
31) 3 2 x3xf sen)(  32) 
2x3exf sen)(  33) x5xf cosln)( 
34) x4x3xf 33 cos.sen)(  35) 
x4
x3xf
cos
sen)(  36) x4exf tan)( 
37) x3x4xf tan.tan)(  38)  3x2xxf 23  cot)( 39) 3 x3xf cot)( 
40)  2x
1xf
cotln
)(  41)  x3x5xf 2  sec)( 42) x2xf 3sec)( 
43)  x2xf 2secln)(  44) x
1
exf
sec
)(  45) xxexf tan.sec)( 
46) f(x)=csc5x3 47) f(x)=ln cscx2 48) 
3xexf csc)( 
49)    1xxx21xxf 2  arcsen)( 50) 
2
x2xf arcsen)( 
51) f(x)=arccos(cos3x) 52) 
x
1xf arctan)(  53) 
2xexf arctan)( 
54) f(x)= 




 
x
1arccot 55) f(x)=tan(arccot2x) 56)   2xarcxf secsec)( 
57) f(x)=arcsec(lnx) 58) f(x)=arcsec(sec5x) 59) f(x)=sec(arcsecx)
60) f(x)=arccsc(ex)
Aplicações da derivada
1)Taxa de variação
 Seja y=f(x) um função, então a taxa instantânea de variação de y em relação a x em a
é dada por f ‘(a).
 Uma das taxas instantânea de variação é a velocidade instantânea.
Exemplo:
 De um balão a 150m acima do solo, deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se a
resistência de ar, a distância s(t) do solo ao saco de areia em queda, após t segundos, é dado
por s(t)=-4,9t2+150. Determinar a velocidade do saco de areia.
a) quando t=a segundos; Va=-9,8.a m/s
b) quando t=2 segundos; V2=-19,6 m/s
c) no instante em que ele toca o solo. Vf(5,53)=54,194 m/s
34
2)Reta tangente
 O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto (a,f(a)) é f ‘(a).
1a) Equação de uma reta que passa por dois pontos cujo coeficiente angular é m.
   




pontos1yx
angularecoeficientm
00 ,
   00 xxmyy  .
2a) Equação da reta tangente à uma curva y=f(x) no ponto (x0,y0).
 





)(tan
)(
0t
0t0
xfm
xxmyy
   000 xxxfyy  ).(
3a) Normal à curva y=f(x) é uma reta perpendicular à reta tangente no ponto (x0,y0).
 










)(
.
)(
0t
NtN
0t0
xf
1
m
1m1mm
xxmyy
   0
0
0 xxxf
1yy 


 .
)(
Exemplo:
Qual a equação da tangente e da normal à curva y=x2-4 no ponto:
a) (3,5) b) onde x=0 c) (-2,0)
Exercício 4:
1)Determinar o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação no ponto P.
Estabelecer a equação da tangente em P. Esboce o gráfico da curva e da tangente em P.
a) xy  em P(4,2) b) 3 xy  em P(-8,-2)
c) 
x
1y  em P(2,
2
1 ) d) 
2x
1y  em P(2,
41 )
2) Determine o ponto em que o coeficiente angular da tangente é m. Esboce o gráfico da
curva e da tangente.
a) y=x2 em m=6 b) y=x3 em m=9
3)Achar as equações da reta tangente e normal à curva.
a) 
x
4y  no ponto x=2 b) x49y  no ponto x=2
c) 3 10xy  no ponto x=2 d) xy6x4y 44  no ponto (1,2)
4)Qual a equação da reta tangente à curva 13x4y  que é perpendicular à reta
x+2y-11=0.
35
Máximos e mínimos e estudo do crescimento de uma função
 Seja uma função f definida em um intervalo I, e seja x1 e x2 quaisquer números em I,
tais que x1 < x2, então:
i) f é crescente em I se f(x1)f(x2) ii) f é estritamente crescente em I se
 f(x1)<f(x2)
Y Y
 f(x2) f(x2)
 f(x1) f(x1)
 x1 x2 X
 x1 x2 X
iii) f é decrescente em I se f(x1)f(x2) iv) f é estritamente decrescente em I se
 f(x1)>f(x2)
Y Y
 f(x1) f(x1)
 f(x2) f(x2)
 x1 x2 X
 x1 x2 X
v) f é constante em I se f(x1)=f(x2)
 Y
 f(x1)=f(x2)
 x1 x2 X
 Seja f(x) definida e contínua em um intervalo [a,b].
 Seja f(x) diferenciável em todos os pontos de (a,b).
Se f ‘(x)>0 então f(x) é estritamente crescente.
Se f ‘(x)<0 então f(x) é estritamente decrescente.
Observação:
 Para determinarmos os intervalos [a,b] precisamos achar os valores de “c”(
pontos críticos)
Ponto crítico:
 Um número “c” no domínio de uma função f é ponto crítico de f se f ‘( c ) = 0,
 ou f ‘( c ) não existe ou é infinita.
Exemplos:
Estudar o crescimento das funções:
1) y=x2-2x 2) 
x
1xy 
36
Exercício 5:
Estudar o crescimento das funções:
1) 11x12xy 3  2) 
2x
3xy  3) xx2y  4) 
2x
1y 
Teste da derivada primeira
 Seja “c” um número crítico de f, e suponhamos f contínua em “c” e diferenciável em
um intervalo aberto I contendo “c”, exceto possivelmente no próprio “c”.
(i) Se f ‘ passa de positivo para negativo em “c”, então f( c ) é máximo local de f.
(ii) Se f ‘ passa de negativo para positivo em “c”, então f( c ) é mínimo local de f.
(iii) Se f ‘(x)>0 ou se f ‘(x)<0 para todo x em I, exceto x=c, então f( c ) não é extremo
local de f.
Observação:
1o) Máximo absoluto de uma função é a maior imagem de uma função, se existir.
2o) Mínimo absoluto de uma função é a menor imagem de uma função, se existir.
Exemplo( 1 e 2 anterior):
Determine os extremos locais de f:
1) f(x)=x2-2x 2) 
x
1xxf )(
Exercício 6:
Determine os extremos locais de f:
1) f(x)=x3-12x+11 2) 
2x
3xxf )( 3) xx2xf )( 4) 
2x
1xf )(
Concavidade e o teste da derivada Segunda
Concavidade
 Se f for diferenciável em um intervalo aberto I. O gráfico de f é:
(i) Côncava para cima em I se f ‘ é crescente em I.
(ii) Côncava para baixo em I se f ‘ é decrescente em I.
Teste da concavidade
 Se a derivada Segunda f ‘’ de f existe em um intervalo aberto I, então o gráfico de f
é:
(i) Côncava para cima em I se f ‘‘(x)>0 em I.
(ii) Côncava para baixo em I se f ‘‘(x)<0 em I.
Exemplo:
Se f(x)=x3+x2-5x-5, determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou
côncavo para baixo.
37
Ponto de inflexão:
 Um ponto (c,f( c )) do gráfico de f é um ponto de inflexão se são verificadas as duas
condições:
(i) f é contínua em c.
(ii) Existe um intervalo (a,b) contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em (a,c)
e côncavo para baixo em (c,b), ou vice-versa.
Teste da derivada Segunda
 Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c, e f ‘( c )=0:
(i) Se f ‘’( c )<0, então f tem máximo local em c.
(ii) Se f ‘’( c )>0, então f tem mínimo local em c.
Exemplo:
Se f(x)=12+2x2-x4, use o teste da derivada segunda para determinar os extremos locais de f.
Discuta a concavidade, ache os pontos de inflexão e esboce o gráfico de f.
Exercício 7:
(i) Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo para
baixo.
(ii) Use o teste da derivada Segunda para determinar os extremos locais de f.
(iii) Ache os pontos de inflexão.
(iv) Esboce o gráfico de f.
1) f(x)=x3-12x+11 2) 
2x
3xxf )( 3) xx2xf )( 4) 
2x
1xf )(
Exercícios complementares 2:
1) Determinar:
(i) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
(ii) Os extremos locais de f.
(iii) Os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo.
2) Esboce o gráfico das funções:
a) f(x)=x3-2x2+x+1 b) f(x)=3x4-4x3+6 c) f(x)=2x6-6x4
d) f(x)=(x2-1)2 e) 1xxf 5 )( f) f(x)=
3x
5x2


g) f(x)=
 28x
x3

 h) f(x)=
x
1
ln
 i) f(x)= x
1
e
j) f(x)= xx l) f(x)=cosx+senx m) f(x)= xx
2
1 sen. 
n) f(x)=2cosx+sen2x o) f(x)=
2
xsec p) f(x)=2tanx-tan2x
38
Teorema de Lagrange( Valor médio)
 Seja f(x) uma função Y f s t
 definida e contínua em [a,b] f(b)
 e diferenciável em (a,b),
 então existe c (a,b) tal que: t  s
 f(c)
ab
afbfcf



)()(tan)( f(a)  
 a c b X
Exemplo:
Seja f(x)=x2-2x definida em [-1,2]. Verificar a existência c tal que 
ab
afbfcf



)()()( ( ou
verificar o teorema do valor médio).
Teorema de Rolle
 Seja f(x) uma função definida e contínua em [a,b] e derivável em (a,b), se f(b)=f(a)
então existe c(a,b) tal que f ‘( c ) = 0.
Em outras palavras, existe pelo menos um ponto número crítico “c” no intervalo (a.,b).
Exercício 8:
 Determinar c(a,b) tal que verifique o teorema de Lagrange ou Rolle:
a) f(x)=
x
1 em [1,2] b)f(x)=
1x
2

 em [0,3]
c) f(x)= 3 2x em [–1,1] d) f(x)=cos2x em [0,]
e) f(x)=tanx em [0,] f) f(x)=x2–3x+2 em [1,2]
g) f(x)= – x2+4 em [–1,1]
Teorema de Cauchy
 Seja f(x) e g(x) duas funções contínuas em [a,b], deriváveis em (a,b) e g ‘(x)0
x(a,b), então existe c(a,b) tal que:
)()(
)()(
)(
)(
agbg
afbf
cg
cf





Exemplo:
 Seja f(x)=x3–2 e g(x)=x2–1 definidas em [0,3]. Mostre existe c(0,3)tal que
verifica o teorema de Cauchy.
39
Regra de L’Hospital
 Seja duas funções f(x) e g(x) que satisfazem o teorema de Cauchy e f(a)=g(a)=0.
 Se 
)(
)(lim
xg
xf
ax 


 existe então 
)(
)(lim
xg
xf
ax
 existe e,
)(
)(lim
xg
xf
ax
=
)(
)(lim
xg
xf
ax 


=
)(
)(lim
xg
xf
ax 


=...
Exemplos:
Calcule os limites por L’Hospital:
1)
x
x1
0x
)ln(lim 

O teorema de L’Hospital também resolve indeterminações como 

 ou  - .
2)
2x x
x2lnlim

3) 
x
1
1x
x
1x ln
lim 

Exercício 9:
Calcular os limites:
1) 
)ln(
senlim
y1
1ye y
0y 


 2) 
)ln(sen
)ln(senlim
x
x3
0x
3) 





 ayy e
ylim 4) 
x
x
x
1
1x lnln
lim 

5)  xx
2
x
tanseclim 


40
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS:
Ex .1:
A) 1)f ‘(1)= –2 2) f ‘(3)=
27
2 3) f ‘(-1)=
3
1 4)f ‘(3)=0 5) f ‘(1)=2
B) 1) y ‘=3x2 2) y ‘= -2x-3 3) y ‘=2 4) y ‘=ln2.2x 5) y ‘=
x2
1
Ex. 2:
1) y ‘=0 2) y ‘= 
3
5 3) y ‘=5x4 4) y ‘= 33
2
x
 5) y ‘= 4
3
x
 6) y ‘= 3
1
xx

7) y ‘=3x2-2x+1 8) y ‘=1-7x6+30x5 9) y ‘= 42
914
xx
x  10) y ‘=6x2+4x-4
11)y ‘=42x6+168x5+80x4 12) y ‘=
2x
1 13) y ‘=
  32
23
x1x
1x2xx2

 )(
14) y ‘=  
  x2
1
1x
1xx4
22
2


 15) y ‘=
1x2
1

16) y ‘=2(3x2-x+1)(42x2+20x+1)(4x+5)2 17) y ‘=2e2x 18) y ‘=
2
x
1
x
e
19) y ‘= 1xx2e
1x
2x3 

 . 20) y ‘= x5
2x35x23  ).).(ln(
21) y ‘=
 
1x
12x
2
2
10
1x
1x2x10 


 .).ln( 22) y ‘=
1x
x2
2 
 23) y ‘=
xx
xx
ee
ee




24) y ‘=
)).(ln( 1xx10
1x2
2 
 25) y ‘=
2
5log 26) y ‘=    1x2xxe xx ln.
27) y ‘=(10x+3).cos(5x2+3x+2) 28) y ‘= 5524 x4x4x60 cos.sen.
29) y ‘=     1x1xx24 2332  senln.cot. 30) y ‘=-3.(2x+2).sen(x2+2x).cos2(x2+2x)
31) y ‘= 






 x
2
sen 32) y ‘=2sec22x 33) y ‘=6.sec22x.tan22x
34) y ‘=
x2x2
1
sen.cos
 35) y ‘=
 x2x2x2
1
cotln.sen.cos

36) y ‘=   x22 xxxx cot)sen(.senlncsccot 
37) y ‘=-2.csc2x.cot2x.cot23x–6.csc2x.cot3x.csc23x
41
38) y ‘=
2x22 exxx csc.cot.csc. 39) y ‘=
2xx2
1

40) y ‘=
2
2
x
11x
1

 41) y ‘=
2xx
1

 42) y ‘=
2x251
5

 43) y ‘=
4x161
x8


44) y ‘=
1xx
2
4 
 45) y ‘=
x
11xx
1
2
2
ln
.ln. 
 =
1xxx
1
2 

ln.ln.
Ex. 3:
A) 1) 0yV  2) a6y  3) 0yX  4) 
  22 x3x3
3y



5) 
 5
IV
1x
24y

 6) 1x2e8y  7) 
x
IV
e
1y  8) 
2x
1y 
9) )sen(axay 7 10) 
2
x
16
1yV sen
B) 1) 
2
2
x
y
xy  2) x
y
x ex
yy  3) 
 
 1yxy
1yxxx
22
22
y



.
.
4) 
yx
yxx y 

 5)  
 1yx
xyyy
y
xx
xyyyx 





ln
ln
ln
ln 6) 3
4
2
xx
yx
a
3
1y
.

Exercícios complementares 1:
1) y ‘=3 2)y ‘= 2 3) y ‘=-2x-3 4) y ‘=
x2
1 5) y ‘=15x2 6) y ‘=
x
1
7) y ‘=
5x
20 8) y ‘=
5x
40 9) y ‘= 7x10x12 2  10) y ‘=4x3+3x2+4x+2
11) y ‘=3x2+1 12) y ‘=-15x4+32x3+54x2-16x 13) y ‘=6x5+30x4+44x3+30x2+24x+8
14) y ‘=
 23x2x2
3x2x2


 15) y ‘=
 2xx
x

 16) y ‘=3x2.(4x2-5x+7)2.(12x2-10x+7)
17) y ‘= - (2x+3).(42x3+29x2+18x+19).(3x-2)2 18) y ‘=  
   33 2
2
2x51x4x3
1xx154


...
.
42
19) y ‘=  




 

x32x
e3x2 20) y ‘=
2
x
1
x
e 21) y ‘=
3 x22x
e3
2x2




 

.
22) y ‘=2x.ln(2) 23) y ‘=
x2
2
12
x
.
.ln 





 24) y ‘=  
x4
22
x
.
.ln
25) y ‘=
x
1 26) y ‘=
1x
2
2 
 27) y ‘=  
x2
1xex 
28) y ‘=
x10
1
).ln(
 29) y ‘=
   2x2x53
8
 .).ln(
30) y ‘=  
 
xx
1x
x1x
x
2
2x
2 ln.
log
ln.



 ou y ‘=
   
  x1xx
1x1xx
2
2
2x
22
ln..
log.


31) y ‘=
3 x3
x32
sen
cos. 32) y ‘=
232226 xexxx sen.cos.sen.
33) y ‘=-5tan5x 34) y ‘=9sen23x.cos34x.cos3x-12sen33x.cos24x.sen4x
35) y ‘=
x
xxxx
4
434433
2cos
sen.sencos.cos.  36) y ‘= xex 42 44 tan.sec.
37) y ‘=4.sec24x.tan3x+3.tan4x.sec23x 38) y ‘= - (3x2+4x).csc2(x3+2x2+3)
39) y ‘=
3 2
2
x3
x3
cot
csc 40) y ‘=
222
22
xx
x2
cot).(cotln
csc
41) y’=(10x+3).sec(5x2+3x).tan(5x2+3x) 42) y ‘=6.sec32x.tan2x 43) y ‘=4tan2x
44) y ’=
2
x
1
x
e
x
1
x
1 

















sec
.tan.sec
 45) y ‘=    
x
ex1
3
xx2
cos
.sen tan.sec
46) y ‘=-15x2.csc5x3.cot5x3 47) y ‘=-2x.cotx2 48) y ‘=
3x332 exxx3 csc.cot.csc. 
49) y ‘=
x2x
12x6x3
2
2

 50) y ‘=
x2x
1
2 
51) y ‘=
x31
x33
2cos
sen

 52) y ‘=
 1xx2
1

 53) y ‘=
2x2
2x
e1
ex2

.
54) y ‘=
1x
1
2 
 55) y ‘=
2x2
1 56) y ‘=
x1
xxarc2
2cos
sen).sec(sec.

43
57) y ‘=
x
11xx
1
2
2
ln
.ln. 
 58) y ‘=
x51
x55
2cos
sen.

59) y ‘=1 60) y ‘=
1e
1
x2 

Ex. 4:
1) a) y=
4
1 x+1 b) y=
3
4
12
x
 c) y=
4
1 x+1 d) y=
4
1 x+1
2) a) P( 3 , 9 ) b) P( 333 , ) e P( 333  , )
3) a) T: y=-x+4 e N: y=x b) T: y= -2x+5 e N: y=
2
x
 c) T: y=
6
13
12
x
 e N: y= –12x+22 d) T: y=
13
12x
13
14
 e N: y=
14
41x
14
13


4) y=2x-2
Ex. 5:
1) x(-,-2)(2,+) a função é estritamente crescente.
 x(-,-2][2,+) a função é crescente.
 x(-2,2) a função é estritamente decrescente.
 x[-2,2] a função é decrescente.
2) x(-,0)( 3 6 ,+) a função é estritamente crescente.
 x(-,0)[ 3 6 ,+) a função é crescente.
 x(0, 3 6 ) a função é estritamente decrescente.
 x(0,2 3 6 ] a função é decrescente.
3) x(0,1) a função é estritamente crescente.
 x(0,1] a função é crescente.
 x(1,+) a função é estritamente decrescente.
 x[1,+) a função é decrescente.
4) x(-,0) a função é estritamente crescente.
 x(0,+) a função é estritamente decrescente.
44
Ex. 6:
1) f(-2)=27 é máximo local de f.
f(2)=-5 é mínimo local de f.
2) f( 3 6 )= 3 6
2
3 é mínimo local de f.
3) f(1)=1 é máximo local de f.
4) f não tem extremo local.
Ex. 7:
1) i) x(-,0) o gráfico de f é côncava para baixo.
 x(0,+) o gráfico de f é côncava para cima.
ii) idem Ex. 6.
iii) (0,f(0))=(0,11) é ponto de inflexão do gráfico de f.
2) i) x(-,0)(0,+) o gráfico de f é côncava para cima.
ii) idem Ex. 6.
iii) O gráfico de f não tem ponto de inflexão.
3) i) x (0,+) o gráfico de f é côncava para baixo.
ii) idem Ex.6.
iii) O gráfico de f não tem ponto de inflexão.
4) i) x(-,0)(0,+) o gráfico de f é côncava para cima.
iv) idem Ex. 6.
v) O gráfico de f não tem ponto de inflexão.
Exercícios complementares 2 :
a) i) x(-,
3
1 )(1,+) a função é estritamente crescente.
 x(-,
3
1 ][1,+) a função é crescente.
 x(
3
1 ,1) a função é estritamente decrescente.
 x[
3
1 ,1] a função é decrescente.
ii) (
3
1 ,
27
31 ) é máximo local.
 (1,1) é mínimo local.
iii) x(-,
3
2 ) o gráfico de f é côncavo para baixo.
 x(
3
2 ,+) o gráfico de f é côncavo para cima.
45
b) i) x(-,0)(0,1) a função é estritamente crescente.
 x(-,1] a função é crescente.
 x(1,+) a função é estritamente decrescente.
 x[1,+) a função é decrescente.
ii) (1,5) é mínimo local.
iii) x(-,0)(
3
2 ,+) o gráfico de f é côncavo para cima.
 x(0,
3
2 ) o gráfico de f é côncavo para baixo.
c) i) x(-,- 2 )(0, 2 ) a função é estritamente decrescente.
 x(-,- 2 ][0, 2 ] a função é decrescente.
 x( 2 ,0)( 2 ,+) a função é estritamente crescente.
 x[ 2 ,0][ 2 ,+) a função é crescente.
ii) (0,0) é máximo local.
 ( 2 ,-8) e ( 2 ,-8) são mínimos locais.
iii) x(-,
4
23 )(
4
23 ,+) o gráfico de f é côncavo para cima.
 x(
4
23 ,
4
23 ) o gráfico de f é côncavo para baixo.
d) i) x(-,-1)(0,1) a função é estritamente decrescente.
 x(-,-1][0,1] a função é decrescente.
 x(-1,0)(1,+) a função é estritamente crescente.
 x[-1,0][1,+) a função é crescente.
ii) (0,1) é máximo local.
 (-1,0) e (1,0) são mínimos locais.
iii) x(-,
3
3 )(
3
3 ,+) o gráfico de f é côncavo para cima.
 x(
3
3 ,
3
3 ) o gráfico de f é côncavo para baixo.
e) i) xIR a função é estritamente crescente.
 ii) Não tem nem máximo, nem mínimo local.
 iii) x(-,0) o gráfico de f é côncavo para cima.
 x(0,+) o gráfico de f é côncavo para baixo.
f) i) x(-,-3)(-3,+) a função é estritamente decrescente.
 ii) Não tem nem máximo, nem mínimo local.
 iii) x(-,-3) o gráfico de f é côncavo para cima.
 x(-3,+) o gráfico de f é côncavo para baixo.
46
g) i) x(-,-8)(8,+) a função é estritamente decrescente.
 x(-,-8)[8,+] a função é decrescente.
 x(-8,8) a função é estritamente crescente.
 x(-8,8] a função é crescente.
ii) (8,
32
3 ) é máximo local.
iii) x(-,-8)(-8,16) o gráfico de f é côncavo para baixo.
 x(16,+) o gráfico de f é côncavo para cima.
h) i) x(0,1)(1,+) a função é estritamente decrescente.
 ii) Não tem extremos.
iii) x(0,e-2)(1,+) o gráfico de f é côncavo para cima.
 x(e-2,1) o gráfico de f é côncavo para baixo.
i) i) xIR* a função é estritamente decrescente.
 ii) Não tem extremos.
 iii) x(
2
1 ,0)(0,+) o gráfico de f é côncavo para cima.
 x(,
2
1 ) o gráfico de f é côncavo para baixo.
j) i) x(0,e–1) a função é estritamente decrescente.
 x(0,e-1] a função é decrescente.
 x(e–1,+) a função é estritamente crescente.
 x[e–1,+) a função é crescente.
ii) (e1,
1ee
1

) é mínimo local.
iii) x(0,+) o gráfico de f é côncavo para cima.
l) i) x(
4
k2  ,
4
5k2  ), onde kZ, a função é estritamente decrescente.
 x[
4
k2  ,
4
5k2  ], onde kZ, a função é decrescente.
 x(
4
5k2  ,
4
9k2  ), onde kZ, a função é estritamente crescente.
 x [
4
5k2  ,
4
9k2  ], onde kZ, a função é crescente.
ii) (
4
k2  , 2 ) são máximos locais.
 (
4
5k2  , 2 ) são mínimos locais.
47
iii) x(
4
k2  ,
4
3k2  ), onde kZ, o gráfico de f é côncavo para baixo.
 x(
4
3k2  ,
4
7k2  ), onde kZ, o gráfico de f é côncavo para cima.
m) i) x(
3
k2  ,
3
k2  ), onde kZ, a função é estritamente decrescente.
 x[
3
k2  ,
3
k2  ], onde kZ, a função é decrescente.
 x(
3
k2  ,
3
5k2  ), onde kZ, a função é estritamente crescente.
 x [
3
k2  ,
3
5k2  ], onde kZ, a função é crescente.
ii) (
3
5k2  ,
2
3
6
5k  ), onde kZ, são máximos locais.
 (
3
k2  ,
2
3
6
5k  ), onde kZ, são mínimos locais.
iii) x( k2 , k2 ), onde kZ, o gráfico de f é côncavo para cima.
 x( k2 ,  2k2 ), onde kZ, o gráfico de f é côncavo para baixo.
n i) x(
6
k2  ,
6
5k2  ), onde kZ, a função é estritamente decrescente.
 x[
6
k2  ,
6
5k2  ], onde kZ, a função é decrescente.
 x(
6
5k2  ,
2
3k2  )(
2
3k2  ,
6
13k2  ), onde kZ, a função é
estritamente crescente.
 x[
6
5k2  ,
2
3k2  ][
2
3k2  ,
6
13k2  ], onde kZ, a função é crescente.
ii) (
6
k2  ,
2
33 ) são máximos locais.
 (
6
5k2  ,
2
33 ) são mínimos locais.
iii) x 










 



4
1k2
2
k2 arcsen,  










 



4
1k2
2
3k2 arcsen, , onde kZ,
o gráfico de f é côncavo para cima.
 x 




 





 

2
3k2
4
1k2 ,arcsen  




 





 

2
5k2
4
13k2 ,arcsen , onde kZ,
o gráfico de f é côncavo para baixo.
48
o) i) x(  2k4 ,  3k4 )(  3k4 ,  4k4 ), onde kZ, a função é estritamente
decrescente.
 x[  2k4 ,  3k4 )(  3k4 ,  4k4 ], onde kZ, a função é decrescente.
 x( k4 , k4 )( k4 ,  2k4 ), onde kZ, a função é estritamente
crescente.
 x[ k4 , k4 )( k4 ,  2k4 ], onde kZ, a função é crescente.
ii) ( k4 ,1) é máximo local.
 (  2k4 ,-1) é mínimo local.
iii) x( k4 , k4 ), onde kZ, o gráfico de f é côncavo para cima.
 x ( k4 ,  3k4 ), onde kZ, o gráfico de f é côncavo para baixo.
p) i) x(
4
k  ,
2
k  ), onde kZ, a função é estritamente decrescente.
 x[
4
k  ,
2
k  ), onde kZ, a função é decrescente.
 x(
2
k  ,
4
5k  ), onde kZ, a função é estritamente crescente.
 x(
2
k  ,
4
5k  ], onde kZ, a função é crescente.
ii) (
4
k  ,1) é máximo local.
iii) x(
2
k  ,
2
k  ), onde kZ, o gráfico de f é côncavo para baixo.
Ex. 8:
a) c= 2 b) c=1 c) Não é derivável em x=0. d) c=/2
e) A função não é definida em x=
2
 f) c=
2
3 g) c=0
Ex. 9:
1) 2 2) 1 3) 0 4) –1 5)0
49
UNIDADE V: INTEGRAL
01- Diferenciais
Seja f ‘(x) a derivada de uma função f(x) de IR em IR:
 f
 t
 f(x+x)
 y dy=f ’(x).x
 f(x) P
 x
 x (x+x) X
dy e dx são chamados de diferenciais
As diferenciais dy e dx de um ponto ‘P’ sobre uma curva y=f(x) são as variações de ‘y’ e
‘x’, respectivamente, sobre a reta tangente.
dx
dy
x
y
xf
0x





lim)(
x = dx e y  dy, ou de outra forma f(x0+x)  f(x0) + f ‘(x0).x.
Então dy e dx estão relacionadas por dy = f ‘(x)dx.
dy = f ‘(x0)dx é chamado de diferencial de uma função f no ponto x0.
dy = f ‘(x)dx é a diferencial da função f.
Exemplos:
1)Calculara diferencial da função f dada por f(x)=4x2+2x+1.
2)Sabendo-se que 






t2tx
2t5t2y
2
2
 , calcular 
dx
dy .
3)Utilizando o conceito de diferencial calcular o valor de (3,0001)2.
Exercício 1:
1)Calcular dy nas seguintes funções:
a)   2x2 e1xx2y  b) x2y sen c)  x3y tanln d)
2x
1y  e) x2y sen
2)calcular 
dx
dy nas seguintes funções:
a)





tx
ty
cos
sen
 b)





ey
2x cos
 c)





2ty
1t5x
 d)





2y
x
tan
arctan
3) Utilizando o conceito de diferencial calcular:
a) 164, b)(1,01)4 c)    35 003100312 ,, 
50
2-Primitiva ou Antiderivada
Definição:
Uma função g(x) é dita primitiva de uma f(x) em um intervalo I, se )()( xfxg  para todo
x em I.
Verificar se 
3
xxg
3
)( é uma primitiva de f(x)=x2.
)()( xfx
3
x3xg 2
2

)(xg é primitiva de f(x).
Exercício 2:
Verificar se g(x) é uma primitiva de f(x).
a) g(x)=lnx e 
x
1xf )(
b) x2xg )( e 
x22
1xf )(
c) x2exg )( e 
x2e
2xf )(
Teorema:
Seja F uma antiderivada de f em um intervalo I . Se G é uma outra antiderivada de f em I,
então CxFxG  )()( para alguma constante C e todo x em I.
Definição:
  cxFdxxf )()( , onde )()( xfxF  e C é uma constante arbitrária denota a família de
todas as antiderivadas de f(x) em um intervalo I.
Observações:
  símbolo ou sinal de integral (soma)
 dxxf )(  integral indefinida
f(x)dx  elemento de integração ou integrando.
f(x)  função integrada.
dx  diferencial da integração.
x  variável de integração.
C  constante de integração.
51
Propriedades:
Sejam f(x) e g(x) duas funções diferenciáveis e que tenham uma antiderivada em algum
intervalo I . Então:
1) (i)    Cxfdxxf )()(
(ii)   )()( xfdxxf 
2) (i)   dxxfCdxxfC )()(
(ii)     dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Observamos que os operadores , derivação e integração não são operadores inversos, mas
sim podemos dizer, que existe um processo inverso entre esses operadores.
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
1 - Integração Imediata:
Através da tabela de derivadas podemos verificar algumas fórmulas imediatas de integrais.
TABELA DE DERIVADAS TABELA DE INTEGRAIS
01) du.0dycy  =0 01)   Cdu0
06) du.1dyuy  =du 06)   Cudu
06) duundyuy 1nn   06)  

1n
uduu
1n
n )( 1n 
07) duedyey uu  07)   Cedue uu
08) duuayd1a0aay uu  ln),( 08)   Ca
adua
u
u
ln
09)
u
dudyuy  ln 09)   Cuu
du ln
11) duudyuy  cossen 11)   Cuduu sencos
12) duudyuy  sencos 12)   Cuduu cossen
EXEMPLOS:
Calcule:
a)   dx5x3x2 4 )(
b)  dxx5cos
c)   dxxx3 2 )(
52
EXERCÍCIO 3:
Calcule as integrais:
01)   dx3x4 )( 02)   dt3t4t9 2 )( 03)   dzz
3
z
1
23 )(
04)  duu
1
u3 )( 05)   dvv3v6v2 44
1
4
5
)( 06)   dx1x3 2)(
07)   dx3x2 )( 08)  
 dx
x
5x8
3 9) 

 )(, 1xdx1x
1x3
10)  
 dt
t
3t
6
22 )( 11)  duu4
3 cos 12)  dxx
7
csc
13)   dttt )cos( 14)  dtt
t
cos
sec 15)  dvvvv )seccot(csc
2 - Mudança de Variáveis:
Se F é uma antiderivada de f, então   .))(()())(( CxgFdxxgxgf
Se u = g(x) e du = g ‘(x)dx, então   CuFduuf )()(
EXEMPLOS:
1) Calcular dx7x5 
SOLUÇÃO:
Façamos u=5x+7, daí du=5dx , trocando de variáveis temos:
    C7x515
2Cu
15
2C
2
3
u
5
1duu
5
1duu
5
1dx57x5
5
1 2
3
2
3
2
3
2
1
)(
2)  

 dx
1x3x
1x
63
2
)(
 3)  dxx
xcos 4)  dxx5x53 sencos
EXERCÍCIO 4:
Calcule os limites:
01)   dx3x2x 102 )( 02)   dx7x3x
3 32 03)  
 dx
x
x1 3)(
04)  dxxx 3cos 05)  dx2x3 06)  dt5t8
3
07)   dz1z3 4)( 08)   dv1vv 32 09)  dxx43sen
10)   dx3x4 )cos( 11)  dvvv 2 )sen( 12)  dxx3x3 3 sencos
13)   dx4x32 )(sec 14)  dxx3x32 tansec 15)  dxxxx 22 )csc()cot(
53
3 - Integração por Partes:
Sejam u = f(x) e v = g(x) duas funções diferenciáveis. Então a diferencial do produto y = u
. v = f(x) . g(x) e´ dy = ( u . v’ + v . u’ ) dx
dy = u.v’dx + v.u’dx como 





dxvdx
dxudu
'
'
 podemos escrever:
dy = udv+vdu, como dy = d(uv) temos d(uv) = udv+vdu que é a diferencial do produto
de duas funções.
Agora, integrando os demais membros, temos:
   ),()( vduudvuvd pela propriedade de integral indefinida.
   vduudvuvd )(
  vduudvuv , daí:
  vduuvudv Fórmula da integração por partes.
EXEMPLOS:
Resolva as integrais indefinidas:
01)   dxxxxdxxx coscossen = xxx sencos  +C
02)  dxvx ln
03)  dxex x2
04)  dxxarctan
05)  dtte t sen
06)    dxxxdxx2 sensensen
EXERCÍCIO 5:
Usando a técnica de integração por partes, calcular as seguintes integrais indefinidas:
01)  xdxxcos 02)  dxxln 03)  dxxxn ln
04)   dxx1 )ln( 05)  dx2
xx sen 06) 
 21x
dxx
)(
ln
07)  dxxx 2sec 08)  dxex x 09)  dxex ax
10)  dxex ax2 11)   dxex x2 12)  dxax x
13)   de cos 14)  dxxe x2 sen 15)  dxbxeax sen
16)  dxxarcsen 17)   darcsen 18)  dxx
xarcsen
54
4 - Integrais de funções que contém trinômios do 2º grau:
Inicialmente, revisamos a obtenção de um quadrado perfeito.
Transformamos o trinômio num quadrado perfeito :
)(
a
cx
a
bxacbxax 22 
Fazemos 
a
cBe
a
bA  , temos um trinômio sem o coeficiente de x2: BAxx 2  .
O termo B é sempre igual ao quadrado da metade de A.
De um modo geral:
22
2
AAxx )( , é um quadrado perfeito 222
2
Ax
2
AAxx )()(  .
Vejamos os exemplos a seguir:
RESOLVER:
01)  
 94x
dx
2)(
02)  

2
5x2x2
dx
2
03)  
 2xx39
dx
04) 


 13x3x
5x3
2
EXRCÍCIO 6:
Calcular as integrais pelo método de completar trinômios quadrados perfeitos:
01) 
 5x4x
dx
2 02) 
 x4x5
dx
2
03) 
 1x2x
dx
2
 04) 
 2x2x1
dx
05) 
 2xx
dx 06) 


dx
x3x27
7x5
2
07) 
 5x2x
dxx
2 08) 


2xx63
dx7x2 )(
09) 


1xx
dx5x3
2
)( 10) 
 2x3x21
dx
55
5 - Integrais de função racionais:
Se o numerador e o denominador de uma função são polinômios, a função é chamada
racional.
Exemplos:
a) f(x) = 
1x2x
1x3
2 

 b) g(x) = 
1x
1xx2


i)Se o grau do numerador for superior ao grau do denominador, efetuamos a divisão para
que a integração seja possível.
Exemplo:



 dx1x
3x3x2 2
ii)Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, procuramos decompor o
polinômio do denominador em fatores do primeiro ou do segundo grau.
Se f(x) e g(x) são polinômios e se o grau de f(x) é inferior ao grau de g(x), então é possível
escrever qualquer expressão 
)(
)(
xg
xf como uma soma de expressões racionais cujosdenominadores envolvem potências de polinômios de grau não superior a 2, da seguinte
forma:
k21 FFFxg
xf
 ...
)(
)(
onde cada Fk da soma tem uma das seguintes formas:
 nbax
A

 ou   22 cbxax
BAx


Os seguintes casos podem ocorrer:
1º Caso:
Os fatores dos denominadores são todos do primeiro grau e não repetidos.
EXEMPLO:
Resolver a integral:


 dx
x2x3x
1x6x7
23
2
Obs: n
0
2
0
2
0
1
n
0 xx
An
xx
A
xx
A
xx
xP
)(
...
)()()(
)(







A expressão acima é aplicada quando o fator (x-x0) tem grau de multiplicidade n.
Se b2-4ac <0 na expressão ax2+bx+c, então a expressão será um fator quadrático do
denominador.
Se o fator quadrático do denominador é ax2+bx+c, o numerador da fração parcial obtida
será A(2ax+b)+B para facilitar a operação de integração.
56
2º Caso:
Os fatores dos denominadores são do primeiro ou segundo grau.
EXEMPLO:
Resolver a integral 
 1x
dxx
3 :
1xx
C1x2B
1x
A
1xx1x
x
1x
x
223 







)(
))((
3º Caso:
Se no denominador, o fator quadrático cbxax2  , tiver grau de multiplicidade n, a
decomposição é a seguinte:
n2222 cbxax
Nbax2M
cbxax
Dbax2C
cbxax
Bbax2A
)(
)(...
)(
)()(








EXEMPLO:
Resolver a integral:
 
 22 1xx
dx
)(
EXERCÍCIO 7:
Determine as integrais:
01) 
 15x2x
dxx
2
2
 02)   ))()(( 1x2x4x
dxx2 03) 


x6xx
dx1x
23
)(
04) 

 dx
x1x
1x
3
3
)(
 05) 


))((
)(
6x5x1x
dx2x
2 06)  

dx
xx
1x
23
07) 
 ))(( 5x4x1x
dxx
2 08)   22
3
4x
dxx
)(
 09) 
1x
xdx4
4 10)   xx e23e
dx
6 - Integrais de funções trigonométricas.
É freqüente aparecerem integrais dos tipos:
01-  dxxx nm cossen 02-  dxxmsen
03-  dxxmcos 04-  dxxmtan
05-  dxxmcot 06-  dxxmsec
07-  dxxmcsc 08-  dxbxax cossen
09-  dxbxax sensen 10-  dxbxax coscos
57
A) As integrais do tipo 1,2 e 3, podem ser resolvidas com facilidade se pelo menos um dos
expoentes m ou n for inteiro, positivo e impar.
O tipo 2, podemos resolveremos utilizando a seguinte forma:  

1n
uduu
1n
n +C
EXEMPLOS:
Resolver as integrais:
1)  dxx5sen 2)  x
x
2
3
sen
cos
Se as integrais dos tipos dados não possuírem expoente ímpar e sim par, usaremos as
seguintes identidades trigonométricas: 
2
x21x2 cossen  e 
2
x21x2 coscos 
3)  dxx4cos
B) As integrais dos tipos 4 e 5 quando m é inteiro, podem ser resolvidas com o mesmo
raciocínio dos exemplos seguintes.
4)  dxx4tan
OBSERVAÇÃO:
Estas integrais podem também ser resolvidas mediante as substituições:
1) tanx = t  dt = sec2xdx ou dt = (1+tan2x)dx  dx = 2t1
dt

Portanto:
4)  dxx4tan
2) cotx = t  dt = – csc2xdx ou dt = – (1+cot2x)dx  dx = 2t1
dt


Portanto:
5)  dxx4cot
C) As integrais 6 e 7 são resolvidas observando-se dois casos:
1o caso:
Se m é um número positivo par, transformaremos sec2x em 1+tan2x: xtanxsec 22 1
6)  dx.xsec6 .
2o caso:
Se m é um número positivo ímpar, é conveniente usar o processo de integração por partes.
7)  dx.xsec3 .
58
D) As integrais dos tipos 8,9 e 10 são resolvidas pelo uso das expressões trigonométricas:
a) sen(a+b)x+sen(a–b)x=2.senax.cosbx
b) sen(a+b)x–sen(a–b)x=2.cosax.senbx
c) cos(a+b)x+cos(a–b)x=2.cosax.cosbx
d) cos(a+b)x–cos(a–b)x=–2.senax.senbx
EXEMPLO:
Resolver  dxx2x3 .cos.sen .
EXERCÍCIO 8:
01)  dxxx2 cossen 02)  dxxx 63 cossen 03)  dxxx 32 cossen
04)  dxxx 6seccos 05)  dxxx3 tansec 06)  dxx25cos
07)  dxxx 33 costan 08)  dxxx 42 cossen 09)  dxx4cos
10)  




 dx
2
x4cot 11)  dxx
x
3
3
cos
sen 12)  dxx3x4 sensen
13)  dxx5x4x3 coscossen
7-Integrais de funções racionais de senx, cosx ,por meio de substituição
As substituições a seguir é de grande utilidade, embora, em alguns casos, se torne muito
trabalhosa:
1º) Fazendo 
2
xy tan , então x=2.arctany, daí 2y1
dy2dx


Das fórmulas trigonométricas temos:
2
x1
2
x2
x
2tan
tan
sen

 2y1
y2x

sen
2
x1
2
x1
x
2
2
tan
tan
cos


 2
2
y1
y1x


cos
2º) Fazendo y=tanx então x=2.arctany, daí 2y1
dydx

 .
Das fórmulas trigonométrias temos:
2
x1
xx
2
2
2
tan
tansen

 2
2
2
y1
yx

sen
x1
1x 2
2
tan
cos

 2
2
y1
1x

cos
59
EXEMPLOS:
Achar:
1)   x1
dx
cos
 2)   x1
dxx
cos
tan
EXERCÍCIO 9:
Calcular as integrais:
01)   x2
dx
sen
 02)   x23
dx
cos
 03)   xx1
dx
cossen
04)   xx
dx
sentan
 05)   dxx34
sex
tan
 06)  x3x
dx
cossen
8-Integração de funções irracionais
Seja a integral   dxxxR s
r
n
m
,...),...,( , onde o integrante representa uma função racional de
n
m
x .... s
r
x , sendo m e n, ... números inteiros.
A racionalização nesses casos torna-se imediata fazendo-se x=tk , onde k representa o
mínimo múltiplo comum dos expoentes.
EXEMPLOS:
Resolver as integrais 
1x
dxx
3
Para as integrais da forma dx
dcx
bax
dcx
bax
xR s
r
n
m



























 ,...,...,, , faz-se a substituição
seguinte: kt
dcx
bax








sendo k o m.m.c. dos denominadores das frações 
s
r
n
m ,..., .
EXEMPLO:
Resolver 
 

 x1x1
dx
3 2
.
EXERCÍCIO 10:
Calcular as seguintes integrais:
01)   dxx1
x4 02)   x1x
dx
 03) 


3 1x1x
dxx
04) 


1x
dxx
4 3
 05) dx
x1
x1
 
 06)    4 x1x
dx
60
INTEGRAL DEFINIDA
 Y y=f(x) Seja R a área da região limitada
 Pelas curvas:
 y=f(x), y=0, x=a e x=b
 Como determinar a área desta região?
 R
 a b X
 Y y=f(x) Formando n retângulos
 calcula-se a área de
 cada retângulo e
 soma-se, obtendo-se
 assim a áreatotal(aproximada). Raprox.
 a b X
Dividimos o intervalo (a,b) em “n” partes:
)()( 1n1nnn
122
0111
xbxxx
xxx
xxaxx
 



 Tornando









nnnnn
22222
11111
xtfAxt
xtfAxt
xtfAxt
)(
).(
).(

Podemos formar a seguinte soma, representativa da área de todos os retângulos.
 

i
n
1i
i
n
1i
in xtfAS )( Soma de Riemann.
Se 0xk  , a soma Sn se aproxima da área exata limitada pelas curvas, o eixo x e as
ordenadas em x=a e x=b isto é:


n
n
SR lim  


n
1i
b
a
ii
n
dxxfxtf )()(lim ,
 ou seja:
xd)x(fRA
b
a
 ,
 que é chamada de INTEGRAL DEFINIDA ou INTEGRAL DE RIEMANN de f(x) entre
os limites “a” e “b”.
61
Teorema Fundamental do Cálculo Integral
Se f(x) é continua em [a,b] e )()()( xdxfxdF  , então:  
b
a
aFbFdxxf )()()( , ou então,
  )()()]()( aFbFxFdxxf ba , sendo F(x) uma primitiva de f(x).
Exemplo:
Calcule a integral definida:
    32
xF
2
3
2 xf
xxdx1x2 
)()(
 =(32+3)–(22+2)=12–6=6u.a.
Exercício 9:
Calcule as integrais definidas:
01)  
4
1
2 dx)x
3x( 02)  
2
0
23 dxx2x )( 03) 
2
1 x
dx 04) 

2
0
xdxcos 05) 
2
0
3dxx
Mudança de Variável da Integral Definida
Seja a integral 
b
a
dxxf )( .
Introduzindo uma nova variável x=g(t).
Se ag )( e bg )( , com g(t) e g’(t) contínuas em  , e f(g(t)) é definida e contínua
em  , , então:



 dttgtgfdxxf
b
a
)('))(()(
Exemplo:
Resolver a integral 

4
0 2 9x
xdx :
Exercício 10:
Calcule as integrais definidas:
01)  
4
1
dxx5 02) 

1
0
2 dxx23
1
)(
 03) 

4
1
31xx
dx
)(
 04) 


2
dx
3
x )cos(
05) 


d3624
3
4
)cossen( 06)  



6
6
dxx5x sen 07)  
1
0
2dxx1
62
Áreas das Regiões Planas
 Y y1=f(x) Dadas as funções f(x) e g(x)
 definidas no intervalo [a,b],
 R y2=g(x) sendo f(x)g(x) para todo
 x em [a,b]. Então a área
 compreendida entre as
 curvas f(x), g(x), x=a e x=b é
 A dx b X definida por:
   dxxgxfA
b
a
  )()(
 [f(x) –g(x)]  altura
 dx  base
Exemplos:
01. Determinar a área acima do eixo 0x, limitada pela parábola y=–x2+3x–2.
02. Determinar a área limitada pelas curvas f(x)=x2–4 e g(x)=–x2+4.
03. Determinar a área limitada pelas curvas y=–x2 e x=y2
04. Determinar a área limitada pelas curvas x=–y2 e y=2x+1
Exercício 11:
Calcular a área entre as curvas.
a) y=2; x=y+1 e y=–3x–1
b) y2=9x e y=3x
c) y=4–x2 e o eixo OX.
d) y=x3; y=–8 e o eixo OY
e) y=x3; y=2x e y=x
f) y2=2x e x–y=4
g) y=6+4x–x2 e a corda y=2x–2
h) x=–y2–3; y=2; y=–1 e o eixo OY
63
RESPOSTAS
Exercício 01:
1-a)    dxe1x21x2dy 2x2  1-b) dy=2cos2x.dx
1-c) dx
x3x32
x33
dy 
tanlnsen
sec
 1-d) dx
x
2
dy 3 


1-e) dx2x2dy x  sencosln
2-a) t
dx
dy cot 2-b) 




22
e
dx
dy
sen
2-c) 
5
1
dx
dy 
 2-d)   22212
dx
dy
 sec
3-a) 0188164 ,,  3-b) (1,01)41,04 3-c)2.(1,003)5–(1,003)31,021
Exercício 02:
a) g(x) é primitiva de f(x).
b) g(x) não é primitiva de f(x).
c) g(x) é primitiva de f(x).
Exercício 03:
1) Cx3x2 2  2) Ct3t2t3 23  3) C
z
3
z2
1
2 
4) Cu2u2 2
1
2
3
 5) Cvv
5
24v
9
8 34
5
4
9
  6) Cxx3x3 23 
7) Cx
2
3x
3
2 23  8) Cx
2
15x
5
24 3
2
3
5
 9) Cxx
2
1x
3
1 23 
10) Ct
5
9t2t 531   11) Cu
4
3
sen 12) Cx7  cos
13) Ctt
3
2 2
3
 sen 14) Ct tan 15) Cv  cot
Exercício 04:
01) C3x2
44
1 112  )( 02) C7x3
12
1 3
4
3  )( 03) Cx1
2
1 4  )(
04) Cx
3
2 3 sen 05) C2x3
9
2 2
3
 )( 06) C5t8
32
3 3
4
 )(
07) C1Z3
15
1 5  )`( 8) C1v
9
2 2
3
3  )( 9) Cx4
4
3
 cos
64
10) C3x4
4
1
 )sen( 11) Cv
2
1 2  )cos( 12) Cx3
4
1 3
4
)(sen
13) C4x3
3
1
 )tan( 14) Cx3
6
1 2 sec 15) Cx
2
1 2  )csc(
Exercício 05:
01) Cxxx  cossen 02) C1xx  )(ln
03) C
1n
1x
1n
x 1n





)(ln 04) Cx1xx1x  )ln()ln(
05) C
2
xx2
2
x4  cossen 06) C
1n
x
1x
x









lnln
07) Cxxx  coslntan 08) C1xex  )(
09) C
a
1x
a
eax
 )( 10) C2ax2xa
a
e 22
3
ax
 )(
11) C2x2xe 2x   )( 12) C1ax
a
a
2
x
 )ln(
ln
13) C
2
e


)cos(sen 14) Cxx2
5
e x2
 )cossen(
15) Cbxbbxa
ba
e
22
ax


)cossen( 16) Cx1xarcx 2 sen
17) C1xarc12
4
1 22  ]sen)[( 18) Cx1xarcx2  )sen(
Exercício 6:
01) arctan(x+2)+C 02) C
3
2x





 arcsen
03) C
3
2x
3
4
2
2






arcsen 04) C
1x2
x22
3
1


ln
05) arcsen(2x-1)+C 06) C
47
3x4
94
47137x3x2
4
5 2  arctanln
07) C
2
1x
2
15x2x
2
1 2  arctanln 08) C
2
1x3
9
23x9x63
9
2 2  arcsen
09) C1xx
2
1x
2
71xx3 22  ln 10) C
2
1x3
3
3





 arcsen
Exercício 7:
 01)   C3x95x25
8
1x  lnln 02) C1x
5
14x
25
82x
2
3
 lnlnln
65
03) C3x
15
22x
10
3x
6
1

 lnlnln 04) 
 
  C
x
1x
1x
x 2
2 



 ln
05) C3x
2
52x41x
2
3
 lnlnln 06) C1x2
x
1x2  lnln
07)   C2x
10
75x4x
20
11x
10
1 2  arctanlnln
08) C
4x
2
4x
2
1
2
2 

ln 09) C
1x
1x
2
2


ln 10) C
1e
2
1e
x
x



