G4 2009-2-sol1

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OOOO 
OOOO 
OOOO 
OOOO 
(4)
OOOO 
(2)
(3)
OOOO 
OOOO 
OOOO 
(5)
OOOO 
p4 MAT1158 2009.2
área limitada por (y-x)^2=y+x e x+y=2.
with plots :
implicitplot yKx ^2 = yCx , xCy = 2 , x =K2 ..2, y =K2 ..2 ;
x
0 0,5 1,0 1,5 2,0
y
0,5
1,0
1,5
2,0
é preciso achar as interseções e o ponto de tangencia vertical da parábola.
solve yKx ^2 = yCx , y ;
xC
1
2 C
1
2 8 xC1 , xC
1
2 K
1
2 8 xC1
 a curva de cima é dada por y=
xC
1
2 C
1
2 8 xC1 , e a de baixo por y = xC
1
2 K
1
2 8 xC1 , o dominio é x OK
1
8 .
Achando as interseções:
eq d subs y = 2Kx, yKx ^2 = yCx ;
eq := 2K2 x 2 = 2
solve eq, x ;
1C 12 2 , 1K
1
2 2
Area d Int xC 12 C
1
2 8 xC1 K xC
1
2 K
1
2 8 xC1 , x =K
1
8 ..1K
1
2 2
CInt 2KxK xC 12 K
1
2 8 xC1 , x = 1K
1
2 2 ..1C
1
2 2 ;
Area :=
K
1
8
1K 12 2
8 xC1 dxC
1K 12 2
1C 12 2
3
2 K2 xC
1
2 8 xC1 dx
evalf Area ;
1.885618083
questão 2 . força gravitacional da barra vertical.
F= GMm/d^2.
OOOO 
(8)
OOOO 
(7)
OOOO 
(6)
OOOO 
implicitplot x = 0, y = 0, xC y0.5 = 1 , x = 0 ..1, y =K2 ..2, thickness = 3 ;
x
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
y
K2
K1
0
1
2
a força gerada pelo elemento dy se exerce na direção da reta que une o ponto (a,0) ao ponto (0,y). 
Devemos projetar no eixo horizontal para ter a componente horizontal da força. Não precisa calcular a 
componente vertical, porque ela vai ser nula, por simetria. Se teta é o ângulo em (a,0), projetar é 
multiplicar por cos(teta)= a/(sqrt(a^2 + y^2).
A força elementar dF é então: Gmrady/sqrt(a^2+y^2)^3. e devemos integrar de -b a b.
int Gmra
sqrt a2Cy2
3 , y =Kb ..b ;
Warning, unable to determine if (-a^2)^(1/2) is between -b and 
b; try to use assumptions or set _EnvAllSolutions to true
Warning, unable to determine if -(-a^2)^(1/2) is between -b and 
b; try to use assumptions or set _EnvAllSolutions to true
Kb
b
Gmra
a
2
Cy2
3/2 dy
vamos fazer a integral indefinida e depois substituir os valores.
fo d int Gmra
sqrt a2Cy2
3 , y
fo := y Gmra
a
2
Cy2 a2
subs y = b, fo Ksubs y =Kb, fo ;
2 b Gmra
a
2
Cb2 a2
observando que M=2rb, temos que a forrça é GMma/ a2Cb2 a2
igualando a GMm/(c-a)^2, vem:
(9)
OOOO 
OOOO 
OOOO 
OOOO solve G$m$M$a
a
2
Cb2 a2
=
G$M$m
cKa
2 , c ;
aC a a
2
Cb2 , aK a a2Cb2
há dois pontos, um à esquerda e um à direita de (a,0), e o ponto à esquerda tem c<0, já que 
aK a a
2
Cb2 ! 0.