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Exercícios de Matriz de Markov

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1 - Suponha que um rato é colocado no labirinto a seguir, e que ele se move aleatoriamente 
dentro do labirinto, sem capacidade de aprender. Ou seja, se existem k maneiras de sair de um 
compartimento, o rato escolhe uma das saídas com probabilidade 1/k. Suponha que o rato faz, 
em cada unidade de tempo, uma transição para um compartimento adjacente. Sela Xn o com-
partimento ocupado no instante n. Suponha que o compartimento 7 contém comida e no 
compartimento 8 o rato leva um choque elétrico, onde, nesses dois compartimentos ele para-
lisa. Determine a matriz de Markov para essa experiência. 
0 
 
 
2 
 
 
8 
 
1 
 
 
3 
 
 
5 
7 
 
 
4 
 
 
6 
 
2- Considere um modelo de mobilidade social, onde Xn representa a classe da n-ésima gera-
ção, e Xn = 0, 1, 2 se o indivíduo pertence, respectivamente, à classe baixa, média e alta. A ma-
triz de transição P é dada abaixo. Qual é, aproximadamente, a proporção de pessoas nas clas-
ses, quando n tende a infinito? 
 
 
 
 
 
 
3 - Um labirinto para camundongos consiste nos caminhos mostrados na figura abaixo. A in-
terseção 1 é a entrada e a 5 a saída. Em qualquer interseção, o camundongo tem probabilida-
des iguais de selecionar qualquer um dos caminhos disponíveis. Quando chegar à interseção 5, 
o camundongo poderá voltar a circular no labirinto. 
a) Expresse o labirinto como uma cadeia de Markov. 
b) Determine a probabilidade de o camundongo chegar à saída após três tentativas se 
começar na interseção 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Em um censo populacional de uma cidade de médio porte, foi constatado que a cada ano 
7% da população rural migra para a zona urbana e que 2% da população urbana migra para a 
zona rural. Supondo que este fenômeno social seja estável, não havendo mudanças nestas ta-
xas, temos os seguintes itens: 
a) Monte a matriz de transição. 
b) Em 5 anos, qual a probabilidade de um indivíduo, atualmente na zona urbana, ter migrado 
para a zona rural? 
c) Em longo prazo, qual será a taxa de migração da população para a zona urbana e para a zo-
na rural desta cidade (desconsiderando o crescimento populacional da cidade)? 
 
 
 
 
2 
3 
5 
4 1 
5 - Quais das seguintes matrizes são matrizes estocástica? 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
6 - Uma pesquisa de mercado de um produto comercializado em três diferentes marcas cons-
tatou as seguintes probabilidades: 
● Um consumidor da marca W deste produto, a cada compra, tem probabilidade 0,8 de man-
ter-se fiel à marca, probabilidade 0,05 de escolher a marca G e probabilidade 0,15 de escolher 
a marca R; 
● Um consumidor da marca G deste produto, a cada compra, tem probabilidade 0,9 de manter-
se fiel à marca, probabilidade 0,01 de escolher a marca W e probabilidade 0,09 de escolher a 
marca R; 
● Um consumidor da marca R deste produto, a cada compra, tem probabilidade 0,5 de manter-
se fiel à marca, probabilidade 0,3 de escolher a marca G e probabilidade 0,2 de escolher a 
marca W; 
Com base nestas informações, responda aos itens: 
a) Monte a matriz de transição. 
b) Em longo prazo, qual a probabilidade de um indivíduo optar pela marca G? 
c) Em longo prazo, qual taxa de indivíduos que terá optado pela marca R? 
7 - Suponha que a renda da ocupação de uma criança, como um adulto, depende da renda da 
ocupação de seus pais dado pela seguinte matriz de transição, onde L = renda baixa, renda 
média = M, H = renda alta 
5,04,01,0
2,06,02,0
2,03,05,0
H
M
L
HML
 
 
 a) Qual é a probabilidade de que o neto de uma família de baixa renda para a faixa de renda 
alta? 
 b) No longo prazo, que parte da população estará no nível de baixa renda?

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