PROBABILIDADE_2

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PROBABILIDADE
		
	CONCEITOS BÁSICOS
Experimento aleatório: São aqueles cujos resultados são imprevisíveis mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo experimento.
Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Evento: É um subconjunto do espaço amostral.
Eventos Mutuamente Exclusivos: São aqueles que não ocorrem simultaneamente. Não existe elemento comum entre si. Quer dizer, a ocorrência de um evento impede a ocorrência de outro.
Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos então 
 e a probabilidade de ocorrência conjunta dos dois eventos é nula, isto é,
Exemplos:
Determinar o espaço amostral dos seguintes experimentos:
Lançamento de uma moeda.
Lançamento de um dado.
Lançamento de duas moedas.
Seja uma urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas, sucessivamente, 3 bolas. Calcular explicitando os elementos dos seguintes eventos.
As três bolas têm a mesma cor.
Duas das bolas são pretas.
As três bolas são vermelhas.
O número de bolas pretas é igual ao número de bolas vermelhas.
Obs: Usar o diagrama de árvore.
Definição de probabilidade: A probabilidade representa a relação entre o número de eventos favoráveis ao que se estuda em relação ao número possível de eventos, isto é,
Princípios básicos de probabilidade
A probabilidade de um evento ocorrer deve estar entre 0 e 1.
A probabilidade do espaço amostral 
 é igual a 1, isto é, 
.
Se os eventos 
 formam uma partição do espaço amostral 
, então 
.
Para todo evento 
, a probabilidade do seu evento complementar 
 ocorrer é dada por 
. 
A probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B é dada pela regra da Adição: 
Sejam 
 e 
, então 
.
Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, isto é 
então:
EVENTOS INDEPENDENTES. Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Exemplo: Se o experimento for o Lançamento de uma moeda e um dado. A probabilidade de sair cara na moeda independe do resultado obtido no lançamento do dado.
Assim sendo a probabilidade que dois eventos independentes, A e B, ocorram simultaneamente é dada pela regra da multiplicação, isto é,
Exemplos:
1) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter.
O número 2.
Um número par.
Um múltiplo de 3.
O número 8.
2) Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar.
Numa moeda viciada, a probabilidade de ocorrer cara num lançamento é igual a quatro vezes a probabilidade de ocorrer coroa. Calcular a probabilidade de ocorrer cara num lançamento dessa moeda. 
Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas?
5) Uma moeda é lançada quatro vezes. Qual a probabilidade que apareça coroa nas quatro vezes?
A pesquisa de um jornal de São Paulo revelou que 200 brasileiros foram mortos por raios no ano 2000. Qual a probabilidade de uma pessoa ser atingida por raio, sabendo-se que a população brasileira está em torno de 170 milhões?
O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de um conjunto de 50 deputados presentes em uma reunião.
	
	HOMEM
	MULHER
	CASADO
	12
	8
	SOLTEIRO
	8
	7
	DIVORCIADO
	5
	10
Uma pessoa é sorteada ao acaso. Determine a probabilidade dos eventos:
Ser um homem.
Ser uma mulher.
Ser uma pessoa casada.
Ser uma pessoa solteira.
Ser uma pessoa divorciada.
Ser uma mulher casada.
Ser um homem solteiro.
 Em uma experiência que consiste em lançar simultaneamente um dado e duas moedas, qual a probabilidade de se obter um “cinco” e duas coroas em uma única jogada?
 Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada (1 a 20). Determine a probabilidade dos seguintes eventos:
Ser sorteado um número par.
b) não ser sorteado múltiplo de 5.
 c) Ser sorteado um número maior que 12 e múltiplo de 3.
d) Ser sorteado um número menor que 7 e múltiplo de 4.
e) Ser sorteado um número menor que 13 e múltiplo de 7.
10) Se a probabilidade de não chover em determinada data é 25%, qual é a probabilidade de chover nesta mesma data?
11) Uma caixa contém 15 peças defeituosas em um total de 40 peças. Qual é a probabilidade de se selecionar ao acaso uma peça não defeituosa desta caixa?
12) Se 
, 
e 
, determine 
.
13) Se 
, 
 e 
, determine 
.
14) Se 
, 
 e 
, os eventos A e B são mutuamente exclusivos?
15) Se 
e 
, determine 
, sendo os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
16) Jogando-se um dado e ao mesmo tempo retirando-se uma bola de uma urna com 10 bolas numeradas de 1 a 10. Qual a probabilidade de sair o número 6 na bola e no dado? 
17) Uma rifa composta por 15 números irá definir o ganhador de dois prêmios sorteados um de cada vez. Se você adquiriu três números, qual a probabilidade de ganhar os dois prêmios? 
18) Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam físioterapia (F) e 140 cursam serviço social (SS). A distribuição dos alunos é a seguinte:
	 Disciplina
Sexo
	
F
	
SS
	
TOTAL
	H
	40
	60
	100
	M
	70
	80
	150
	TOTAL
	110
	140
	250
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que:
a) esteja cursando fisioterapia?
b) esteja cursando serviço social?
c) seja do sexo masculino?
d) seja do sexo masculino e esteja cursando fisioterapia?
e) seja do sexo feminino e esteja cursando serviço social?
PROBABILIDADE CONDICIONAL: Dado dois eventos, A e B, a probabilidade que o evento B ocorra, dado que o evento A já ocorreu é a probabilidade condicional de B, escrita por P(B/A). De maneira similar escrevemos a probabilidade de ocorrência do evento A, condicionada a ocorrência do evento B, como P(A/B) (lê-se probabilidade condicional de A, dado que B ocorreu). 
Exemplo: Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e 140 cursam química (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte:
	 Disciplina
Sexo
	
F
	
Q
	
TOTAL
	H
	40
	60
	100
	M
	70
	80
	150
	TOTAL
	110
	140
	250
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher?
Solução: Pela tabela vemos que esta probabilidade é 
 e representamos:
 ( probabilidade de que o aluno curse química, condicionado ao fato de ser mulher).
Observe que 
 e 
. Para obter o resultado do problema podemos considerar também 
 .
Logo 
.
Se os eventos A e B são independentes, então: 
 P(A) = P(A / B) e P(B) = P(B / A) .
Exemplos:
1) Lançando-se um par de dados e sabendo que a soma nos dois dados é 7. Qual a probabilidade de ocorrer face 5 em um deles?
2) 90 jovens entrevistados para uma pesquisa eleitoral responderam de acordo com os dados da tabela a seguir.
INTENÇÕES DE VOTOS POR CANDIDATOS
	
	ASDRUBAL
	BELIZÁRIO
	NENHUM
	MOÇAS
	15
	20
	5
	RAPAZES
	20
	22
	8
Escolhida ao acaso uma dessas pessoas entrevistadas, qual a probabilidade:
a) Ser eleitor do candidato Asdrúbal, se já se sabe que o escolhido é um rapaz?
b) Ser um rapaz, sabendo-se que ele é eleitor do candidato Belizário?
c) Ser uma moça eleitora do candidato Belizário? 
d) Não votar em nenhum dos dois candidatos?
3) Num grupo de 35 alunos, 10 estudam só matemática, 20 estudam matemática e português e o restante estuda somente português. Sorteando-se, ao acaso, um aluno dessa classe, qual a probabilidade de sair um que estude:
Matemática?
Matemática, sabendo que ele não estuda somente português?
4) Em um grupo de 1200 jovens, 550 gostam apenas de rock, 230 apenas de samba e 120 gostam de samba e rock. Escolhendo-se um jovem, ao acaso, qual a probabilidade:
Dele gostar de samba ou rock?
Dele gostar de samba mas não gostar de rock?
Dele não gostar de nenhum dos dois?
Dele gostar de rock, sabendo que ele não gostasomente de samba?
5) Status de promoção de oficias de polícia nos últimos dois anos
	
	HOMENS ( H )
	MULHERES ( M )
	PROMOVIDOS
	288
	36
	NÃO PROMOVIDOS
	672
	204
Qual a probabilidade de que um oficial aleatoriamente selecionado seja:
Um homem promovido ?
Uma mulher não promovida ?
Um homem ?
Promovido ?
Não promovido, dado que é mulher ?
LISTA DE EXERCÍCIOS
1ª QUESTÃO: Um profº de português passou uma pesquisa numa sala de aula de 30 alunos, perguntando quem havia lido as obras Dom Casmurro e Brás Cubas, ambas de Machado de Assis. O resultado da pesquisa foi o seguinte: 19 alunos leram Dom Casmurro, 20 alunos leram Brás Cubas e 3 alunos não leram nenhum dos dois livros. Sorteando-se um aluno ao acaso para uma sabatina, qual a probabilidade de que o aluno sorteado tenha lido:
a) pelo menos um dos dois livros ?
b) somente Dom Casmurro ?
c) Dom Casmurro, dado que não leu Brás Cubas ?
R: a) 90% b) 23,33% c) 70% 
2ªQUESTÃO: Pelo desempenho no trabalho os funcionários Deusdete, Claudete e Valdete são os próximos demitidos, considerando que a probabilidade de Deusdete ser demitido é duas vezes maior que a de Claudete é três vezes maior que a de Valdete. Qual a probabilidade da pobre da Claudete voar do emprego? R: 30%
3ª QUESTÃO: Odete Amanda Tem 75% de chance de se casar com Avelino Trancoso e 10% de se casar com Laurindo Antoniel. Sabendo que na vida da pobre Odete Amanda só existe esses dois homens, Calcule a probabilidade de Odete Amanda ficar para titia? R: 22,5% 
4ª QUESTÃO: Em uma pesquisa realizada com 800 alunos da FCA, foi obtido o seguinte resultado:
	
	HOMENS
	MULHERES
	ADM
	100
	200
	C.CONTÁBEIS
	340
	160
Qual a probabilidade de que um aluno desse grupo escolhido ao acaso ser:
homem e cursar ADM?
mulher e cursar CC ?
homem, dado que cursa CC?
Mulher, sabendo que cursa ADM?
R: a) 12,5% b) 20% c) 68% d) 66,67% 
6ª Questão: A empresa Mestre dos Magos S.A possui 350 funcionários. Destes 280 possuem plano de saúde particular, 180 possuem plano de saúde coletivo e 30 não possuem plano de saúde de nenhum dos dois tipos. Calcule a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso:
Possuir pelo menos um dos planos. R: 
Possuir ambos os planos. R: 
Participe do plano de saúde coletivo, dado que possui plano de saúde particular. R: 
7ª Questão: Os estudantes de um colégio, presentes em uma reunião, foram classificados por sexo e por opção da área de formação segundo o quadro abaixo:
	
OPÇÃO SEXO
	M
	F
	ADM
	10
	8
	CC
	6
	5
	EC
	8
	4
Sorteando-se um estudante ao acaso, qual é a probabilidade de que:
Opte por administração, dado que é do sexo feminino? R: 
Opte por economia, dado que é do sexo masculino? R: 
Seja aluno, sabendo que optou por ciências contábeis? R: 
 
Opte por ciências contábeis, dado que é do sexo masculino? R: 
8ª Questão: Sejam A e B eventos tais que 
, 
. Calcular P considerando A e B:
Mutuamente exclusivos. R: 0,4.
Independentes. R: 0,5
9ª Questão: A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui há 30 anos é 
; a de sua mulher é de 
. Determinar a probabilidade de que daqui há 30 anos:
Ambos estejam vivos. R: 
Somente o homem esteja vivo. R: 
somente a mulher esteja viva. R:
Nenhum esteja vivo. R: 
Pelo menos um esteja vivo. R: 
10ª Questão: Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:
ele estude Engenharia e Economia? R: 
ele estude somente Engenharia? R: 
ele estude somente Economia? R: 
ele não estude Engenharia nem Economia? R: 
ele estude Engenharia ou Economia? R: 
 
11ª Questão: Everton foi a uma festa e marcou um encontro com Ana e Maria. Sabendo que a probabilidade de que ele se encontre com Ana é de 15% e com Maria é de 35%. Calcular a probabilidade de que ele:
Não encontre nenhuma das duas. R: 55,25%
Encontre pelo menos uma. R: 44,75%
12ª Questão: O comportamento do consumo de bebidas lácteas no Brasil, segundo a classe econômica e o principal aspecto determinante da escolha da marca, está descrito na seguinte tabela:
	CLASSE
	PREÇO ( R$ )
	QUALIDADE
	Alta
	42
	56
	Média
	37
	21
	Baixa
	13
	97
 
Determine a probabilidade de um consumidor escolhido ao acaso:
Priorizar preço, dado que é de classe alta. R: 
Priorizar qualidade, dado que é de classe média. R: 
Ser de classe baixa, dado que atribui maior importância ao fator qualidade. R: 
13ª Questão: Uma urna contém três bolas brancas e oito pretas. Uma bola é retirada ao acaso e não reposta: então outra bola é retirada. Qual a probabilidade de ambas serem pretas? R: 
14ª Questão: Um júri consiste em 15 pessoas que somente completaram o Ensino Médio e em 9 pessoas que tiveram alguma educação superior. Se um advogado seleciona ao acaso dois dos membros do júri para uma argüição, qual é a probabilidade de nenhum dos dois ter tido alguma educação superior? R: 
15ª Questão: Três cavalos, azulão, bigode e caçula estão em uma corrida; azulão tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que bigode, e bigode têm duas vezes mais probabilidade de ganhar que caçula. Qual a probabilidade de azulão ganhar a corrida? R:
16ª Questão: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade que ambas sejam boas? 
R: 
17ª Questão: A tabela abaixo mostra os resultados de um estudo no qual pesquisadores examinaram o QI de 102 crianças e a presença de um gene específico nelas.
	
	Gene presente
	Gene não presente
	QI alto
	 33
	 19 
	QI normal
	 39
	 11
Obtenha a probabilidade de uma criança ter:
O gene presente
O QI alto
O QI alto, dado que ela tenha o gene
O gene não presente, dado que seu QI seja normal
Resp: a) 70,6% b) 51% c) 45,8% d) 22%
18ª Questào: Uma fábrica possui duas máquinas que funcionam de forma independente, a probabilidade de falha é de 3% para a primeira e de 7% para segunda. Calcule a probabilidade:
Das duas falharem simultaneamente
De funcionarem normalmente
Resp: a) 0,21% b) 90,2%
19ª Questão: Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 12 bolas pretas, 16 verdes e 8 rosas. Calcule a probabilidade de:
Não ser verde
Não ser preta
Ser rosa
Resp: a) 55,6% b) 66,7% c) 22,2%
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