Probabilidade e Estatística - Teorema Central do Limite

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TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 
 
TEOREMA 
Seja uma amostra aleatória (𝑋1, 𝑋2, . . . . , 𝑋𝑛) retiradas de uma população com média 𝜇 e variância 
𝜎2. A distribuição amostral de �̅� aproxima-se, para 𝑛 grande, de uma distribuição normal com 
média 𝜇 e variância 𝜎
2
𝑛⁄ . 
 
COROLÁRIO 
Seja (𝑋1, 𝑋2, . . . . , 𝑋𝑛) uma amostra da população 𝑋 com média 𝜇 e variância 𝜎
2 finita. Então: 
𝑍 =
 �̅� − μ
𝜎 √𝑛⁄
~𝑁(𝜇 = 0, 𝜎2 = 1) 
 
 
 
Exemplo: Seja a variável aleatória com distribuição de probabilidade dada abaixo (𝜇 = 5.4 𝑒 𝜎2 =
4.44). Uma amostra com 40 observações é sorteada. Qual é a probabilidade de que a média amostral 
ser maior do que 5? 
 
Considerando a tabela acima, temos: 
𝑃(�̅� > 5) = 𝑃 (
�̅� − 𝜇
𝜎 √𝑛⁄
>
5 − 𝜇
𝜎 √𝑛⁄
) = 𝑃 (𝑍 >
5 − 5.4
√4.44 √40⁄
) 
Logo, 
𝑃(�̅� > 5) = 𝑃(𝑍 ≻ 1.20) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ −1.20) = 1 − 0.1151 ≅ 0,88 
 
Exemplo: Em uma certa cidade, a duração de conversas telefônicas, em minutos, segue o modelo 
exponencial com parâmetro 𝜆 = 1 3⁄ . Observando-se uma amostra de tamanho 50 dessas chamadas, 
qual será a probabilidade de elas, em média, não ultrapassem 4 minutos? 
Temos que: 
𝑃(�̅� < 4) = 𝑃 (
�̅� − 𝜇
𝜎 √𝑛⁄
<
4 − 𝜇
𝜎 √𝑛⁄
) = 𝑃 (𝑍 <
4 − 3
√9 √50⁄
) 
Logo, 
 
𝑃(�̅� < 4) = 𝑃 (𝑍 <
1
3√50
) = 𝑃(𝑍 < 2,36) = 0,99 
 
Exemplo: Quando um lote de certo produto químico é preparado, a quantidade de impureza no lote 
é uma variável aleatória com valor médio igual a 4 gramas e desvio padrão igual a 1,5 gramas. Se 50 
lotes forem preparados independentemente, qual é a probabilidade de a quantidade média de impureza 
na amostra esteja entre 3,5g e 3,8g? 
Temos que: 
𝑃(3,5 < �̅� < 3,8) = 𝑃 (
3,5 − 𝜇
𝜎 √𝑛⁄
<
�̅� − 𝜇
𝜎 √𝑛⁄
<
3,8 − 𝜇
𝜎 √𝑛⁄
) = 𝑃 (
3,5 − 4
1,5 √50⁄
< 𝑍 <
3,8 − 4
1,5 √50⁄
) 
Logo, 
𝑃(3,5 < �̅� < 3,8) = 𝑃(−2,36 < 𝑍 < −0,94) = 𝑃(𝑍 < −0,94) − 𝑃(𝑍 < −2,36) 
E, portanto 
𝑃(3,5 < �̅� < 3,8) = 0,17 − 0,009 ≅ 0,16