Exercícios - Dependência Linear e Bases

Prévia do material em texto

Eber Fernandes de Souza 
eber.fernandes@discente.ufma.br 
Exercícios – Dependência Linear e Bases 
02/11/2021 
Exercícios – Dependência Linear e Bases 
1) Verificar a dependência linear dos vetores: 
a) u⃗ = (
1
2
, −3,6) e v⃗ = (−
1
8
,
3
4
, −
3
2
) 
b) a⃗ = (1,2,2), b⃗ = (−4,6,0) e c = (3,−1,2) 
c) a⃗ = (1,2, −1), b⃗ = (−2,3, −1) e c = (0,−1,2) 
Solução: 
a) Dois vetores podem ser ditos Linearmente Dependentes (L.D.) caso sejam paralelos, ou seja, 
existe α ∈ ℝ | u⃗ = αv⃗ 
(
1
2
,−3,6) = α (−
1
8
,
3
4
,−
3
2
) 
α = −4 
Os vetores u⃗ e v⃗ são L.D. 
b) Três vetores são ditos L.I. caso a única combinação linear possível deles seja a solução de 
coeficientes nulos. Escrevendo αa⃗ + βb⃗ + γc = 0⃗ , os vetores são L.I. caso a única solução seja 
α = β = γ = 0. 
αa⃗ + βb⃗ + γc = 0⃗ 
α(1,2,2) + β(−4,6,0) + γ(3,−1,2) = (0,0,0) 
 Agrupando por coordenadas: 
(1)
(2)
(3)
{
α − 4β + 3γ = 0
2α + 6β − γ = 0
2α + 2γ = 0
 
 De (3) concluímos que: 
2α = −2γ 
α = −γ 
 Substituindo em (2): 
2(−γ) + 6β − γ = 0 
mailto:eber.fernandes@discente.ufma.br
 Eber Fernandes de Souza 
eber.fernandes@discente.ufma.br 
Exercícios – Dependência Linear e Bases 
6β = 3γ 
β =
γ
2
 
 Substituindo em (1): 
−γ − 4(
γ
2
) + 3γ = 0 
0 = 0 
 O sistema é possível e indeterminado com solução: 
{
α = −γ
β =
γ
2
γ ∈ ℝ
 
 Portanto, os vetores a⃗ , b⃗ e c são L.D. 
c) 
αa⃗ + βb⃗ + γc = 0⃗ 
α(1,2, −1) + β(−2,3, −1) + γ(0,−1,2) = (0,0,0) 
Agrupando por coordenadas: 
(1)
(2)
(3)
{
α − 2β = 0
2α + 3β − γ = 0
−α − β + 2γ = 0
 
De (1) concluímos que: 
α = 2β 
Substituindo em (2) e (3): 
(2′)
(3′)
{
2(2β) + 3β − γ = 0
−(2β) − β + 2γ = 0
 
(2′)
(3′)
{
7β − γ = 0
−3β + 2γ = 0
 
De (2′) concluímos que: 
γ = 7β 
mailto:eber.fernandes@discente.ufma.br
 Eber Fernandes de Souza 
eber.fernandes@discente.ufma.br 
Exercícios – Dependência Linear e Bases 
Substituindo em (3′): 
−3β + 2(7β) = 0 
11β = 0 
β = 0 
Substituindo em (1): 
α = 0 
Substituindo em (3): 
γ = 0 
A solução do sistema é: 
{
α = 0
β = 0
γ = 0
 
Logo, os vetores são L.I. 
2) Escrever o vetor w⃗⃗⃗ = (−3,5,3) como combinação linear dos vetores a⃗ = (−1,2, −1) , b⃗ =
(−2,3, −1) e c = (0,−1,2). 
Solução: 
 
w⃗⃗⃗ = αa⃗ + βb⃗ + γc 
α(1,2, −1) + β(−2,3, −1) + γ(0,−1,2) = (−3,5,3) 
Agrupando por coordenadas: 
(1)
(2)
(3)
{
α − 2β = −3
2α + 3β − γ = 5
−α − β + 2γ = 3
 
 De (1) temos que: 
(1′) α = 2β − 3 
 Substituindo (1′) em (2) e (3): 
mailto:eber.fernandes@discente.ufma.br
 Eber Fernandes de Souza 
eber.fernandes@discente.ufma.br 
Exercícios – Dependência Linear e Bases 
2(2β − 3) + 3β − γ = 5 
7β − γ = 11 
(2′) β =
11 + γ
7
 
−(2β − 3) − β + 2γ = 3 
−3β + 2γ = 0 
(3′) γ =
3β
2
 
 Combinando (2′) e (3′): 
γ =
3
2
(
11 + γ
7
) 
14γ = 33 + 3γ 
11γ = 33 
γ = 3 
 Substituindo γ = 3 em (2′): 
β =
11 + 3
7
 
β = 2 
 Substituindo β = 2 em (1′): 
α = 1 
 Escrevendo w⃗⃗⃗ como combinação linear de a⃗ , b⃗ e c : 
w⃗⃗⃗ = a⃗ + 2b⃗ + 3c 
3) Verificar quais dos conjuntos abaixo é uma base do ℝ3 
a) a⃗ = (1,0,2), b⃗ = (−2,3,1) e c = (3,2, −2) 
b) u⃗ = (1,0,0), v⃗ = (2,3,1) e w⃗⃗⃗ = (−1,−6,−2) 
Solução: 
Para que um conjunto de vetores seja considerado base do espaço ℝ3 devem ser satisfeitas duas 
condições: 
mailto:eber.fernandes@discente.ufma.br
 Eber Fernandes de Souza 
eber.fernandes@discente.ufma.br 
Exercícios – Dependência Linear e Bases 
I. O conjunto de vetores é L.I. 
II. O conjunto de vetores gera o espaço. 
a) 
Para que o conjunto de vetores seja L.I., o determinante da matriz dos coeficientes da 
combinação linear abaixo deve ser diferente de zero: 
αa⃗ + βb⃗ + γc = 0⃗ 
α(1,0,2) + β(−2,3,1) + γ(3,2, −2) = (0,0,0) 
{
α − 2β + 3γ = 0
3β + 2γ = 0
2α + β − 2γ = 0
 
Chamando de A a matriz de coeficientes do sistema, temos: 
A = [
1 −2 3
0 3 2
2 1 −2
] 
det(A) = (−6) + (−8) + 0 − 18 − 2 − 0 = −34 ≠ 0 
O conjunto de vetores é L.I. 
Para determinar se o conjunto de vetores gera o espaço, escrevemos um vetor genérico w⃗⃗⃗ =
(x, y, z) como combinação linear do conjunto de vetores a⃗ , b⃗ e c e resolvemos o sistema para α, β 
e γ: 
w⃗⃗⃗ = αa⃗ + βb⃗ + γc 
(x, y, z) = α(1,0,2) + β(−2,3,1) + γ(3,2, −2) 
(1)
(2)
(3)
{
α − 2β + 3γ = x
3β + 2γ = y
2α + β − 2γ = z
 
De (1), temos: 
(1′) α = 2β − 3γ + x 
Substituindo (1′) em (3), temos: 
2(2β − 3γ + x) + β − 2γ = z 
5β − 8γ + 2x = z 
mailto:eber.fernandes@discente.ufma.br
 Eber Fernandes de Souza 
eber.fernandes@discente.ufma.br 
Exercícios – Dependência Linear e Bases 
−8γ = −5β − 2x + z 
(3′) γ =
5β
8
+
x
4
−
z
8
 
De (2), temos: 
3β + 2γ = y 
3β = −2γ + y 
(2′) β = −
2γ
3
+
y
3
 
Substituindo (2′) em (3′): 
γ =
5
8
(−
2γ
3
+
y
3
) +
x
4
−
z
8
 
γ = −
5γ
12
+
5y
24
+
x
4
−
z
8
 
Multiplicando ambos os lados por 24: 
24γ = −10γ + 5y + 6x − 3z 
34γ = 6x + 5y − 3z 
γ =
3x
17
+
5y
34
−
3z
34
 
Substituindo o valor de γ em (2′): 
β = −
2
3
(
3x
17
+
5y
34
−
3z
34
) +
y
3
 
β = −
2x
17
−
5y
51
+
2z
34
+
y
3
 
β = −
2x
17
+
4y
17
+
z
17
 
Substituindo β e γ em (1′): 
α = 2 (−
2x
17
+
4y
17
+
z
17
) − 3 (
3x
17
+
5y
34
−
3z
34
) + x 
α = −
4x
17
+
8y
17
+
2z
17
−
9x
17
−
15y
34
+
9z
34
+ x 
α =
4x
17
+
y
17
+
13z
34
 
mailto:eber.fernandes@discente.ufma.br
 Eber Fernandes de Souza 
eber.fernandes@discente.ufma.br 
Exercícios – Dependência Linear e Bases 
Portanto, o conjunto de vetores a⃗ , b⃗ e c gera o espaço através das fórmulas: 
{
 
 
 
 α =
4x
17
+
y
17
+
13z
34
β = −
2x
17
+
4y
17
+
z
17
γ =
3x
17
+
5y
34
−
3z
34
 
As duas condições foram atendidas, logo o conjunto é base de ℝ3. 
 
b) 
Para que o conjunto de vetores seja L.I., o determinante da matriz dos coeficientes da 
combinação linear abaixo deve ser diferente de zero: 
αu⃗ + βv⃗ + γw⃗⃗⃗ = 0⃗ 
α(1,0,0) + β(2,3,1) + γ(−1,−6, −2) = (0,0,0) 
{
α + 2β − γ = 0
3β − 6γ = 0
β − 2γ = 0
 
Chamando de B a matriz de coeficientes do sistema, temos: 
B = [
1 2 −1
0 3 −6
0 1 −2
] 
det(B) = (−6) + 0 + 0 − 0 − (−6) − 0 = 0 
Logo, o conjunto de vetores u⃗ , v⃗ e w⃗⃗⃗ é L.D. e não é base de ℝ3 
4) Determine m para que os vetores u⃗ = (2,m, 2), v⃗ = (3,m, 0) e w⃗⃗⃗ = (1, −3,4) formem uma 
base do ℝ3. 
Solução: 
O conjunto dos vetores deve ser L.I.: 
αu⃗ + βv⃗ + γw⃗⃗⃗ = 0⃗ 
α(2,m, 2) + β(3,m, 0) + γ(1,−3,4) = (0,0,0) 
mailto:eber.fernandes@discente.ufma.br
 Eber Fernandes de Souza 
eber.fernandes@discente.ufma.br 
Exercícios – Dependência Linear e Bases 
{
2α + 3β + γ = 0
mα +mβ − 3γ = 0
2α + 4γ = 0
 
Chamando de C a matriz de coeficientes do sistema, temos: 
C = [
2 3 1
m m −3
2 0 4
] 
det(C) = 8m − 18 − 2m − 12m 
det(C) = −6m− 18 
Para que o conjunto seja L.I., det(C) ≠ 0: 
−6m − 18 ≠ 0 
m ≠ −3 
5) Determine os valores de m para que os vetores u⃗ = (2,m, 8), v⃗ = (m + 4,−1,3) e w⃗⃗⃗ =
(7,4m, 31) sejam L.D. 
Solução: 
O conjunto dos vetores deve ser L.D.: 
αu⃗ + βv⃗ + γw⃗⃗⃗ = 0⃗ 
α(2,m, 8) + β(m+ 4,−1,3) + γ(7,4m, 31) = (0,0,0) 
{
2α + (m + 4)β + 7γ = 0
mα − β + 4mγ = 0
8α + 3β + 31 = 0
 
Chamando de D a matriz de coeficientes do sistema, temos: 
D = [
2 m + 4 7
m −1 4m
8 3 31
] 
det(D) = −62 + 32m2 + 128m + 21m + 56 − 24m − 31m2 − 124m 
det(C) = m2 +m− 6 
Para que o conjunto seja L.I., det(C) = 0: 
m2 +m− 6 = 0 
(m − 2)(m + 3) = 0 
mailto:eber.fernandes@discente.ufma.br
 Eber Fernandes de Souza 
eber.fernandes@discente.ufma.br 
Exercícios – Dependência Linear e Bases 
m = −3 
m = 2 
mailto:eber.fernandes@discente.ufma.br