GAAL - Aula 03

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Escalonamento...revisa˜o da aula anterior
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Escalonamento...revisa˜o da aula anterior
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Escalonamento...revisa˜o da aula anterior
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Escalonamento...revisa˜o da aula anterior
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Escalonamento...revisa˜o da aula anterior
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Escalonamento...revisa˜o da aula anterior
Operac¸o˜es elementares em linhas:
I Trocar da posic¸a˜o de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um nu´mero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um mu´ltiplo de outra linha.
(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operac¸o˜es elementares em linhas na˜o alteram o
conjunto soluc¸a˜o do sistema linear.
Exerc´ıcios deixados na aula anterior
Resolva cada um dos sistemas lineares

x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1
x − 2y + z = 3

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
Vai acompanhar melhor quem tentou em casa.
Exerc´ıcios deixados na aula anterior
Resolva cada um dos sistemas lineares

x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1
x − 2y + z = 3

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
Vai acompanhar melhor quem tentou em casa.
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1
x − 2y + z = 3
 1 1 2 52 3 4 −1
1 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1
x − 2y + z = 3
 1 1 2 52 3 4 −1
1 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1
x − 2y + z = 3
 1 1 2 52 3 4 −1
1 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1
x − 2y + z = 3
 1 1 2 52 3 4 −1
1 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1
x − 2y + z = 3
 1 1 2 52 3 4 −1
1 −2 1 3

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2

x + 2z = 16
y = −11
−z = −35
 1 0 2 160 1 0 −11
0 0 −1 −35

L3 ← −L3
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2

x + 2z = 16
y = −11
−z = −35
 1 0 2 160 1 0 −11
0 0 −1 −35

L3 ← −L3
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2

x + 2z = 16
y = −11
−z = −35
 1 0 2 160 1 0 −11
0 0 −1 −35

L3 ← −L3
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + y + 2z = 5
y = −11
− 3y − z = −2
 1 1 2 50 1 0 −11
0 −3 −1 −2

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2

x + 2z = 16
y = −11
−z = −35
 1 0 2 160 1 0 −11
0 0 −1 −35

L3 ← −L3
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + 2z = 16
y = −11
z = 35
 1 0 2 160 1 0 −11
0 0 1 35

L1 ← L1 − 2L3
x = −54
y = −11
z = 35
 1 0 0 −540 1 0 −11
0 0 1 35

Soluc¸a˜o: x = −54, y = −11 e z = 35.
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + 2z = 16
y = −11
z = 35
 1 0 2 160 1 0 −11
0 0 1 35

L1 ← L1 − 2L3

x = −54
y = −11
z = 35
 1 0 0 −540 1 0 −11
0 0 1 35

Soluc¸a˜o: x = −54, y = −11 e z = 35.
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + 2z = 16
y = −11
z = 35
 1 0 2 160 1 0 −11
0 0 1 35

L1 ← L1 − 2L3
x = −54
y = −11
z = 35
 1 0 0 −540 1 0 −11
0 0 1 35

Soluc¸a˜o: x = −54, y = −11 e z = 35.
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 1

x + 2z = 16
y = −11
z = 35
 1 0 2 160 1 0 −11
0 0 1 35

L1 ← L1 − 2L3
x = −54
y = −11
z = 35
 1 0 0 −540 1 0 −11
0 0 1 35

Soluc¸a˜o: x = −54, y = −11 e z = 35.
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 2

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
 1 −2 1 22 −5 1 −1
3 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1

x − 2y + z = 2
−y − z = −5
−y − z = −4
 1 −2 1 20 −1 −1 −5
0 −1 −1 −4

L2 e L3 sa˜o incoerentes. Sistema imposs´ıvel. S = ∅
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 2

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
 1 −2 1 22 −5 1 −1
3 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1

x − 2y + z = 2
−y − z = −5
−y − z = −4
 1 −2 1 20 −1 −1 −5
0 −1 −1 −4

L2 e L3 sa˜o incoerentes. Sistema imposs´ıvel. S = ∅
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 2

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
 1 −2 1 22 −5 1 −1
3 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1

x − 2y + z = 2
−y − z = −5
−y − z = −4
 1 −2 1 20 −1 −1 −5
0 −1 −1 −4

L2 e L3 sa˜o incoerentes. Sistema imposs´ıvel. S = ∅
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 2

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
 1 −2 1 22 −5 1 −1
3 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1

x − 2y + z = 2
−y − z = −5
−y − z = −4
 1 −2 1 20 −1 −1 −5
0 −1 −1 −4

L2 e L3 sa˜o incoerentes. Sistema imposs´ıvel. S = ∅
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 2

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
 1 −2 1 22 −5 1 −1
3 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1

x − 2y + z = 2
−y − z = −5
−y − z = −4
 1 −2 1 20 −1 −1 −5
0 −1 −1 −4

L2 e L3 sa˜o incoerentes. Sistema imposs´ıvel. S = ∅
Soluc¸a˜o, exerc´ıcio 2

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
 1 −2 1 22 −5 1 −1
3 −7 2 2

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1

x − 2y + z = 2
−y − z = −5
−y − z = −4
 1 −2 1 20 −1 −1 −5
0 −1 −1 −4

L2 e L3 sa˜o incoerentes. Sistema imposs´ıvel. S = ∅
Exerc´ıcio 1.2.10 (a)
Encontre condic¸o˜es sobre b1, b2 e b3 para que o sistema tenha
soluc¸a˜o. 
x − 2y + 5z = b1
4x − 5y + 8z = b2
−3x + 3y − 3z = b3
Soluc¸a˜o. Vamos escalonar
 1 −2 5 b14 −5 8 b2
−3 3 −3 b3
 L2 ← L2 − 4L1 e L3 ← L3 + 3L1
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

Exerc´ıcio 1.2.10 (a)
Encontre condic¸o˜es sobre b1, b2 e b3 para que o sistema tenha
soluc¸a˜o. 
x − 2y + 5z = b1
4x − 5y + 8z = b2
−3x + 3y − 3z = b3
Soluc¸a˜o.
Vamos escalonar
 1 −2 5 b14 −5 8 b2
−3 3 −3 b3
 L2 ← L2 − 4L1 e L3 ← L3 + 3L1
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

Exerc´ıcio 1.2.10 (a)
Encontre condic¸o˜es sobre b1, b2 e b3 para que o sistema tenha
soluc¸a˜o. 
x − 2y + 5z = b1
4x − 5y + 8z = b2
−3x + 3y − 3z = b3
Soluc¸a˜o. Vamos escalonar
 1 −2 5 b14 −5 8 b2
−3 3 −3 b3

L2 ← L2 − 4L1 e L3 ← L3 + 3L1
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

Exerc´ıcio 1.2.10 (a)Encontre condic¸o˜es sobre b1, b2 e b3 para que o sistema tenha
soluc¸a˜o. 
x − 2y + 5z = b1
4x − 5y + 8z = b2
−3x + 3y − 3z = b3
Soluc¸a˜o. Vamos escalonar
 1 −2 5 b14 −5 8 b2
−3 3 −3 b3
 L2 ← L2 − 4L1 e L3 ← L3 + 3L1
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

Exerc´ıcio 1.2.10 (a)
Encontre condic¸o˜es sobre b1, b2 e b3 para que o sistema tenha
soluc¸a˜o. 
x − 2y + 5z = b1
4x − 5y + 8z = b2
−3x + 3y − 3z = b3
Soluc¸a˜o. Vamos escalonar
 1 −2 5 b14 −5 8 b2
−3 3 −3 b3
 L2 ← L2 − 4L1 e L3 ← L3 + 3L1
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

Exerc´ıcio 1.2.10 (a)
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

L3 ← L3 + L2  1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 0 0 −b1 + b2 + b3

Para o sistema ter soluc¸a˜o −b1 + b2 + b3 = 0.
Neste caso, podemos considerar z como varia´vel livre e podemos
expressar as soluc¸o˜es em termos de b1, b2 e b3.
Exerc´ıcio 1.2.10 (a)
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

L3 ← L3 + L2  1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 0 0 −b1 + b2 + b3

Para o sistema ter soluc¸a˜o −b1 + b2 + b3 = 0.
Neste caso, podemos considerar z como varia´vel livre e podemos
expressar as soluc¸o˜es em termos de b1, b2 e b3.
Exerc´ıcio 1.2.10 (a)
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

L3 ← L3 + L2
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 0 0 −b1 + b2 + b3

Para o sistema ter soluc¸a˜o −b1 + b2 + b3 = 0.
Neste caso, podemos considerar z como varia´vel livre e podemos
expressar as soluc¸o˜es em termos de b1, b2 e b3.
Exerc´ıcio 1.2.10 (a)
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

L3 ← L3 + L2  1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 0 0 −b1 + b2 + b3

Para o sistema ter soluc¸a˜o −b1 + b2 + b3 = 0.
Neste caso, podemos considerar z como varia´vel livre e podemos
expressar as soluc¸o˜es em termos de b1, b2 e b3.
Exerc´ıcio 1.2.10 (a)
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

L3 ← L3 + L2  1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 0 0 −b1 + b2 + b3

Para o sistema ter soluc¸a˜o −b1 + b2 + b3 = 0.
Neste caso, podemos considerar z como varia´vel livre e podemos
expressar as soluc¸o˜es em termos de b1, b2 e b3.
Exerc´ıcio 1.2.10 (a)
 1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 −3 12 b3 + 3b1

L3 ← L3 + L2  1 −2 5 b10 3 −12 b2 − 4b1
0 0 0 −b1 + b2 + b3

Para o sistema ter soluc¸a˜o −b1 + b2 + b3 = 0.
Neste caso, podemos considerar z como varia´vel livre e podemos
expressar as soluc¸o˜es em termos de b1, b2 e b3.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Determine os valores de a para que o sistema tenha uma u´nica
soluc¸a˜o, infinitas soluc¸o˜es ou na˜o tenha soluc¸a˜o.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Soluc¸a˜o. Na˜o tem segredo; escalone
 1 2 −3 43 −1 5 2
4 1 a2 − 14 a + 2
 L2 ← L2− 3L1 e L3 ← L3− 4L1
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14

Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Determine os valores de a para que o sistema tenha uma u´nica
soluc¸a˜o, infinitas soluc¸o˜es ou na˜o tenha soluc¸a˜o.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Soluc¸a˜o.
Na˜o tem segredo; escalone
 1 2 −3 43 −1 5 2
4 1 a2 − 14 a + 2
 L2 ← L2− 3L1 e L3 ← L3− 4L1
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14

Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Determine os valores de a para que o sistema tenha uma u´nica
soluc¸a˜o, infinitas soluc¸o˜es ou na˜o tenha soluc¸a˜o.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Soluc¸a˜o. Na˜o tem segredo; escalone
 1 2 −3 43 −1 5 2
4 1 a2 − 14 a + 2

L2 ← L2− 3L1 e L3 ← L3− 4L1
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14

Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Determine os valores de a para que o sistema tenha uma u´nica
soluc¸a˜o, infinitas soluc¸o˜es ou na˜o tenha soluc¸a˜o.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Soluc¸a˜o. Na˜o tem segredo; escalone
 1 2 −3 43 −1 5 2
4 1 a2 − 14 a + 2
 L2 ← L2− 3L1 e L3 ← L3− 4L1
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14

Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Determine os valores de a para que o sistema tenha uma u´nica
soluc¸a˜o, infinitas soluc¸o˜es ou na˜o tenha soluc¸a˜o.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Soluc¸a˜o. Na˜o tem segredo; escalone
 1 2 −3 43 −1 5 2
4 1 a2 − 14 a + 2
 L2 ← L2− 3L1 e L3 ← L3− 4L1
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14

Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14

L3 ← L3 − L2
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 0 a2 − 16 a− 4

Em termos de equac¸o˜es:
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Chegamos em uma matriz triangular superior. Isto e´ suficiente.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14
 L3 ← L3 − L2
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 0 a2 − 16 a− 4

Em termos de equac¸o˜es:
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Chegamos em uma matriz triangular superior. Isto e´ suficiente.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14
 L3 ← L3 − L2
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 0 a2 − 16 a− 4

Em termos de equac¸o˜es:
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Chegamos em uma matriz triangular superior. Isto e´ suficiente.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14
 L3 ← L3 − L2
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 0 a2 − 16 a− 4

Em termos de equac¸o˜es:
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Chegamos em uma matriz triangular superior. Isto e´ suficiente.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 −7 a2 − 2 a− 14
 L3 ← L3 − L2
 1 2 −3 40 −7 14 −10
0 0 a2 − 16 a− 4

Em termos de equac¸o˜es:
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Chegamos em uma matriz triangular superior. Isto e´ suficiente.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)

x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Observe que das duas primeiras equac¸o˜es podemos calcular x e y
em termos de z . Assim, para que o sistema tenha soluc¸a˜o, deve ser
poss´ıvel calcular z na u´ltima equac¸a˜o.
(a2 − 16)z = a− 4
ATENC¸A˜O NESTA ANA´LISE....muita gente erra aqui.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)

x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Observe que das duas primeiras equac¸o˜es podemos calcular x e y
em termos de z .
Assim, para que o sistema tenha soluc¸a˜o, deve ser
poss´ıvel calcular z na u´ltima equac¸a˜o.
(a2 − 16)z = a− 4
ATENC¸A˜O NESTA ANA´LISE....muita gente erra aqui.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)

x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Observe que das duas primeiras equac¸o˜es podemos calcular x e y
em termos de z . Assim, para que o sistema tenha soluc¸a˜o, deve ser
poss´ıvel calcular z na u´ltima equac¸a˜o.
(a2 − 16)z = a− 4
ATENC¸A˜O NESTA ANA´LISE....muita gente erra aqui.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)

x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
(a2 − 16)z = a− 4
Observe que das duas primeiras equac¸o˜es podemos calcular x e y
em termos de z . Assim, para que o sistema tenha soluc¸a˜o, deve ser
poss´ıvel calcular z na u´ltima equac¸a˜o.
(a2 − 16)z = a− 4
ATENC¸A˜O NESTA ANA´LISE....muita gente erra aqui.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
(a2 − 16)z = a− 4
Para isolar o z desta equac¸a˜o, morremos de vontade de passar o
a2 − 16 dividindo.
Isto pode estar redondamente errado, pois e´ proibido dividir por
zero!
Portanto, so´ podemos isolar o z quando a2 − 16 6= 0.
Isto e´, quanto a 6= 4 e a 6= −4.
Se este e´ o caso, enta˜o z =
a− 4
a2 − 16 =
1
a + 4
.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
(a2 − 16)z = a− 4
Para isolar o z desta equac¸a˜o, morremos de vontade de passar o
a2 − 16 dividindo.
Isto pode estar redondamente errado, pois e´ proibido dividir por
zero!
Portanto, so´ podemos isolar o z quando a2 − 16 6= 0.
Isto e´, quanto a 6= 4 e a 6= −4.
Se este e´ o caso, enta˜o z =
a− 4
a2 − 16 =
1
a + 4
.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
(a2 − 16)z = a− 4
Para isolar o z desta equac¸a˜o, morremos de vontade de passar o
a2 − 16 dividindo.
Isto pode estar redondamente errado, pois e´ proibido dividir por
zero!
Portanto, so´ podemos isolar o z quando a2 − 16 6= 0.
Isto e´, quanto a 6= 4 e a 6= −4.
Se este e´ o caso, enta˜o z =
a− 4
a2 − 16 =
1
a + 4
.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
(a2 − 16)z = a− 4
Para isolar o z desta equac¸a˜o, morremosde vontade de passar o
a2 − 16 dividindo.
Isto pode estar redondamente errado, pois e´ proibido dividir por
zero!
Portanto, so´ podemos isolar o z quando a2 − 16 6= 0.
Isto e´, quanto a 6= 4 e a 6= −4.
Se este e´ o caso, enta˜o z =
a− 4
a2 − 16 =
1
a + 4
.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
(a2 − 16)z = a− 4
Para isolar o z desta equac¸a˜o, morremos de vontade de passar o
a2 − 16 dividindo.
Isto pode estar redondamente errado, pois e´ proibido dividir por
zero!
Portanto, so´ podemos isolar o z quando a2 − 16 6= 0.
Isto e´, quanto a 6= 4 e a 6= −4.
Se este e´ o caso, enta˜o z =
a− 4
a2 − 16 =
1
a + 4
.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
(a2 − 16)z = a− 4
Para isolar o z desta equac¸a˜o, morremos de vontade de passar o
a2 − 16 dividindo.
Isto pode estar redondamente errado, pois e´ proibido dividir por
zero!
Portanto, so´ podemos isolar o z quando a2 − 16 6= 0.
Isto e´, quanto a 6= 4 e a 6= −4.
Se este e´ o caso, enta˜o z =
a− 4
a2 − 16 =
1
a + 4
.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Enta˜o quando a 6= −4 e a 6= 4 o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o
pois calculamos z de modo u´nico e este valor de z pode ser
substituido nas equac¸o˜es anteriores para o ca´lculo de x e y de
modo u´nico.
So´ falta analisar o caso a = −4 e a = 4 na equac¸a˜o
(a2 − 16)z = a− 4.
Se a = −4 esta equac¸a˜o toma a forma 0z = −8, ou seja 0 = −8.
Sistema imposs´ıvel.
Se a = 4 a equac¸a˜o toma a forma 0z = 0. Obtemos o sistema
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
0 = 0
que possui infinitas soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Enta˜o quando a 6= −4 e a 6= 4 o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o
pois calculamos z de modo u´nico e este valor de z pode ser
substituido nas equac¸o˜es anteriores para o ca´lculo de x e y de
modo u´nico.
So´ falta analisar o caso a = −4 e a = 4 na equac¸a˜o
(a2 − 16)z = a− 4.
Se a = −4 esta equac¸a˜o toma a forma 0z = −8, ou seja 0 = −8.
Sistema imposs´ıvel.
Se a = 4 a equac¸a˜o toma a forma 0z = 0. Obtemos o sistema
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
0 = 0
que possui infinitas soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Enta˜o quando a 6= −4 e a 6= 4 o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o
pois calculamos z de modo u´nico e este valor de z pode ser
substituido nas equac¸o˜es anteriores para o ca´lculo de x e y de
modo u´nico.
So´ falta analisar o caso a = −4 e a = 4 na equac¸a˜o
(a2 − 16)z = a− 4.
Se a = −4 esta equac¸a˜o toma a forma 0z = −8, ou seja 0 = −8.
Sistema imposs´ıvel.
Se a = 4 a equac¸a˜o toma a forma 0z = 0. Obtemos o sistema
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
0 = 0
que possui infinitas soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Enta˜o quando a 6= −4 e a 6= 4 o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o
pois calculamos z de modo u´nico e este valor de z pode ser
substituido nas equac¸o˜es anteriores para o ca´lculo de x e y de
modo u´nico.
So´ falta analisar o caso a = −4 e a = 4 na equac¸a˜o
(a2 − 16)z = a− 4.
Se a = −4 esta equac¸a˜o toma a forma 0z = −8, ou seja 0 = −8.
Sistema imposs´ıvel.
Se a = 4 a equac¸a˜o toma a forma 0z = 0.
Obtemos o sistema
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
0 = 0
que possui infinitas soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Enta˜o quando a 6= −4 e a 6= 4 o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o
pois calculamos z de modo u´nico e este valor de z pode ser
substituido nas equac¸o˜es anteriores para o ca´lculo de x e y de
modo u´nico.
So´ falta analisar o caso a = −4 e a = 4 na equac¸a˜o
(a2 − 16)z = a− 4.
Se a = −4 esta equac¸a˜o toma a forma 0z = −8, ou seja 0 = −8.
Sistema imposs´ıvel.
Se a = 4 a equac¸a˜o toma a forma 0z = 0. Obtemos o sistema
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
0 = 0
que possui infinitas soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a)
Enta˜o quando a 6= −4 e a 6= 4 o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o
pois calculamos z de modo u´nico e este valor de z pode ser
substituido nas equac¸o˜es anteriores para o ca´lculo de x e y de
modo u´nico.
So´ falta analisar o caso a = −4 e a = 4 na equac¸a˜o
(a2 − 16)z = a− 4.
Se a = −4 esta equac¸a˜o toma a forma 0z = −8, ou seja 0 = −8.
Sistema imposs´ıvel.
Se a = 4 a equac¸a˜o toma a forma 0z = 0. Obtemos o sistema
x + 2y − 3z = 4
−7y + 14z = −10
0 = 0
que possui infinitas soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a) - com determinante
Determine os valores de a para que o sistema tenha uma u´nica
soluc¸a˜o, infinitas soluc¸o˜es ou na˜o tenha soluc¸a˜o.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Soluc¸a˜o. Matricialmente 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
  xy
z
 =
 42
a + 2

Sistema quadrado AX = B.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a) - com determinante
Determine os valores de a para que o sistema tenha uma u´nica
soluc¸a˜o, infinitas soluc¸o˜es ou na˜o tenha soluc¸a˜o.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Soluc¸a˜o.
Matricialmente 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
  xy
z
 =
 42
a + 2

Sistema quadrado AX = B.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a) - com determinante
Determine os valores de a para que o sistema tenha uma u´nica
soluc¸a˜o, infinitas soluc¸o˜es ou na˜o tenha soluc¸a˜o.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Soluc¸a˜o. Matricialmente 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
  xy
z
 =
 42
a + 2

Sistema quadrado AX = B.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a) - com determinante
Determine os valores de a para que o sistema tenha uma u´nica
soluc¸a˜o, infinitas soluc¸o˜es ou na˜o tenha soluc¸a˜o.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a + 2
Soluc¸a˜o. Matricialmente 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
  xy
z
 =
 42
a + 2

Sistema quadrado AX = B.
Sistemas quadrados - determinante
Lembre-se dos seguintes resultados:
I Uma matriz quadrada A tem inversa se det(A) 6= 0.
I Um sistema quadrado AX = B tem soluc¸a˜o u´nica se A tem
inversa.
Neste caso a soluc¸a˜o do sistema AX = B pode ser obtida assim.
Multiplicando por A−1 do lado esquerdo,
A−1AX = A−1B
InX = A
−1B
X = A−1B
Sistemas quadrados - determinante
Lembre-se dos seguintes resultados:
I Uma matriz quadrada A tem inversa se det(A) 6= 0.
I Um sistema quadrado AX = B tem soluc¸a˜o u´nica se A tem
inversa.
Neste caso a soluc¸a˜o do sistema AX = B pode ser obtida assim.
Multiplicando por A−1 do lado esquerdo,
A−1AX = A−1B
InX = A
−1B
X = A−1B
Sistemas quadrados - determinante
Lembre-se dos seguintes resultados:
I Uma matriz quadrada A tem inversa se det(A) 6= 0.
I Um sistema quadrado AX = B tem soluc¸a˜o u´nica se A tem
inversa.
Neste caso a soluc¸a˜o do sistema AX = B pode ser obtida assim.
Multiplicando por A−1 do lado esquerdo,
A−1AX = A−1B
InX = A
−1B
X = A−1B
Sistemas quadrados - determinante
Lembre-se dos seguintes resultados:
I Uma matriz quadrada A tem inversa se det(A) 6= 0.
I Um sistema quadrado AX = B tem soluc¸a˜o u´nica se A tem
inversa.
Neste caso a soluc¸a˜o do sistema AX = B pode ser obtida assim.
Multiplicando por A−1 do lado esquerdo,
A−1AX = A−1B
InX = A
−1B
X = A−1B
Sistemas quadrados - determinante
Lembre-se dos seguintes resultados:
I Uma matriz quadrada A tem inversa se det(A) 6= 0.
I Um sistema quadrado AX = B tem soluc¸a˜o u´nica se A tem
inversa.
Neste caso a soluc¸a˜o do sistema AX = B pode ser obtida assim.
Multiplicando por A−1 do lado esquerdo,
A−1AX = A−1B
InX = A
−1B
X = A−1B
Sistemas quadrados - determinante
Lembre-se dos seguintes resultados:
I Uma matriz quadrada A tem inversa se det(A) 6= 0.
I Um sistema quadrado AX = B tem soluc¸a˜o u´nica se A tem
inversa.
Neste caso a soluc¸a˜o do sistema AX = B pode ser obtida assim.
Multiplicando por A−1 do lado esquerdo,
A−1AX = A−1B
InX = A
−1B
X = A−1B
Exerc´ıcio 1.2.6 (a) - com determinante
Voltando para o nosso caso, 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
  xy
z
 =
 42
a + 2

Tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se,
det
 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
 6= 0
−7a2 + 112 6= 0
−7(a2 − 16) 6= 0
que e´ a soluc¸a˜o obtida anteriormente.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a) - com determinante
Voltando para o nosso caso, 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
  xy
z
 =
 42
a + 2

Tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se,
det
 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
 6= 0
−7a2 + 112 6= 0
−7(a2 −16) 6= 0
que e´ a soluc¸a˜o obtida anteriormente.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a) - com determinante
Voltando para o nosso caso, 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
  xy
z
 =
 42
a + 2

Tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se,
det
 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
 6= 0
−7a2 + 112 6= 0
−7(a2 − 16) 6= 0
que e´ a soluc¸a˜o obtida anteriormente.
Exerc´ıcio 1.2.6 (a) - com determinante
Voltando para o nosso caso, 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
  xy
z
 =
 42
a + 2

Tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se,
det
 1 2 −33 −1 5
4 1 a2 − 14
 6= 0
−7a2 + 112 6= 0
−7(a2 − 16) 6= 0
que e´ a soluc¸a˜o obtida anteriormente.
Sistemas quadrados - determinante
Se AX = B e´ um sistema linear quadrado enta˜o
I det(A) 6= 0 significa que o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o.
I det(A) = 0 significa duas coisas:
I nenhuma soluc¸a˜o.
I ou infinitas soluc¸o˜es.
E´ imposs´ıvel diferenciar estes dois u´ltimos casos so´ analisando
det(A).
Sistemas quadrados - determinante
Se AX = B e´ um sistema linear quadrado enta˜o
I det(A) 6= 0 significa que o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o.
I det(A) = 0 significa duas coisas:
I nenhuma soluc¸a˜o.
I ou infinitas soluc¸o˜es.
E´ imposs´ıvel diferenciar estes dois u´ltimos casos so´ analisando
det(A).
Sistemas quadrados - determinante
Se AX = B e´ um sistema linear quadrado enta˜o
I det(A) 6= 0 significa que o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o.
I det(A) = 0 significa duas coisas:
I nenhuma soluc¸a˜o.
I ou infinitas soluc¸o˜es.
E´ imposs´ıvel diferenciar estes dois u´ltimos casos so´ analisando
det(A).
Sistemas quadrados - determinante
Se AX = B e´ um sistema linear quadrado enta˜o
I det(A) 6= 0 significa que o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o.
I det(A) = 0 significa duas coisas:
I nenhuma soluc¸a˜o.
I ou infinitas soluc¸o˜es.
E´ imposs´ıvel diferenciar estes dois u´ltimos casos so´ analisando
det(A).
Sistemas quadrados - determinante
Se AX = B e´ um sistema linear quadrado enta˜o
I det(A) 6= 0 significa que o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o.
I det(A) = 0 significa duas coisas:
I nenhuma soluc¸a˜o.
I ou infinitas soluc¸o˜es.
E´ imposs´ıvel diferenciar estes dois u´ltimos casos so´ analisando
det(A).
Escalonamento simultaˆneo: exerc´ıcio 1.2.4
Resolva os sistemas lineares
x − 2y + z = 1
2x − 5y + z = −2
3x − 7y + 2z = −1

x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −1
3x − 7y + 2z = 2
Soluc¸a˜o: no quadro branco
IMPORTANTE: a ide´ia de escalonamento simultaˆneo sera´ utilizada
no algoritmo do ca´lculo da matriz inversa.
Para casa
FAZER TODOS OS EXERC´ICIOS NUME´RICOS DA SEC¸A˜O 1.2
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Pro´xima aula: matriz inversa e determinante
Para casa
FAZER TODOS OS EXERC´ICIOS NUME´RICOS DA SEC¸A˜O 1.2
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Pro´xima aula: matriz inversa e determinante