Matemática II - AVAMEC 07

Prévia do material em texto

01/11/2021 15:00 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4808/acessar?continue=true 1/10
MINICURSO 2 AS FUNÇÕES E SUAS DERIVADAS
UNIDADE 4 DERIVADAS IMPLÍCITAS
Slide 9 de 9
Derive implicitamente:
I)   + = 100x2 y2
II)  x + xy + 2 = 2x3
III)   y + 3x − x = 3x2 y3
IV)   + 3x − x = 3x2 y3
Agora, a respeito dos itens acima, julgue (V ou F) as alternativas:
A resposta correta do item I é Va =dy
dx
−x
y
F
A resposta correta do item I é Vb =dy
dx
100 − x
y
F
A resposta correta do item II é Vc = 4xdy
dx
F
A resposta correta do item II é Vd = −4xdy
dx
F
A resposta correta do item III é Ve =dy
dx
−(1 + y + 6 )x2
x
F
QUESTÃO 1 DE 3





01/11/2021 15:00 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4808/acessar?continue=true 2/10
A resposta correta do item III é Vf =dy
dx
2 − 1 − y − 6x2
x
F
A resposta correta do item IV é Vg =dy
dx
1 + 2xy − 3y3
+ 9xx2 y2
F
A resposta correta do item IV é Vh =dy
dx
3 − 2xy − 3xy2
x
F
Respostas - Questão 1
Vamos derivar - em relação a - cada equação de cada item…
Para entender a resolução desse item, você precisa entender que para derivar usamos a regra
do produto: derivamos o primeiro e multiplicamos pelo segundo e adicionamos ao produto do
primeiro pela derivada do segundo. Como estamos derivando em relação a quando derivamos 
 consideramos como constante. Já quando derivamos consideramos como
constante. 
 x 
I.   + = 100x2 y2
 
 
 
 
  +     =  100x2 y2
2x ⋅   +  2y ⋅   =  0
dx
dx
dy
dx
2x  +  2y ⋅   =  0
dy
dx
2y ⋅   =   − 2x
dy
dx
  =  
dy
dx
−2x
2y
  =  
dy
dx
−x
y
II.  x + xy + 2 = 2x3
 xy 
 x,  
 x,    y   y,    x 



01/11/2021 15:00 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4808/acessar?continue=true 3/10
Ou seja,
Agora vamos derivar toda a equação :
Derivando considerando como variável e como constante: 
 
 
 
 
 xy   x   y 
1 ⋅ ⋅ y = 1 ⋅ 1 ⋅ y = y
dx
dx
Derivando considerando como variável e como constante: 
 
 
 
 
 xy   y   x 
x ⋅ 1 ⋅ = x ⋅
dy
dx
dy
dx
Adicionando as duas derivadas: 
 
(xy = y + x ⋅)′
dy
dx
 x + xy + 2 = 2x3
x + xy + 2 = 2x3
 
 
 
⟹   1 ⋅ + (y ⋅ + x ⋅ ) + 6 ⋅ = 0
dx
dx
dx
dx
dy
dx
x2
dx
dx
⟹   1 + (y + x ⋅ ) + 6 = 0
dy
dx
x2
⟹  x ⋅ = 0 − 1 − y − 6
dy
dx
x2
⟹ = −
dy
dx
1 + y + 6x2
x
III.   + ⋅ y − 1 = 0x2
1
2
+ ⋅ y − 1 = 0x2
1
2
 
 
⟹   2x ⋅ + = 0
dx
dx
1
2
dy
dx
⟹   2x + = 0
1
2
dy
dx
01/11/2021 15:00 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4808/acessar?continue=true 4/10
Vamos fazer as derivadas separadas:
Dessa forma, a derivada de é:
 
 
⟹    = −2x
1
2
dy
dx
⟹   2 ⋅ = 2 ⋅ (−2x)
1
2
dy
dx
⟹    = −4x
dy
dx
IV.   y + 3x − x = 3x2 y3
 ( y = 2x cdot ⋅ y + ⋅ 1 ⋅ = 2xy + ⋅x2 )′
dx
dx
x2
dy
dx
x2
dy
dx
 (3x = 3 ⋅ ⋅ + 3x ⋅ 3 ⋅ = 3 + 9x ⋅y3 )′
dx
dx
y3 y2
dy
dx
y3 y2
dy
dx
 (x = 1 ⋅)′
dx
dx
(3 = 0)′
  y + 3x − x = 3,  x2 y3
y + 3x − x = 3x2 y3
 
 
 
⟹   2xy + ⋅ + 3 + 9x ⋅ − 1 = 0x2
dy
dx
y3 y2
dy
dx
⟹    ⋅ + 9x ⋅ = −2xy − 3 + 1x2
dy
dx
y2
dy
dx
y3
⟹   ( + 9x ) ⋅ = −2xy − 3 + 1x2 y2
dy
dx
y3
⟹   ( + 9x ) ⋅ =x2 y2
dy
dx
  − 2xy − 3 + 1 y3
  + 9x  x2 y2
01/11/2021 15:00 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4808/acessar?continue=true 5/10
Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical;. Se o pé da escada for
puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, qual a
velocidade (em unidades de comprimento por segundo) com que a escada estará deslizando , quando seu pé
estiver a 15 unidades de comprimento da parede?
a 20 unidades
b 2, 30 unidades
c 2, 25 unidades
d 3 unidades
Nenhuma das alternativas anteriorese
QUESTÃO 2 DE 3

01/11/2021 15:00 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4808/acessar?continue=true 6/10
Resposta - Questão 2
Para resolver esse exercício - e qualquer outro de exatas - é interessante que você anote e analise
os dados do enunciado. Vamos lá? Primeiramente vamos definir as variáveis:
Outros dados::
Mas qual equação devemos derivar para encontrar essas taxas de variações? 
Vamos ver no triângulo da animação (antes da escada começar a cair) que representa a situação:
Pelo Teorema de Pitágoras,
 é o tempo (em segundos) que a escada começou a deslizar pela parede até quando parou;t 
 é a distância do pé da escada até a parede (no chão);x 
 é a distância do chão até o topo da escada.y 
A escada está afastando-se da parede a unidades de comprimento por segundo. Ora, ela se
distancia da parede no pé, né? Pois o seu topo sempre estará apoiado na parede - enquanto ela
não cair completamente. Ou seja, quanto mais ela desce e distancia da parede, mais o valor de 
 aumenta. Por isso dizemos que essa taxa de variação (3 unidades de comprimento por
segundo) é de em relação ao tempo: 
3
 x 
 x    = 3
dx
dt
A velocidade que a escada vai cair, vai depender da altura, né? Quanto mais alto, maior a
velocidade, ou seja, quanto maior o valor de maior a taxa da velocidade. Dessa forma,
quando o exercício fala da taxa em que a velocidade está deslizando, ele se refere à taxa de 
em relação ao tempo: . 
 y,  
 y 
 
dy
dt
E quando ele pergunta "qual a velocidade com que a escada estará deslizando , quando seu pé
estiver a 15 unidades de comprimento da parede", ele quer saber qual o valor de quando    
dy
dt
 x = 15
= +    ⟹   625 = +    ⟹   625 − =     (∗)252 x2 y2 x2 y2 x2 y2
01/11/2021 15:00 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4808/acessar?continue=true 7/10
Vamos derivar essa função em relação ao tempo :
Queremos saber qual o valor de quando . Para isso, vamos substituir esse valor na
equação :
Como queremos altura (comprimento), vamos considerar apenas o valor positivo. 
Agora, vamos encontrar sabendo que e :
 (t)
− =
 d(625) 
dt
 d( ) x2
dt
\d( ) y2
dt
 
 
 
 
 
 
⟹   0 − 2x ⋅ = 2y ⋅
dx
dt
dy
dt
⟹    − 2x ⋅ = 2y ⋅
dx
dt
dy
dt
⟹    ⋅ =
−2x
2y
dx
dt
dy
dt
⟹    ⋅ =    (∗∗)
−x
y
dx
dt
dy
dt
   
dy
dt
 x = 15
 (∗)
= 625 −    implies  y = ±y2 x2 625 −   x2
− −−−−−−−√
 
 
 
 
 
 
⟹   y = ± 625 −   152
− −−−−−−−−√
 implies  y = ± 625 − 225  − −−−−−−−−√
 implies  y = ± 400  − −−−√
 implies  y = ±20
   
dy
dt
 x = 15   y = 20
⋅ =    (∗∗)
−x
y
dx
dt
dy
dt
 
 
 
 
⟹    ⋅ 3 =
−15
20
dy
dt
⟹    =
−9
4
dy
dt
⟹    − 2, 25 =
dy
dt
01/11/2021 15:00 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4808/acessar?continue=true 8/10
Desse resultado concluímos que o topo da escada está deslizando a uma taxa de unidades
de comprimento por segundo - o sinal é negativo, pois a velocidade é decrescente à medida que 
aumenta.
 2, 25 
 t 
Se o raio de um círculo cresce à taxa de 30cm/s, a que taxa cresce a sua área em relação ao tempo, em função
do raio?
Dica: Use a fórmula da área do círculo.
a 10πr c /sm2
b 60πr c /sm2
c 50πr c /sm2
d 20πr c /sm2
e 80πr c /sm2
Resposta - Questão 3
A área de um círculo é dada por em que é o raio desse círculo. 
Veja que se o raio aumenta, diretamente a área também aumentará. Dessa forma, dizemos que a
área está em função do raio - é a variável dependente de .Mas como o raio aumenta? É com o
passar do tempo, né? Ou seja, quanto maior o tempo, maior o raio. 
Dessa forma, o raio está dependendo (em função) do tempo. Ou seja, a área depende do raio que
depende do tempo... Por tabela, a área também depende do tempo.
 A = ,  r2  r 
 A   r 
QUESTÃO 3 DE 3

01/11/2021 15:00 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4808/acessar?continue=true 9/10
Respondidas 3 de 3 questões.
SLIDE 9 DE 9
ANTERIORPRÓXIMO 
IR PARA O SLIDE:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mas como vamos encontrar a taxa em que a área cresce em função do tempo? 
Isso é o mesmo que encontrar né? Mas temos que lembrar quais variáveis depende de quais
para aplicar a regra da cadeia. 
O exercício nos deu a informação que o raio cresce - em relação ao tempo - à uma taxa de 
 ou seja, . 
Se então 
Assim,
Portanto, a área cresce à uma taxa de .
  ,  
dA
dt
 30 cm/s,     = 30.
dr
dt
 A = π ⋅ ,  r2   = 2π ⋅ r
dA
dr
= ⋅   ⟹    = 2π ⋅ r ⋅ 30
dA
dt
dA
dr
dr
dt
dA
dt
⟹    = 60π ⋅ r
dA
dt
 60π ⋅ r c /sm2
 REFAZER ATIVIDADE

https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/slide8.html
javascript:void(0)
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/slide1.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/slide2.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/slide3.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/slide4.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/slide5.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/slide6.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/slide7.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/slide8.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/slide9.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni4/index.html
01/11/2021 15:00 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4808/acessar?continue=true 10/10
REALIZAÇÃO E PRODUÇÃO:
http://www.labtime.ufg.br/
http://www.ufg.br/