G4 2009-1-sol

Prévia do material em texto

p4 cálculo b 2009.1 1a questão 
elipse x2 +4y2=4, parábola x=8y2-4. figura, interseções, área .
> 
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> implicitplot([x^2+4*y^2=4,x=8*y^2-4],x=-4..4,y=-4..4);
 
para uma figura melhor:
> implicitplot([x^2+4*y^2=4,x=8*y^2-4],x=-4..4,y=-4..4,numpoints=10000);
 
por simetria, basta achar os pontos com y>0.
> fsolve({x^2+4*y^2=4,x=8*y^2-4},{x=0..3,y=0..1});
x = 1.186140662, y = 0.8051506584{ }
> fsolve({x^2+4*y^2=4,x=8*y^2-4},{x=-4..0,y=0..1});
y = 0.5378033259, x = -1.686140662{ }
os 4 pontos são os dois acima e mais :{x = 1.186140662, y = - .8051506584} e {y = - .5378033259, x = 
-1.686140662}
integral do arco de cima da elipse, de -2 ao ponto de interseção + integral do arco de parábola de cima, de uma
ponto de interseção ao outro, + integral do 2o ponto de interseção a 2 do arco de cima da elipse, tudo 
multiplicado por 2. 
para os arcos de cima da elipse de da parábola, basta faser solve.
> solve(x^2+4*y^2=4,y);
1
2
 -x
2
 + 4, - 1
2
 -x
2
 + 4
> solve(x=8*y^2-4,y);
1
4
 2 x + 8, - 1
4
 2 x + 8
> Area:=2*(Int(1/2*(-x^2+4)^(1/2),x=-2..-1.686140662)+Int(1/4*(2*x+8)^(1/2
),x=-1.686140662..1.186140662)+Int(1/2*(-x^2+4)^(1/2),x=1.186140662..2))
;
Area := 2 
⌠



⌡
-2
-1.686140662
 
1
2
 -x
2
 + 4 dx + 2 
⌠



⌡
-1.686140662
1.186140662
 
1
4
 2 x + 8 dx + 2 
⌠



⌡1.186140662
2
 
1
2
 -x
2
 + 4 dx
> evalf(Area);
5.053981428
>