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Universidade Federal de Minas Gerais Curso: Engenharia Mecânica Disciplina: Projeto de Sistemas de Controle Professor: Antônio Maia Exercícios 1. Defina constante de tempo e ganho estático. 2. Propor uma função de transferência para representar a relação entre a saída e a entrada dos sistemas representados abaixo. Utilizando os dados da figura, estimar os parâmetros desta função de transferência para cada sistema. 3. As curvas apresentadas na figura abaixo representam a resposta de um sistema de primeira ordem a uma perturbação do tipo degrau com amplitude de 1, 2 e 3. Determine o ganho e a constante de tempo para cada uma das curvas. Explique o resultado encontrado. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 6 8 10 12 14 16 Sa íd a Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 26 27 28 29 30 31 En tra da Tempo (s) 0 5 10 15 20 25 30 6 7 8 9 10 Sa íd a Tempo (s) 0 5 10 15 20 25 30 29 30 31 32 33 34 En tra da Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 6 8 10 12 Sa íd a Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 29 30 31 32 33 En tra da Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 5 5.5 6 Sa íd a Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 29 29.5 30 30.5 31 En tra da Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sa íd a Tempo (s) a) c) d) b) 4. Considere o sistema mostrado abaixo: a) Determine, matematicamente, a função de transferência que relaciona H(s)/Q(s); b) Utilizando os dados do gráfico, determine o ganho e a constante de tempo do sistema; c) Determine o valor de R1 e de A1. 5. Considere o sistema mostrado na figura abaixo em que A, B e K representam números reais. Admitindo que K=1,25; pede-se: a) Determinar o valor de A e B de forma que o sistema apresente um sobre-sinal de 10% e uma freqüência natural não amortecida de 3rad/s; Resp.: A=9; B=-7,7. b) Determinar o tempo de pico, o tempo de subida e o tempo de estabelecimento (2%). Resp.: Tp=1,29; Tr=0,91; Ts=2,25 Diagrama de blocos do sistema 6. Considere o sistema mostrado abaixo. a) Calcular o erro em regime permanente quando K=1; b) Determinar o valor de K que faz com que o erro em regime permanente seja zero. )2s(s 4,0 + 1,0s 3s + + K)s(R )s(C R1 q(t) q1(t) h(t) h(t)=R1 . q1(t) A1 Resposta de h(t) a um degrau de amplitude 2 de entrada 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Step Response t (sec) h(t ) Antônio Maia Página 3 28/3/2012 7. Determine a função de transferência do sistema abaixo, que relaciona Vc(s) / V(s) na forma mais simplificada possível. Determinar o valor de wn e ζ em função de R, L e C 8. Obter as equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema abaixo. 9. A saída (resposta) de um sistema a um impulso unitário de entrada quando as condições iniciais são nulas é representada pela seguinte função: g(t) = t . e-a . t a) Utilizando a definição de Transformada de Laplace, determinar a função de transferência do sistema; b) Determinar o valor de “a” sabendo-se que o sistema converge para 4 em regime permanente, depois de receber um degrau unitário de entrada; c) Considerando-se a aplicação de um degrau de amplitude 5 como entrada, determinar o valor da saída em t = 2s. 10. Considerando que o atrito de rolamento seja insignificante, determinar a função de transferência que relaciona X2(s)/U(s) do sistema abaixo: Furo em m2 C + - V R L V x3(t) x2(t) u3(t) k1 b1 k2 m3 b2 m1 m2 u1(t) u2(t) x1(t) u(t) x2(t) x1(t) k2 k1 b3 b1 m2 m1 k4 b4 k3 11. Considere o sistema mostrado abaixo: Determinar a função de transferência que relaciona H2(s)/Q(s); Resolver os itens seguintes considerando R1=1 m/(m3/min), R2=2 m/(m3/min), A1=3 m2 e A2 = 1 m2 a) Determinar os pólos do sistema obtido e representar no plano complexo; b) Identificar o(s) pólo(s) dominante(s) e explicar com as suas palavras porque ele(s) é(são) dominante(s); c) Determine o nível do tanque dois (h2) 20 minutos após a aplicação de um degrau unitário na entrada. 12. Determinar a função de transferência G(s) e o erro em regime permanente sabendo que: bass bKs )s(R )s(C 2 ++ + = . Resp.: ess=(a-K)/b ; G(s)=(Ks+b)/(s2+as-Ks) 13. Considere o sistema mostrado na Figura abaixo em que A e K representam números reais. Quando a entrada é um degrau unitário, a saída c(t) responde como mostrado no gráfico. Conforme pode ser verificado, o sistema oscila até que quando t=4s as oscilações estão em uma faixa de valores de ± 2% do valor de estado estacionário. Utilizando estas informações determinar o valor de A e de K. Resp: A=5; K=0,2 Figura 1 G(s) R(s) C(s) R(s) C(s) 3 K 1s A + s 1 h1(t) – h2(t) = R1 . q1(t) h2(t) = R2 . q2(t) A1 R2 q2(t) h2(t) R1 q(t) q1(t) h1(t) A2 14. O sistema mostrado na figura a seguir deverá ser projetado para atender aos seguintes requisitos: a) Erro em regime permanente para entrada do tipo degrau unitário igual a 0,1; b) Freqüência natural não amortecida igual a √10; c) Coeficiente de amortecimento igual a 0,5. Determinar o valor de K, β e α que atendam a estas características. Resp.: K=1,16; , β=1 e α=7,74 15. Considerando o sistema mostrado na figura abaixo, determinar o valor de A e B de modo que o sistema tenha coeficiente de amortecimento de 0,65 e uma freqüência natural não amortecida de 5rad/s. Determinar, também, o tempo de pico, o máximo sobre-sinal, o tempo de estabelecimento e o tempo de subida. Diagrama de blocos do sistema 16. Considerando o sistema com realimentação unitária mostrado ao lado, determine o valor de K e a que forneçam um ess de 2 e um sobre sinal de 20%. Resp.: K=0,2079; a=0,4159. 2 βs αs )( )( + +K R(s) C(s) � ��� � �� R(s) C(s) 17. Quando uma força de amplitude 4 (degrau de entrada) é aplicada ao sistema apresentado abaixo, a massa oscila conforme mostrado no gráfico. Determine o valor de m, b e k para este sistema. 18. Considere o sistema mostrado abaixo: Baseando no diagrama acima, responda: a) Qual é o tipo do sistema? Resp.: 1 b) Para que o sistema apresente um erro finito em regime permanente, que tipo de entrada deverá ser utilizada? Justifique. Resp.: Rampa c) Qual é o valor de K1 e K2 sabendo que ess=0,1 e ζ=0,5. Resp.: K1=10; K2=0,9 19. Considere o sistema mostrado na Figura 1 em que A, B e K representam números reais. Quando a entrada é um degrau unitário, a saída c(t) responde como mostrado na Figura 2. Figura 1 Figura 2 Conforme pode ser verificado na figura, o sistema oscila até que quando t=10,67s as oscilações estão em u(t) x k b m 1,61 0,1817 R(s) C(s) K1 K2 s )1( 10 +ss C(s) 0,5860 c(t) t 10,67 R(s) uma faixa de valores de ± 2% do valor de estado estacionário. Admitindo que K=20, determinar o valor de A e B. Resp.: A=5; B=0,5 20. Considere o sistema mostrado na abaixo. A resposta a um degrau unitário de entrada, quando K=1, é apresentada no gráfico. Determinar o valor de K para que o erro em regime estacionário seja igual a zero. Resp.: K=1,25. 21. O sistema mostrado na figura a seguir deverá ser projetado para atender aos seguintes requisitos: a) Erro em regime permanente para entrada do tipo rampa unitária igual a 0,1; b) Os pólos de malha fechada deverão estar localizados em -1+1j e -1-1j. Determinar o valor de K, β e α que atende a estas características. Resp.: K=1,8; , β=0,2 e α=1,11 22. Explique os efeitos da ação de controle proporcional, integral e derivativa na resposta dosistema. Aborde aspectos como erro em regime permanente, estabilidade relativa, overshoot e tempo de acomodação. y(t) t 0,8 � ���� R(s) Y(s) )+( )+( βs αs s KR(s) C(s)
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