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Projeto de sistemas de controle - Exercícios prova 1

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Universidade Federal de Minas Gerais 
Curso: Engenharia Mecânica 
Disciplina: Projeto de Sistemas de Controle 
Professor: Antônio Maia 
 
Exercícios 
 
1. Defina constante de tempo e ganho estático. 
 
 
2. Propor uma função de transferência para representar a relação entre a saída e a entrada dos sistemas 
representados abaixo. Utilizando os dados da figura, estimar os parâmetros desta função de 
transferência para cada sistema. 
 
 
 
 
 
3. As curvas apresentadas na figura abaixo representam a resposta de um sistema de primeira ordem a 
uma perturbação do tipo degrau com amplitude de 1, 2 e 3. Determine o ganho e a constante de tempo 
para cada uma das curvas. Explique o resultado encontrado. 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
6
8
10
12
14
16
Sa
íd
a
Tempo (s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
26
27
28
29
30
31
En
tra
da
Tempo (s)
0 5 10 15 20 25 30
6
7
8
9
10
Sa
íd
a
Tempo (s)
0 5 10 15 20 25 30
29
30
31
32
33
34
En
tra
da
Tempo (s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
6
8
10
12
Sa
íd
a
Tempo (s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
29
30
31
32
33
En
tra
da
Tempo (s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
5
5.5
6
Sa
íd
a
Tempo (s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
29
29.5
30
30.5
31
En
tra
da
Tempo (s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sa
íd
a
Tempo (s)
a) c) 
d) b) 
4. Considere o sistema mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine, matematicamente, a função de transferência que relaciona H(s)/Q(s); 
b) Utilizando os dados do gráfico, determine o ganho e a constante de tempo do sistema; 
c) Determine o valor de R1 e de A1. 
 
 
5. Considere o sistema mostrado na figura abaixo em que A, B e K representam números reais. 
Admitindo que K=1,25; pede-se: 
 
a) Determinar o valor de A e B de forma que o sistema apresente um sobre-sinal de 10% e uma 
freqüência natural não amortecida de 3rad/s; Resp.: A=9; B=-7,7. 
b) Determinar o tempo de pico, o tempo de subida e o tempo de estabelecimento (2%). Resp.: 
Tp=1,29; Tr=0,91; Ts=2,25 
 
 
Diagrama de blocos do sistema 
 
 
6. Considere o sistema mostrado abaixo. 
 
 
 
a) Calcular o erro em regime permanente quando K=1; 
b) Determinar o valor de K que faz com que o erro em regime permanente seja zero. 
 
)2s(s
4,0
+
1,0s
3s
+
+
K)s(R )s(C
R1 
q(t) 
q1(t) 
h(t) 
h(t)=R1 . q1(t) 
A1 
Resposta de h(t) a um degrau de amplitude 2 de entrada 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Step Response
t (sec)
h(t
)
Antônio Maia Página 3 28/3/2012 
7. Determine a função de transferência do sistema abaixo, que relaciona Vc(s) / V(s) na forma mais 
simplificada possível. Determinar o valor de wn e ζ em função de R, L e C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Obter as equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A saída (resposta) de um sistema a um impulso unitário de entrada quando as condições iniciais são 
nulas é representada pela seguinte função: 
 
g(t) = t . e-a . t 
 
a) Utilizando a definição de Transformada de Laplace, determinar a função de transferência 
do sistema; 
b) Determinar o valor de “a” sabendo-se que o sistema converge para 4 em regime 
permanente, depois de receber um degrau unitário de entrada; 
c) Considerando-se a aplicação de um degrau de amplitude 5 como entrada, determinar o 
valor da saída em t = 2s. 
 
 
10. Considerando que o atrito de rolamento seja insignificante, determinar a função de transferência que 
relaciona X2(s)/U(s) do sistema abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Furo em m2 
 
C 
+ 
- 
V
 
R L 
V 
x3(t) 
x2(t) 
u3(t) 
k1 b1 
k2 
m3 
b2 
m1 m2 
u1(t) u2(t) 
x1(t) 
u(t) 
x2(t) x1(t) 
k2 k1 
b3 
b1 
m2 m1 
k4 
b4 k3 
11. Considere o sistema mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar a função de transferência que relaciona H2(s)/Q(s); 
 
Resolver os itens seguintes considerando R1=1 m/(m3/min), R2=2 m/(m3/min), A1=3 m2 e A2 = 1 m2 
 
a) Determinar os pólos do sistema obtido e representar no plano complexo; 
b) Identificar o(s) pólo(s) dominante(s) e explicar com as suas palavras porque ele(s) é(são) 
dominante(s); 
c) Determine o nível do tanque dois (h2) 20 minutos após a aplicação de um degrau unitário na 
entrada. 
 
 
12. Determinar a função de transferência G(s) e o erro em regime permanente sabendo que: 
 
bass
bKs
)s(R
)s(C
2 ++
+
= . 
 
 
 
Resp.: ess=(a-K)/b ; G(s)=(Ks+b)/(s2+as-Ks) 
 
 
13. Considere o sistema mostrado na Figura abaixo em que A e K representam números reais. Quando a 
entrada é um degrau unitário, a saída c(t) responde como mostrado no gráfico. Conforme pode ser 
verificado, o sistema oscila até que quando t=4s as oscilações estão em uma faixa de valores de ± 2% 
do valor de estado estacionário. Utilizando estas informações determinar o valor de A e de K. Resp: 
A=5; K=0,2 
 
Figura 1 
 
G(s) 
 
R(s) C(s) 
R(s) C(s) 
3 
K 
1s
A
+ s
1
h1(t) – h2(t) = R1 . q1(t) 
 
h2(t) = R2 . q2(t) 
 
A1 
R2 
q2(t) 
h2(t) R1 
q(t) 
q1(t) 
h1(t) 
A2 
 
 
 
14. O sistema mostrado na figura a seguir deverá ser projetado para atender aos seguintes requisitos: 
 
a) Erro em regime permanente para entrada do tipo degrau unitário igual a 0,1; 
b) Freqüência natural não amortecida igual a √10; 
c) Coeficiente de amortecimento igual a 0,5. 
 
Determinar o valor de K, β e α que atendam a estas características. Resp.: K=1,16; , β=1 e α=7,74 
 
 
 
 
15. Considerando o sistema mostrado na figura abaixo, determinar o valor de A e B de modo que o sistema 
tenha coeficiente de amortecimento de 0,65 e uma freqüência natural não amortecida de 5rad/s. 
Determinar, também, o tempo de pico, o máximo sobre-sinal, o tempo de estabelecimento e o tempo de 
subida. 
 
Diagrama de blocos do sistema 
 
 
16. Considerando o sistema com realimentação unitária mostrado ao lado, determine o valor de K e a que 
forneçam um ess de 2 e um sobre sinal de 20%. Resp.: K=0,2079; a=0,4159. 
 
 
 
 
2
βs
αs
)(
)(
+
+K
R(s) C(s) 
�
��� � ��
 
 
R(s) C(s) 
17. Quando uma força de amplitude 4 (degrau de entrada) é aplicada ao sistema apresentado abaixo, a 
massa oscila conforme mostrado no gráfico. Determine o valor de m, b e k para este sistema. 
 
 
 
 
 
 
18. Considere o sistema mostrado abaixo: 
 
 
Baseando no diagrama acima, responda: 
 
a) Qual é o tipo do sistema? Resp.: 1 
b) Para que o sistema apresente um erro finito em regime permanente, que tipo de entrada deverá ser 
utilizada? Justifique. Resp.: Rampa 
c) Qual é o valor de K1 e K2 sabendo que ess=0,1 e ζ=0,5. Resp.: K1=10; K2=0,9 
 
 
19. Considere o sistema mostrado na Figura 1 em que A, B e K representam números reais. Quando a 
entrada é um degrau unitário, a saída c(t) responde como mostrado na Figura 2. 
 
 
 
 
Figura 1 Figura 2 
Conforme pode ser verificado na figura, o sistema oscila até que quando t=10,67s as oscilações estão em 
u(t) 
x
 
k
 
b
 
m
 
1,61 
0,1817 
R(s) C(s) 
K1 
K2 s 
 
)1(
10
+ss
C(s) 
0,5860 
c(t) 
t 10,67 
R(s) 
uma faixa de valores de ± 2% do valor de estado estacionário. Admitindo que K=20, determinar o valor de 
A e B. Resp.: A=5; B=0,5 
 
 
20. Considere o sistema mostrado na abaixo. A resposta a um degrau unitário de entrada, quando K=1, é 
apresentada no gráfico. Determinar o valor de K para que o erro em regime estacionário seja igual a 
zero. Resp.: K=1,25. 
 
 
 
 
 
 
21. O sistema mostrado na figura a seguir deverá ser projetado para atender aos seguintes requisitos: 
 
a) Erro em regime permanente para entrada do tipo rampa unitária igual a 0,1; 
b) Os pólos de malha fechada deverão estar localizados em -1+1j e -1-1j. 
 
Determinar o valor de K, β e α que atende a estas características. Resp.: K=1,8; , β=0,2 e α=1,11 
 
 
 
 
22. Explique os efeitos da ação de controle proporcional, integral e derivativa na resposta dosistema. 
Aborde aspectos como erro em regime permanente, estabilidade relativa, overshoot e tempo de 
acomodação. 
 
y(t) 
t 
0,8 
� 
 
���� 
 
R(s) Y(s) 
)+(
)+(
βs
αs
s
KR(s) C(s)

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