Microsoft PowerPoint-Aula 04-Vetores

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Geometria Analítica e Álgebra Linear -
MA 2001Aula 04 - Vetores
Profa Dra Emília Marques
Depto de Matemática
Cálculo Vetorial
�� Estudaremos neste tópico as grandezas Estudaremos neste tópico as grandezas 
vetoriais, suas operações, propriedades e vetoriais, suas operações, propriedades e 
aplicações.aplicações.
�� Este estudo se justifica pelo fato de, na Este estudo se justifica pelo fato de, na 
natureza, se apresentarem 2 tipo de natureza, se apresentarem 2 tipo de 
grandezas, as escalares e as vetoriais.grandezas, as escalares e as vetoriais.
�� Trabalharemos inicialmente com os vetores Trabalharemos inicialmente com os vetores 
no plano e no espaço (local onde vivemos).no plano e no espaço (local onde vivemos).
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Depto de Matemática
Grandeza Escalar
�� ÉÉ aquela que necessita em sua definiaquela que necessita em sua definiçãção explicitar o explicitar 
seu mseu móódulo (quantidade) e uma unidade de dulo (quantidade) e uma unidade de 
medida.medida.
�� Exemplos:Exemplos:
�� 1) 1) MassaMassa: um corpo com 24 kg de massa : um corpo com 24 kg de massa →→ 24 24 
éé o mo móódulo da grandeza e kg (quilograma) dulo da grandeza e kg (quilograma) éé a a 
unidade de medida.unidade de medida.
�� 2) 2) TemperaturaTemperatura: a temperatura do ambiente : a temperatura do ambiente éé de de 
34 34 ooCC →→ 34 34 éé o mo móódulo da grandeza e dulo da grandeza e ooCC (grau (grau 
Celsius) a unidade de medida. Celsius) a unidade de medida. 
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Grandeza vetorial
�� ÉÉ aquela que necessita em sua definiaquela que necessita em sua definiçãção explicitar seu o explicitar seu 
mmóódulo (quantidade) e uma unidade de medida, dulo (quantidade) e uma unidade de medida, 
diredireçãção e sentido. o e sentido. 
�� Exemplos:Exemplos:
�� 1) 1) ForForççaa: A for: A forçça aplicada em um corpo, possui a aplicada em um corpo, possui 
uma intensidade (muma intensidade (móódulo), numa diredulo), numa direçãção e num o e num 
sentido. sentido. 
�� Veja: uma forVeja: uma forçça de intensidade 20N (a de intensidade 20N (NewtonsNewtons), na ), na 
diredireçãção horizontal com sentido para direita, esto horizontal com sentido para direita, estáá
representada na figura a seguir:representada na figura a seguir:
20N
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�� Exemplos:Exemplos:
�� 2) 2) VelocidadeVelocidade: A velocidade indica movimento de um : A velocidade indica movimento de um 
corpo, assim, se um corpo possui uma velocidade corpo, assim, se um corpo possui uma velocidade 
diferente de zero, este corpo estdiferente de zero, este corpo estáá se deslocando com se deslocando com 
uma certa velocidade, numa determinada direuma certa velocidade, numa determinada direçãção e num o e num 
determinado sentido. Por exemplo: Uma bola sendo determinado sentido. Por exemplo: Uma bola sendo 
lanlanççada para o alto com uma velocidade de 12m/s ada para o alto com uma velocidade de 12m/s 
(metros por segundo), assim a dire(metros por segundo), assim a direçãção o éé vertical com vertical com 
sentido para cima e msentido para cima e móódulo igual a 12.dulo igual a 12.
12 m/s
Grandeza vetorial
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Vetores
�� O vetor O vetor éé uma classe de elementos matemuma classe de elementos matemááticos ao ticos ao 
qual se atribui 3 caracterqual se atribui 3 caracteríísticas: msticas: móódulo, diredulo, direçãção e o e 
sentido. sentido. 
��NotaNotaçãção: o: 
r
ABABa −==�
A
Ba
Origem 
do Vetor
Extremidade do 
vetor
Reta 
Suporte
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Vetores
�� MMóódulo:dulo: éé o tamanho do vetor (seu comprimento) e sero tamanho do vetor (seu comprimento) e seráá
denotado por :denotado por :
�� DireDireçãção:o: éé dada pela reta suporte que sustenta o vetor.dada pela reta suporte que sustenta o vetor.
�� Sentido:Sentido: éé indicado pela seta do vetor.indicado pela seta do vetor.
|AB|a|a| ==�
Direção
Sentido
Módulo
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Segmentos Orientados
�� DefiniDefiniçãção:o: Um segmento orientado Um segmento orientado éé um par ordenado um par ordenado 
(A,B) de pontos do espa(A,B) de pontos do espaçço. O ponto A o. O ponto A éé a origem e B a origem e B éé a a 
extremidade. Um segmento orientado do tipo (A,A) extremidade. Um segmento orientado do tipo (A,A) éé
chamado segmento orientado nulo.chamado segmento orientado nulo.
�� OBS:OBS:
�� 1) Muitas vezes vetores s1) Muitas vezes vetores sãão definidos como uma classe o definidos como uma classe 
de de equipolequipolêênciancia de segmentos orientado.de segmentos orientado.
�� 2) Vetores paralelos t2) Vetores paralelos têêm a mesma direm a mesma direçãção.o.
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Operações com Vetores
�� AdiAdiçãção:o: somar dois vetores quaisquer , consiste em aplicar somar dois vetores quaisquer , consiste em aplicar 
um mum méétodo chamado todo chamado "m"méétodo da poligonaltodo da poligonal““..
�� Para isso considere o ponto O um ponto qualquer no plano (ou Para isso considere o ponto O um ponto qualquer no plano (ou 
espaespaçço), transportamos um dos vetores fazendo coincidir a origem do o), transportamos um dos vetores fazendo coincidir a origem do 
vetor com o ponto O (sem mudar as caractervetor com o ponto O (sem mudar as caracteríísticas do vetor pois o sticas do vetor pois o 
movimento movimento éé rríígido),. Em seguida transportamos o outro vetor, gido),. Em seguida transportamos o outro vetor, 
fazendo coincidir a extremidade do primeiro com a origem do fazendo coincidir a extremidade do primeiro com a origem do 
segundo. Entsegundo. Entãão, fechamos a poligonal (que no caso de somente dois o, fechamos a poligonal (que no caso de somente dois 
vetores a poligonal servetores a poligonal seráá um trium triâângulo) obtendo a soma, como na figura ngulo) obtendo a soma, como na figura 
abaixo.abaixo.
u
v
u+v
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Operações com Vetores
�� AdiAdiçãção:o: Dados os vetores , o Dados os vetores , o 
vetor soma vetor soma éé o vetor de origem no ponto A e o vetor de origem no ponto A e 
extremidade no ponto D.extremidade no ponto D.
�� OBS: Uma variaOBS: Uma variaçãção do mo do méétodo da poligonal todo da poligonal éé o que o que 
chamamos de "chamamos de "mméétodo do paralelogramo"todo do paralelogramo" (muito usado (muito usado 
na soma de dois vetores). na soma de dois vetores). 
u
v
u+v
CDveABu == ��
vu
��
+
A
B = C
D
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Propriedades da Adição
�� Associativa:Associativa:
�� Comutativa:Comutativa:
�� Elemento Neutro:Elemento Neutro:
�� Elemento Oposto:Elemento Oposto:
uvvu
����
+=+
w)vu()wv(u ������ ++=++
uu00u/)nulovetoro(0,u ��
��
�
�
�
=+=+∃∀
0u)u()u(u/)opostovetoro(BAu,ABu
�
������
=+−=−+=−∃=∀
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Observação Importante
�� A subtração não é considerada uma A subtração não é considerada uma 
operação “atraente”, do ponto de vista operação “atraente”, do ponto de vista 
algébrico, pois não satisfaz nenhuma as algébrico, pois não satisfaz nenhuma as 
propriedade importante, assim é propriedade importante, assim é 
considerada a considerada a “somapelo oposto”, “soma pelo oposto”, isto é:isto é:
)v(uvu ���� −+=−
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Operações com Vetores
�� Produto por Escalar:Produto por Escalar: é uma operação cujo vetor 
resultante possui o módulo alterado, em relação ao 
vetor dado (aumenta ou diminui), sem que a 
direção do mesmo seja alterada. Quanto ao 
sentido do vetor resultante, pode ser alterado ou 
não (conforme o sinal do escalar).
u
αu, para α > 0
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Propriedades :
P1.P1.
P2.P2.
P3.P3.
P4. P4. 
ℜ∈βα∀βα=αβ e,v)()v( ��
ℜ∈α∀α±α=±α ,uv)uv( ����
ℜ∈βα∀β±α=β±α e,vvv)( ���
vv1 �� =⋅
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Operações com Vetores
�� Soma de um ponto com um vetor:Soma de um ponto com um vetor:
Intuitivamente, podemos entender Intuitivamente, podemos entender 
como o resultado do deslocamento de um como o resultado do deslocamento de um 
ponto material, inicialmente na origem do ponto material, inicialmente na origem do 
vetor, atvetor, atéé sua extremidade. sua extremidade. 
uP �+
PQuPQuQuP =⇔−=⇔=+ ���
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Propriedades :
P1.P1.
P2. Lei do Cancelamento de PontoP2. Lei do Cancelamento de Ponto
P3. Lei do Cancelamento de VetorP3. Lei do Cancelamento de Vetor
P4. P4. 
)vu(Av)uA( ���� ++=++
vuvAuA ���� =⇔+=+
BAuBuA =⇔+=+ ��
Au)uA( =+− ��
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Versor
�� DefiniDefiniçãção: O o: O versorversor de um vetor , de um vetor , 
diferente do vetor nulo, denotado por , diferente do vetor nulo, denotado por , éé
um vetor unitum vetor unitáário, ou seja, , com rio, ou seja, , com 
mesma diremesma direçãção e sentido do vetor , o e sentido do vetor , 
definido por .definido por .
v
�
ov
�
1|v| o =�
|v|
v
vo �
�
�
=
v
�
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Ângulo entre dois vetores
�� O O âângulo entre dois vetores , ngulo entre dois vetores , 
nnãão nulos, o nulos, éé o o âângulo entre ngulo entre 
os segmentos orientados que representam os os segmentos orientados que representam os 
vetores, com a restrivetores, com a restriçãção , quando o , quando 
os vetores sos vetores sãão transportados para um ponto o transportados para um ponto 
P, de tal forma que suas origens coincidam P, de tal forma que suas origens coincidam 
com este ponto P.com este ponto P.
CDveABu == ��
DPB)v,u(ang ��� ==θ
oo 1800 ≤θ≤
P = A = C
B
D
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Lei dos Co-Senos
A geometria plana nos dA geometria plana nos dáá que que 
onde onde αα éé o o âângulo entre os vetores u e v.ngulo entre os vetores u e v.
Essa Essa éé a chamada de a chamada de lei dos colei dos co--senossenos, onde u, , onde u, 
v e w sv e w sãão os lados de um trio os lados de um triâângulo qualquer ngulo qualquer 
e e αα éé um um âângulo interno ao tringulo interno ao triâângulo, ngulo, 
oposto ao lado w.oposto ao lado w.
α−+= cosuv2vuw 222
u
w 
v
αα
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�� VetorialmenteVetorialmente temos que temos que 
�� Note que o Note que o âângulo entre os vetores u e v ngulo entre os vetores u e v éé θθ
e ne nãão o o o αα. Temos que . Temos que αα ++ θθ = 180= 180°° e que e que 
coscos((αα) = ) = -- coscos((θθ)). Logo, a lei dos co. Logo, a lei dos co--senos senos 
ficarficaráá: .: .
Lei dos Co-Senos
vuw
���
+=
θ++=+= cosuv2vu|vu|w 2222 ��
u
w 
v
αα
u
θ
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Exercício
1.1. Dados os vetores u e v, de mDados os vetores u e v, de móódulo 2 e 6 dulo 2 e 6 
respectivamente, os quais formam entre si um respectivamente, os quais formam entre si um 
âângulo de 120ngulo de 120oo, determine o m, determine o móódulo da soma de dulo da soma de 
u e v e da diferenu e v e da diferençça de u por v.a de u por v.
2.2. Dado um triDado um triâângulo ABC, mostre ngulo ABC, mostre vetorialmentevetorialmente, , 
que o segmento que une os pontos mque o segmento que une os pontos méédios M e dios M e 
N de dois lados do triN de dois lados do triâângulo ngulo éé paralelo ao paralelo ao 
terceiro lado e metade do comprimento deste. O terceiro lado e metade do comprimento deste. O 
segmento segmento éé chamado de base mchamado de base méédia do dia do 
tritriâângulo.ngulo.
MN