Cálculos de Modelos de Filas

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1) Modelo M/M/1//FIFO 
12000
 caracteres/minuto = 200 caracteres/segundo 
250
 caracteres/segundo 
2,3
)200250(250
200
L
2
q 


 caracteres 
 
2)  = 4 clientes/hora  ritmo de chegada 
  = 6 atendimentos/hora  ritmo de atendimento 
a) P0 = 
%33,333333,0
6
4
.
6
4
1
0













 
b) P1 = 
%22,222222,0
6
4
.
6
4
1
1













 
c) P3 + P4 = 
%46,161646,0
0658,00988,0
6
4
.
6
4
1
6
4
.
6
4
1
43

























 
d) Pn5 = 1 - Pn<5 = 1 – [P0 + P1 + P2 + P3 + P4] = 
=1 - 




















 0658,00988,0
6
4
.
6
4
12222,03333,0
2= 
 0658,00988,01481,02222,03333,01  = 1 – 0,8682 = 
= 0,1318 = 13,18% 
e) L = 
2
46
4


  no. de usuários no sistema 
 Custo horário do cliente no sistema: 10 . 2 = $ 20,00 
 
 
3)  = 12 falhas/semana  ritmo de chegada 
Marca A: 
 Custo = $ 20,00 
 Capacidade = 15 consertos/semana 
Marca B: 
 Custo = $ 80,00 
 Capacidade = 50 consertos/semana 
Custo da máquina parada = $500,00/semana 
Tempo útil de vida dos equipamentos A e B = 5 anos 
 
Marca L Custo da máquina 
parada 
Custo anual 
do 
equipamento 
Custo anual 
total do 
equipamento 
A 
4
1215
12


 
500*4 = 2000 20000.0,2984 
= $5.968,00 
2000.52 + 
5968 = 
$109.986,00 
B 
3158,0
1250
12


 
500.0,3158 = 157,9 80000.0,2984 
= $23.872,00 
157,9 . 52 + 
23872 = 
$32.082,52 
O equipamento B terá o menor custo total anual. 
 
4) a) 
Servidor   Lq Wq W L 
1 10 15 
 
333,1
101515
102


 
 
1333,0
101515
10


 
 
20,0
1015
1


 
 
2
1015
10


 
2 5 30 
 
033,0
53030
52


 
 
0067,0
53030
5


 
 
04,0
530
1


 
 
2,0
530
5


 
3 15 20 
 
25,2
152020
152


 
 
15,0
152020
15


 
 
20,0
1520
1


 
 
3
1520
15


 
 
b) Para um sistema como um todo: 
 L = 2 + 0,2 + 3 = 5,2 
 W = 
 Pelo servidor 1: W1 = W (1) + W (3) = 0,20 + 0,20 = 0,40 
 Pelo servidor 2: W2 = W (2) + W (3) = 0,04 + 0,20 = 0,24 
 
5) a) 20% rejeitados 
 Tempo que chega um novo produto: 
 
h/5,160.025,0
40
11
min40IC 


 
 Instalador:  = 1,5 
4,2
25
60
min25TA 
 
 Inspetor:  = 1,5 
12
5
60
min5TA 
 
 Reparador:  = 1,5 . 0,20 = 0,3 
6
10
60
min10TA 
 
 Deslocamento: 1 min 
 
Servi
dor 
  Lq Wq L W 
hora 
W 
min 
Insta 
lador 
1,5 2,4 
 
042,1
5,14,24,2
5,1 2


 
 
694,0
5,14,24,2
5,1


 
 
67,1
5,14,2
5,1


 
 
11,1
5,14,2
1


 66,7 
Inspe
tor 
1,5 12 
 
018,0
5,11212
5,1 2


 
 
012,0
5,11212
5,1


 
 
14,0
5,112
5,1


 
 
10,0
5,112
1


 
5,7 
Repa
rador 
0,3 6 
 
003,0
3,066
3,0 2


 
 
009,0
3,066
3,0


 
 
05,0
3,06
3,0


 
 
18,0
3,06
1


 10,5 
b) Para um sistema como um todo: 
 L = 1,67 + 0,14 + 0,05 = 1,86 
 W = (incluindo deslocamento) 
 Para quem não passa pelo reparo:W = 66,7 + 5,7 + 1 = 73,4 
 Para quem passa pelo reparo:W = 66,7 + 5,7 + 10,5 + 1 + 1 = 84,9 
Fazendo uma média ponderada: 
W = 73,4 . 0,80 + 84,9 . 0,20 = 75,7 
 
6) Modelo M/M/1//FIFO 
60
 veículos/h 
360
 veículos/h 
a) 
%7,16167,0
360
60

 
b) P0 = 
833,0167,011 
 
Como esse valor é maior que qualquer Pn , então o número de carros mais 
provável é zero. 
c) 
2
)60360(360
60
Wq 


 segundos 
 
7) Modelo M/M/1 

  chamadas/min 
3
1
3TA 
 chamadas/min 
17,03
3
1
3
1
Wq 









chamadas/min 
 
8) Modelo M/M/1 
 = 30 trabalhos/h 
10
 trabalhos/h 
3
10
30
 
Como  > 1 o sistema não entra no regime estacionário de P0 não pode ser 
calculada. 
 
9) Modelo M/M/4 
 = 80 clientes/h 
 = 360 clientes/h 
 
0556,0
18
1
3604
80

 < 1 
a) 
 































14
0n
4n0
3604
80
1
1
.
!4
360
80
!n
360
80
1
P
 
0,8007P0 
 
0,17798007,0.
!1
360
80
P
1
1 






 0,01988007,0.
!2
360
80
P
2
2 






 0,00158007,0.
!3
360
80
P
3
3 






 
Fração do tempo que um balconista qualquer estar desocupado: 
 somatório (produto da probabilidade de n usuários no sistema x probabilidade do 
atendente) 
 
94,44%0,94440,00040,00990,13350,8007
4
1
.P
4
2
.P
4
3
.P
4
4
.P 3210 
 
 
b) 
 
  0,01%0,00010,00150,01980,17790,80071
1)3(1)3( 3210

 PPPPnPnP
 
 
10) Modelo M/M/5 
 = 30 usuários/h 
TA = 36 segundos/chamada   = 
100
36
60x60

 usuários/h 
 
06,0
50
3
1005
30

 < 1 
a) 
 































15
0n
5n0
1005
30
1
1
.
!5
100
30
!n
100
30
1
P
 
3,0
100
30

 0,00002
120
0024,0
!5
100
30
5







 
 
1,0638
06,01
1
1005
30
1
1




 
n = 0   
 0638,1.00002,0
!0
3,0
0 1 
n = 1   
 0638,1.00002,0
!1
3,0
1 0,3 
n = 2   
 0638,1.00002,0
!2
3,0
2 0,045 
n = 3   
 0638,1.00002,0
!3
3,0
3 0,0045 
n = 4   
 0638,1.00002,0
!4
3,0
4 0,0004 
 
 
0,7408
1,3499
1
0004,00045,0045,03,01
1
P0 


 
 
 
90,00000101
06,01!5
06,0.
100
30
.7408,0
L
2
5
q 







 
03950,00000003
30
90,00000101
Wq 
 
 
Praticamente não existe fila para o serviço 
 
11) Modelo M/M/3 
 = 60 usuários/h 
TA = 2 minutos/usuários   = 
30
2
60

 usuários/h 
 
6667,0
3
2
303
60

 < 1 
a) 
 































13
0n
3n0
303
60
1
1
.
!3
30
60
!n
30
60
1
P
 
 
%11,111111,0P0 
 
 
b) Não haverá fila se no máximo 2 postos estiver ocupado. 
0,22221111,0.
!1
30
60
P
1
1 






 0,22221111,0.
!2
30
60
P
2
2 






 
 
P0 + P1 + P2 = 0,1111 + 0,2222 + 0,2222 = 0,5556 = 55,56% 
 
c) 
 
0,8889
6667,01!3
6667,0.
30
60
.1111,0
L
2
3
q 







 usuários na fila 
89,2
30
60
8889,0L 
 usuários no sistema 
 
d) 
0148,0
60
8889,0
Wq 
 minutos 
0481,0
30
1
0148,0W 
 minutos 
 
e) O sistema pode estar com 0, 1, 2 ou 3 postos vazios. Esses eventos 
acontecem com probabilidades P3 , P2 , P1 , P0 , respectivamente. 
0,14811111,0.
!3
30
60
P
3
3 






 
V = número de postos vazios 
E(V) = 0 x 0,1481 + 1 x 0,2222 + 2 x 0,2222 + 3 x 0,1111  0,99 
 
12) 
a) Modelo M/M/1 
Para cada caixa  = 

2
40
20 clientes/hora   = 
3
1
 clientes/minuto 
TA = 2 minutos  
2
1

 clientes/minuto 
6667,0
3
2
2
1
3
1
 
P0 = 
%33,333333,06667,01
3
2
.
3
2
1
0













 
Lq = 33,1
3
1
2
1
2
1
3
1
2














 clientes na fila 
L = 2
3
1
2
1
3
1








 clientes no sistema 
Wq = 4
3
1
2
1
2
1
3
1














minutos na fila 
W = 
6
3
1
2
1
1


 minutos no sistema 
Considerando que há 2 caixas em funcionamento, tem-se para o banco: 
 Lq = 2,66 clientes na fila 
 L = 4 clientes no sistema 
 Wq = 4 minutos na fila 
 W = 6 minutos no sistema 
 Probabilidade de um cliente qualquer não ter que esperar: 
(P0)
2 = 0,1111 = 11% 
 Probabilidade de algum caixa estar ocioso: 
P0 + P0 - (P0)
2 = 0,5555 = 56% 
 
b) Modelo M/M/2 
Para cada caixa  = 40 clientes/hora   = 
3
2
 clientes/minuto 
TA = 2,4 minutos  
4,2
1

 clientes/minuto 
s = 2 caixas 
8,0
4,2
1
2
3
2







 < 1 




























































12
0n
2n0
4,2
1
2
3
2
1
1
.
!2
4,2
1
3
2
!n
4,2
1
3
2
1
P
 
1111,0P0
 
 
 
 
8444,2
08,01!2
8,0.6,1.1111,0
L
2
2
q 


 clientes na fila 
44,46,18444,2L 
 clientes no sistema 
267,4
3
2
1,66
Wq 
 minutos na fila 
6667,6
4,2
1
1
267,4W 
 minutos no sistema 
Probabilidade de um cliente qualquer não ter que esperar: 
P0 + P1 = 0,1111 + 0,1778 = 0,2889 = 29% 
 
 
0,17781111,0.
!1
6,1
P
1
1 
 
 
Probabilidade de algum caixa estar ocioso: 
P0 + P1 = 0,1111 + 0,1778 = 0,2889 = 29% 
 
Resumindo: 
Medida de desempenho 2 caixas independentes 2 caixas com fila única 
P0 33,33% 11,11% 
Lq 2,66 clientes 2,84 clientes 
L 4 clientes 4,44 clientes 
Wq 4 minutos 4,27 minutos 
W 6 minutos 6,67 minutos 
P(pelo menos 1 caixa ocioso) 56% 29% 
 
Para o cliente a situação (a) é a melhor pois apresenta uma probabilidade 
maior de não encontrar fila, embora possam ficar mais tempo no banco caso 
encontrem fila. Para o banco a situação (b) apresenta melhor configuração 
pelo fato da taxa de ociosidade ser menor. 
 
13) M / M / 3 /  /  / FIFO 
 
14) a)  = 0,3 clientes/min  ritmo de chegada 
TA = 2 min  
5,0
2
1

 atendimentos/min  ritmo de atendimento 
 Taxa de ocupação do sistema: 
60,0
5,0
3,0

 
 Número médio de clientes no sistema: 
5,1
3,05,0
3,0
L 


 clientes 
 Número médio de clientes na fila: 
Lq = 
 
9,0
3,05,05,0
3,0 2


 clientes 
 Tempo médio durante o qual o cliente fica no sistema: 
min5
3,05,0
1
W 


 
 Tempo médio durante o qual o cliente fica na fila: 
Wq = 
 
min3
3,05,05,0
3,0


 
 
 Probabilidade de o sistema estar vazio: 
P0 = 
40,0
5,0
3,0
.
5,0
3,0
1
0













 
Probabilidade de 40% de um cliente chegar ao banco e ser atendido 
imediatamente. 
 
 Probabilidade de o sistema estar cheio: 
Pn>5 = 1 - Pn5 = 1 – [P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5] = 
=1 - 





































































54321
5,0
3,0
.
5,0
3,0
1
5,0
3,0
.
5,0
3,0
1
5,0
3,0
.
5,0
3,0
1
5,0
3,0
.
5,0
3,0
1
5,0
3,0
.
5,0
3,0
140,0
= 
=1 - 
 0311,00518,00864,0144,024,040,0 
= 1 – 0,9533 = 
= 0,0467 = 4,67% 
 
Os valores obtidos indicam um sistema improdutivo que pode atender a 
um aumento de demanda. 
 
b)  = 0,3 + 0,3 . 0,50 = 0,45 clientes/min  ritmo de chegada 
  = 0,5 atendimentos/min  ritmo de atendimento 
 Taxa de ocupação do sistema: 
9,0
5,0
45,0

 
 Número médio de clientes no sistema: 
9
45,05,0
45,0
L 


 clientes 
 Número médio de clientes na fila: 
Lq = 
 
1,8
45,05,05,0
45,0 2


 clientes 
 Tempo médio durante o qual o cliente fica no sistema: 
min20
45,05,0
1
W 


 
 Tempo médio durante o qual o cliente fica na fila: 
Wq = 
 
min18
45,05,05,0
45,0


 
 Probabilidade de o sistema estar vazio: 
P0 = 
10,0
5,0
45,0
.
5,0
45,0
1
0













 
Probabilidade de 10% de um cliente chegar ao banco e ser atendido 
imediatamente. 
 
 Probabilidade de o sistema estar cheio: 
Pn>5 = 1 - Pn5 = 1 – [P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5] = 
=1 - 





































































54321
5,0
45,0
.
5,0
45,0
1
5,0
45,0
.
5,0
45,0
1
5,0
45,0
.
5,0
45,0
1
5,0
45,0
.
5,0
45,0
1
5,0
45,0
.
5,0
45,0
110,0
= 
=1 - 
 059,00656,00729,00810,009,010,0 
= 1 – 0,4686 = 
= 0,4686 = 53,14% 
 
Na segunda situação as medidas de desempenho mostram uma melhor 
utilização da agência do ponto de vista gerencial, entretanto, com o 
aumento dos tempos no sistema e na fila, a agência pode ter problemas 
com os clientes habituais. 
 
15)  = 10 /hora  ritmo de chegada 
TA = 4 min  
15
4
60

/hora  ritmo de atendimento 
a) P0 = 
%33,333333,0
15
10
.
15
10
1
0













 
b) Lq = 
 
33,1
101515
102


 
c) W = 
 
min1260.20,0h20,0
1015
1


 
 
16)  = 10 operários/hora  ritmo de chegada 
 1 atendente x $6,00/h 
TA = 5 min  
12
5
60

/hora  ritmo de atendimento 
 + 1 ajudante x $4,00/h 
TA = 4 min  
15
4
60

/hora  ritmo de atendimento 
 Custo do operário = $10,00/h 
 
Objetivo: minimizar o custo de paralisação dos operários no almoxarifado 
mais o custo do atendimento. 
Custo esperado = custo do atendimento + custo do operário no sistema 
Custo do operário no sistema = custo do operário x tempo médio dos operários 
no sistema x no. de operários no sistema 
 
Alternativas W Custo do 
atendimento 
Custo do operário 
no sistema 
Custo esperado 
Sem 
ajudante 50,0
1012
1


 
$6,00 10.0,5.10 = $50,00 $6,00 + $50,00 = 
$56,00 
Com 
ajudante 20,0
1015
1


 
$6,00 + $4,00 = 
$10,00 
10.0,2.10 = $20,00 $10,00 + $20,00 
= $30,00 
 
A economia com a contratação do ajudante será de $56,00 - $30,00 = $26,00. 
 
17)  = 40 clientes/h  ritmo de chegada 
  = 60 atendimentos/h  ritmo de atendimento 
 
a) Taxa de ocupação do funcionário: 
6667,0
60
40

 
 
b) Comprimento médio da fila: 
Lq = 
 
33,1
406060
402


 clientes 
 
c) Número médio de clientes no sistema: 
2
4060
40
L 


 clientes 
d) Tempo médio despendido esperando na fila: 
Wq = 
 
033,0
406060
40


 horas 
e) Tempo médio no sistema: 
05,0
4060
1
W 


horas 
 
18)  = 40 alunos/h  ritmo de chegada 
  = 90 atendimentos/h  ritmo de atendimento 
 
a) Taxa de ocupação da máquina: 
4444,0
90
40

 
b) Comprimento médio da fila: 
Lq = 
 
356,0
409090
402


 
c) Número médio de alunos no sistema: 
8,0
4090
40
L 


 
 
d) Tempo médio despendido esperando na fila: 
Wq = 
 
0089,0
409090
40


 
e) Tempo médio no sistema: 
02,0
4090
1
W 

