Espacos Vetoriais

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Espaços Vetoriais
Em álgebra temos várias estruturas diferentes, por exemplo: 
Grupos
Anéis
Corpos
Espaços Vetoriais
Este é o objeto principal do nosso trabalho nesta parte da disciplina (Álgebra Linear).
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Espaços Vetoriais
Definição: Denomina-se espaço vetorial sobre um corpo ao conjunto , tal que:
 1) Existe uma adição com as seguintes propriedades:
 
	 
A3) Elemento Neutro: 	
	A2) Comutativa:
A1) Associativa: 	
A4) Elemento Oposto:
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Espaços Vetoriais
2) Existe uma Multiplicação por Escalar:
com as seguintes propriedades:
 
	 
M3) 	
	M2) 
M1) 	
M4)
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Observações:
Espaços Vetoriais
Os elementos do conjunto dos reais são chamados ESCALARES.
Os elementos do Espaço Vetorial são chamados VETORES.
Nesta disciplina estaremos sempre trabalhando com Espaços Vetoriais Reais. 
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Exemplos de Espaços Vetoriais
O conjunto de vetores do plano.
A reta real.
O espaço vetorial , sendo as operações definidas da seguinte forma: 
Adição:
Multiplicação por Escalar:
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Exemplos de Espaços Vetoriais
O conjunto das n-uplas reais, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
O conjunto das matrizes com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais das matrizes. 
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Exemplos de Espaços Vetoriais
O conjunto dos polinômios de grau  n
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Contra-Exemplos
Considere o conjunto dos números reais e as operações abaixo definidas:
e
Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M4), pois 
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Contra-Exemplos
Considere o conjunto dos pares ordenados do plano cartesiano e as operações abaixo definidas:
e
Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M2), pois 
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Exercícios
Verifique se o conjunto abaixo, com as operações definidas é um espaço vetorial:
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Exercícios
e