Aula 19 - Espaços & Combinação Linear

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TERCEIRA PROVA
Data bem prova´vel: 15/12, sa´bado, 08:00 horas
Cap´ıtulo 5: Espac¸o Euclidiano Rn, dependeˆncia linear, base e
dimensa˜o.
Cap´ıtulo 6: Diagonalizac¸a˜o de matrizes, matrizes sime´tricas e
identificac¸a˜o de coˆnicas.
O espac¸o Rn
R2 = plano cartesiano
R2 = {(x1, x2) | x1, x2 ∈ R}.
O espac¸o Rn
R2 = plano cartesiano
R2 = {(x1, x2) | x1, x2 ∈ R}.
O espac¸o Rn
R3 = espac¸o tridimensional
R3 = {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 ∈ R}.
O espac¸o Rn
R3 = espac¸o tridimensional
R3 = {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 ∈ R}.
O espac¸o Rn
Generalizando, o espac¸o Rn e´ o conjunto formado por todas as
colec¸o˜es ordenadas (x1, x2, . . . , xn) de nu´meros reais.
Rn = {(x1, x2, . . . , xn) | x1, x2, . . . , xn ∈ R}.
Um elemento V = (x1, x2, . . . , xn) de Rn e´ um vetor ou um ponto.
Operac¸o˜es com vetores de Rn
Se V = (v1, . . . , vn) e W = (w1, . . . ,wn) sa˜o vetores de Rn e se α
e´ um nu´mero real, enta˜o
SOMA: V + W = (v1 + w1, . . . , vn + wn)
MULTIPLICAC¸A˜O POR ESCALAR: αV = (αv1, . . . , αvn)
Estas operac¸o˜es satisfazem todas as propriedades operacionais ja´
comentadas para o plano e para o espac¸o.
Operac¸o˜es com vetores de Rn
Se V = (v1, . . . , vn) e W = (w1, . . . ,wn) sa˜o vetores de Rn e se α
e´ um nu´mero real, enta˜o
SOMA: V + W = (v1 + w1, . . . , vn + wn)
MULTIPLICAC¸A˜O POR ESCALAR: αV = (αv1, . . . , αvn)
Estas operac¸o˜es satisfazem todas as propriedades operacionais ja´
comentadas para o plano e para o espac¸o.
Operac¸o˜es com vetores de Rn
Se V = (v1, . . . , vn) e W = (w1, . . . ,wn) sa˜o vetores de Rn e se α
e´ um nu´mero real, enta˜o
SOMA: V + W = (v1 + w1, . . . , vn + wn)
MULTIPLICAC¸A˜O POR ESCALAR: αV = (αv1, . . . , αvn)
Estas operac¸o˜es satisfazem todas as propriedades operacionais ja´
comentadas para o plano e para o espac¸o.
Operac¸o˜es com vetores de Rn
Se V = (v1, . . . , vn) e W = (w1, . . . ,wn) sa˜o vetores de Rn e se α
e´ um nu´mero real, enta˜o
SOMA: V + W = (v1 + w1, . . . , vn + wn)
MULTIPLICAC¸A˜O POR ESCALAR: αV = (αv1, . . . , αvn)
Estas operac¸o˜es satisfazem todas as propriedades operacionais ja´
comentadas para o plano e para o espac¸o.
Operac¸o˜es com vetores de Rn
Representando os vetores de Rn como matrizes coluna, as
operac¸o˜es com vetores viram operac¸o˜es naturais com matrizes.
V =
 v1...
vn
 W =
 w1...
wn

SOMA: V + W =
 v1 + w1...
vn + wn

MULTIPLICAC¸A˜O POR ESCALAR: αV =
 αv1...
αvn

Operac¸o˜es com vetores de Rn
Representando os vetores de Rn como matrizes coluna, as
operac¸o˜es com vetores viram operac¸o˜es naturais com matrizes.
V =
 v1...
vn
 W =
 w1...
wn

SOMA: V + W =
 v1 + w1...
vn + wn

MULTIPLICAC¸A˜O POR ESCALAR: αV =
 αv1...
αvn

Operac¸o˜es com vetores de Rn
Representando os vetores de Rn como matrizes coluna, as
operac¸o˜es com vetores viram operac¸o˜es naturais com matrizes.
V =
 v1...
vn
 W =
 w1...
wn

SOMA: V + W =
 v1 + w1...
vn + wn

MULTIPLICAC¸A˜O POR ESCALAR: αV =
 αv1...
αvn

Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk
Exemplo: Se V1 = (−1, 2, 1) e V2 = (3,−1, 2) ∈ R3 enta˜o
V = 3V1 + 5V2 = 3(−1, 2, 1) + 5(3,−1, 2) =
(−3, 6, 3) + (15,−5, 10) = (12, 1, 13)
W = 2V1 − 3V2 = 2(−1, 2, 1)− 3(3,−1, 2) =
(−2, 4, 2)− (9,−3, 6) = (−11, 7,−4)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk
Exemplo: Se V1 = (−1, 2, 1) e V2 = (3,−1, 2) ∈ R3 enta˜o
V = 3V1 + 5V2 = 3(−1, 2, 1) + 5(3,−1, 2) =
(−3, 6, 3) + (15,−5, 10) = (12, 1, 13)
W = 2V1 − 3V2 = 2(−1, 2, 1)− 3(3,−1, 2) =
(−2, 4, 2)− (9,−3, 6) = (−11, 7,−4)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk
Exemplo: Se V1 = (−1, 2, 1) e V2 = (3,−1, 2) ∈ R3 enta˜o
V = 3V1 + 5V2
= 3(−1, 2, 1) + 5(3,−1, 2) =
(−3, 6, 3) + (15,−5, 10) = (12, 1, 13)
W = 2V1 − 3V2 = 2(−1, 2, 1)− 3(3,−1, 2) =
(−2, 4, 2)− (9,−3, 6) = (−11, 7,−4)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk
Exemplo: Se V1 = (−1, 2, 1) e V2 = (3,−1, 2) ∈ R3 enta˜o
V = 3V1 + 5V2 = 3(−1, 2, 1) + 5(3,−1, 2)
=
(−3, 6, 3) + (15,−5, 10) = (12, 1, 13)
W = 2V1 − 3V2 = 2(−1, 2, 1)− 3(3,−1, 2) =
(−2, 4, 2)− (9,−3, 6) = (−11, 7,−4)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk
Exemplo: Se V1 = (−1, 2, 1) e V2 = (3,−1, 2) ∈ R3 enta˜o
V = 3V1 + 5V2 = 3(−1, 2, 1) + 5(3,−1, 2) =
(−3, 6, 3) + (15,−5, 10)
= (12, 1, 13)
W = 2V1 − 3V2 = 2(−1, 2, 1)− 3(3,−1, 2) =
(−2, 4, 2)− (9,−3, 6) = (−11, 7,−4)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk
Exemplo: Se V1 = (−1, 2, 1) e V2 = (3,−1, 2) ∈ R3 enta˜o
V = 3V1 + 5V2 = 3(−1, 2, 1) + 5(3,−1, 2) =
(−3, 6, 3) + (15,−5, 10) = (12, 1, 13)
W = 2V1 − 3V2 = 2(−1, 2, 1)− 3(3,−1, 2) =
(−2, 4, 2)− (9,−3, 6) = (−11, 7,−4)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk
Exemplo: Se V1 = (−1, 2, 1) e V2 = (3,−1, 2) ∈ R3 enta˜o
V = 3V1 + 5V2 = 3(−1, 2, 1) + 5(3,−1, 2) =
(−3, 6, 3) + (15,−5, 10) = (12, 1, 13)
W = 2V1 − 3V2
= 2(−1, 2, 1)− 3(3,−1, 2) =
(−2, 4, 2)− (9,−3, 6) = (−11, 7,−4)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk
Exemplo: Se V1 = (−1, 2, 1) e V2 = (3,−1, 2) ∈ R3 enta˜o
V = 3V1 + 5V2 = 3(−1, 2, 1) + 5(3,−1, 2) =
(−3, 6, 3) + (15,−5, 10) = (12, 1, 13)
W = 2V1 − 3V2 = 2(−1, 2, 1)− 3(3,−1, 2)
=
(−2, 4, 2)− (9,−3, 6) = (−11, 7,−4)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk
Exemplo: Se V1 = (−1, 2, 1) e V2 = (3,−1, 2) ∈ R3 enta˜o
V = 3V1 + 5V2 = 3(−1, 2, 1) + 5(3,−1, 2) =
(−3, 6, 3) + (15,−5, 10) = (12, 1, 13)
W = 2V1 − 3V2 = 2(−1, 2, 1)− 3(3,−1, 2) =
(−2, 4, 2)− (9,−3, 6)
= (−11, 7,−4)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk
Exemplo: Se V1 = (−1, 2, 1) e V2 = (3,−1, 2) ∈ R3 enta˜o
V = 3V1 + 5V2 = 3(−1, 2, 1) + 5(3,−1, 2) =
(−3, 6, 3) + (15,−5, 10) = (12, 1, 13)
W = 2V1 − 3V2 = 2(−1, 2, 1)− 3(3,−1, 2) =
(−2, 4, 2)− (9,−3, 6) = (−11, 7,−4)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Exemplo: Em R3 todo vetor V = (a, b, c) e´ uma combinac¸a˜o
linear dos vetores canoˆnicos
~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1).
De fato, V = (a, b, c) = a~i + b~j + c~k .
Neste caso, as coordenadas do vetor se confundem com os
coeficientes da combinac¸a˜o linear. (esta observac¸a˜o e´ muito
importante para o estudo de coordenadas em Rn)
Combinac¸a˜o Linear
Exemplo: Em R3 todo vetor V = (a, b, c) e´ uma combinac¸a˜o
linear dos vetores canoˆnicos
~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1).
Defato, V = (a, b, c) = a~i + b~j + c~k .
Neste caso, as coordenadas do vetor se confundem com os
coeficientes da combinac¸a˜o linear. (esta observac¸a˜o e´ muito
importante para o estudo de coordenadas em Rn)
Combinac¸a˜o Linear
Exemplo: Em R3 todo vetor V = (a, b, c) e´ uma combinac¸a˜o
linear dos vetores canoˆnicos
~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1).
De fato, V = (a, b, c) = a~i + b~j + c~k .
Neste caso, as coordenadas do vetor se confundem com os
coeficientes da combinac¸a˜o linear. (esta observac¸a˜o e´ muito
importante para o estudo de coordenadas em Rn)
Combinac¸a˜o Linear
Exemplo: Verifique se o vetor V = (−10,−3, 1) e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o.
x1(1,−3, 5) + x2(−4, 1,−3) = (−10,−3, 1)
(x1 − 4x2,−3x1 + x2, 5x1 − 3x2) = (−10,−3, 1)
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Resolvendo, obtemos x1 = 2 e x2 = 3. Da´ı V = 2V1 + 3V2 e
portanto V e´ uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Exemplo: Verifique se o vetor V = (−10,−3, 1) e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o.
x1(1,−3, 5) + x2(−4, 1,−3) = (−10,−3, 1)
(x1 − 4x2,−3x1 + x2, 5x1 − 3x2) = (−10,−3, 1)
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Resolvendo, obtemos x1 = 2 e x2 = 3. Da´ı V = 2V1 + 3V2 e
portanto V e´ uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Exemplo: Verifique se o vetor V = (−10,−3, 1) e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o.
x1(1,−3, 5) + x2(−4, 1,−3) = (−10,−3, 1)
(x1 − 4x2,−3x1 + x2, 5x1 − 3x2) = (−10,−3, 1)
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Resolvendo, obtemos x1 = 2 e x2 = 3. Da´ı V = 2V1 + 3V2 e
portanto V e´ uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Exemplo: Verifique se o vetor V = (−10,−3, 1) e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o.
x1(1,−3, 5) + x2(−4, 1,−3) = (−10,−3, 1)
(x1 − 4x2,−3x1 + x2, 5x1 − 3x2) = (−10,−3, 1)

x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Resolvendo, obtemos x1 = 2 e x2 = 3. Da´ı V = 2V1 + 3V2 e
portanto V e´ uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Exemplo: Verifique se o vetor V = (−10,−3, 1) e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o.
x1(1,−3, 5) + x2(−4, 1,−3) = (−10,−3, 1)
(x1 − 4x2,−3x1 + x2, 5x1 − 3x2) = (−10,−3, 1)
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Resolvendo, obtemos x1 = 2 e x2 = 3. Da´ı V = 2V1 + 3V2 e
portanto V e´ uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Exemplo: Verifique se o vetor V = (−10,−3, 1) e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o.
x1(1,−3, 5) + x2(−4, 1,−3) = (−10,−3, 1)
(x1 − 4x2,−3x1 + x2, 5x1 − 3x2) = (−10,−3, 1)
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Resolvendo, obtemos x1 = 2 e x2 = 3.
Da´ı V = 2V1 + 3V2 e
portanto V e´ uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Exemplo: Verifique se o vetor V = (−10,−3, 1) e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o.
x1(1,−3, 5) + x2(−4, 1,−3) = (−10,−3, 1)
(x1 − 4x2,−3x1 + x2, 5x1 − 3x2) = (−10,−3, 1)
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Resolvendo, obtemos x1 = 2 e x2 = 3. Da´ı V = 2V1 + 3V2 e
portanto V e´ uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
No exemplo anterior, para verificar se o vetor V = (−10,−3, 1) e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3)
precisamos resolver o sistema linear x1V1 + x2V2 = V , ou seja,

x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Matricialmente, este sistema tem a forma: 1 −4−3 1
5 −3
[ x1
x2
]
=
 −10−3
1

Observe as colunas destas matrizes.
Elas sa˜o os vetores V1, V2 e V .
Generalizando, esta observac¸a˜o demonstra o seguinte resultado.
Combinac¸a˜o Linear
No exemplo anterior, para verificar se o vetor V = (−10,−3, 1) e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3)
precisamos resolver o sistema linear x1V1 + x2V2 = V , ou seja,
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Matricialmente, este sistema tem a forma: 1 −4−3 1
5 −3
[ x1
x2
]
=
 −10−3
1

Observe as colunas destas matrizes.
Elas sa˜o os vetores V1, V2 e V .
Generalizando, esta observac¸a˜o demonstra o seguinte resultado.
Combinac¸a˜o Linear
No exemplo anterior, para verificar se o vetor V = (−10,−3, 1) e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3)
precisamos resolver o sistema linear x1V1 + x2V2 = V , ou seja,
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Matricialmente, este sistema tem a forma: 1 −4−3 1
5 −3
[ x1
x2
]
=
 −10−3
1

Observe as colunas destas matrizes.
Elas sa˜o os vetores V1, V2 e V .
Generalizando, esta observac¸a˜o demonstra o seguinte resultado.
Combinac¸a˜o Linear
No exemplo anterior, para verificar se o vetor V = (−10,−3, 1) e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3)
precisamos resolver o sistema linear x1V1 + x2V2 = V , ou seja,
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Matricialmente, este sistema tem a forma: 1 −4−3 1
5 −3
[ x1
x2
]
=
 −10−3
1

Observe as colunas destas matrizes.
Elas sa˜o os vetores V1, V2 e V .
Generalizando, esta observac¸a˜o demonstra o seguinte resultado.
Combinac¸a˜o Linear
No exemplo anterior, para verificar se o vetor V = (−10,−3, 1) e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3)
precisamos resolver o sistema linear x1V1 + x2V2 = V , ou seja,
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Matricialmente, este sistema tem a forma: 1 −4−3 1
5 −3
[ x1
x2
]
=
 −10−3
1

Observe as colunas destas matrizes.
Elas sa˜o os vetores V1, V2 e V .
Generalizando, esta observac¸a˜o demonstra o seguinte resultado.
Combinac¸a˜o Linear
No exemplo anterior, para verificar se o vetor V = (−10,−3, 1) e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 = (1,−3, 5) e V2 = (−4, 1,−3)
precisamos resolver o sistema linear x1V1 + x2V2 = V , ou seja,
x1 − 4x2 = −10
−3x1 + x2 = −3
5x1 − 3x2 = 1
Matricialmente, este sistema tem a forma: 1 −4−3 1
5 −3
[ x1
x2
]
=
 −10−3
1

Observe as colunas destas matrizes.
Elas sa˜o os vetores V1, V2 e V .
Generalizando, esta observac¸a˜o demonstra o seguinte resultado.
Combinac¸a˜o Linear
Proposic¸a˜o: Um vetor V e´ uma combinac¸a˜o linear dos V1, . . . ,Vk
de Rn se o sistema linear AX = V tem soluc¸a˜o, em que A e´ a
matriz cujas colunas sa˜o os vetores V1, . . . ,Vk .
Exemplo: Verifique se o vetor V = (0, 7, 1) e´ uma combinac¸a˜o
linear de V1 = (2, 1, 4) e V2 = (3,−2, 5).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se o sistema linear xV1 + yV2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o. Matricialmente:
 2 31 −2
4 5
[ x
y
]
=
 07
1

Neste caso este sistema na˜o tem soluc¸a˜o e, portanto V na˜o e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Proposic¸a˜o: Um vetor V e´ uma combinac¸a˜o linear dos V1, . . . ,Vk
de Rn se o sistema linear AX = V tem soluc¸a˜o, em que A e´ a
matriz cujas colunas sa˜o os vetores V1, . . . ,Vk .
Exemplo: Verifique se o vetor V = (0, 7, 1) e´ uma combinac¸a˜o
linear de V1 = (2, 1, 4) e V2 = (3,−2, 5).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se o sistema linear xV1 + yV2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o. Matricialmente:
 2 31 −2
4 5
[ x
y
]
=
 07
1

Neste caso este sistema na˜o tem soluc¸a˜o e, portanto V na˜o e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Proposic¸a˜o: Um vetor V e´ uma combinac¸a˜o linear dos V1, . . . ,Vk
de Rn se o sistema linear AX = V tem soluc¸a˜o, em que A e´ a
matriz cujas colunas sa˜oos vetores V1, . . . ,Vk .
Exemplo: Verifique se o vetor V = (0, 7, 1) e´ uma combinac¸a˜o
linear de V1 = (2, 1, 4) e V2 = (3,−2, 5).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se o sistema linear xV1 + yV2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o.
Matricialmente:
 2 31 −2
4 5
[ x
y
]
=
 07
1

Neste caso este sistema na˜o tem soluc¸a˜o e, portanto V na˜o e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Proposic¸a˜o: Um vetor V e´ uma combinac¸a˜o linear dos V1, . . . ,Vk
de Rn se o sistema linear AX = V tem soluc¸a˜o, em que A e´ a
matriz cujas colunas sa˜o os vetores V1, . . . ,Vk .
Exemplo: Verifique se o vetor V = (0, 7, 1) e´ uma combinac¸a˜o
linear de V1 = (2, 1, 4) e V2 = (3,−2, 5).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se o sistema linear xV1 + yV2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o. Matricialmente:
 2 31 −2
4 5
[ x
y
]
=
 07
1

Neste caso este sistema na˜o tem soluc¸a˜o e, portanto V na˜o e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Combinac¸a˜o Linear
Proposic¸a˜o: Um vetor V e´ uma combinac¸a˜o linear dos V1, . . . ,Vk
de Rn se o sistema linear AX = V tem soluc¸a˜o, em que A e´ a
matriz cujas colunas sa˜o os vetores V1, . . . ,Vk .
Exemplo: Verifique se o vetor V = (0, 7, 1) e´ uma combinac¸a˜o
linear de V1 = (2, 1, 4) e V2 = (3,−2, 5).
Soluc¸a˜o. Basta analisar se o sistema linear xV1 + yV2 = V tem
soluc¸a˜o ou na˜o. Matricialmente:
 2 31 −2
4 5
[ x
y
]
=
 07
1

Neste caso este sistema na˜o tem soluc¸a˜o e, portanto V na˜o e´ uma
combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Espac¸o Gerado
O espac¸o gerado pelos vetores V1, . . . ,Vk e´ o conjunto de todas as
combinac¸o˜es lineares destes vetores.
[V1, . . . ,Vk ] = { V = x1V1 + · · ·+ xkVk | x1, . . . , xk ∈ R }
Exemplo: O espac¸o gerado por um vetor na˜o nulo e´ o conjunto
dos mu´ltiplos deste vetor. (uma reta)
Exemplo: O espac¸o gerado por dois vetores na˜o paralelos e´ o
plano que conte´m estes vetores.
Espac¸o Gerado
O espac¸o gerado pelos vetores V1, . . . ,Vk e´ o conjunto de todas as
combinac¸o˜es lineares destes vetores.
[V1, . . . ,Vk ] = { V = x1V1 + · · ·+ xkVk | x1, . . . , xk ∈ R }
Exemplo: O espac¸o gerado por um vetor na˜o nulo e´ o conjunto
dos mu´ltiplos deste vetor. (uma reta)
Exemplo: O espac¸o gerado por dois vetores na˜o paralelos e´ o
plano que conte´m estes vetores.
Espac¸o Gerado
O espac¸o gerado pelos vetores V1, . . . ,Vk e´ o conjunto de todas as
combinac¸o˜es lineares destes vetores.
[V1, . . . ,Vk ] = { V = x1V1 + · · ·+ xkVk | x1, . . . , xk ∈ R }
Exemplo: O espac¸o gerado por um vetor na˜o nulo e´ o conjunto
dos mu´ltiplos deste vetor. (uma reta)
Exemplo: O espac¸o gerado por dois vetores na˜o paralelos e´ o
plano que conte´m estes vetores.
Espac¸o Gerado
Exemplo:
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α gerado pelos vetores
V1 = (2,−1, 1) e V2 = (3, 0, 2).
(b) O vetor U = (5,−1, 3) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por U, V1 e V2?
(c) O vetor W = (3, 2, 1) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por W , V1 e V2?
Espac¸o Gerado
Exemplo:
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α gerado pelos vetores
V1 = (2,−1, 1) e V2 = (3, 0, 2).
(b) O vetor U = (5,−1, 3) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por U, V1 e V2?
(c) O vetor W = (3, 2, 1) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por W , V1 e V2?
Espac¸o Gerado
Exemplo:
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α gerado pelos vetores
V1 = (2,−1, 1) e V2 = (3, 0, 2).
(b) O vetor U = (5,−1, 3) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por U, V1 e V2?
(c) O vetor W = (3, 2, 1) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por W , V1 e V2?
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escreverV0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Enta˜o para formar o espac¸o gerado por um conjunto de vetores
V1, . . . ,Vk podemos “jogar fora” todo vetor que e´ uma
combinac¸a˜o linear dos demais.
Isto nos faz pensar sobre a seguinte
pergunta:
I Dado um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk como saber se um
deles, e qual deles, e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais?
Para responder esta pergunta vamos estudar o conceito de
dependeˆncia linear.
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Neste caso, para construir o espac¸o gerado, existem “vetores
sobrando”.
Espac¸o Gerado
Enta˜o para formar o espac¸o gerado por um conjunto de vetores
V1, . . . ,Vk podemos “jogar fora” todo vetor que e´ uma
combinac¸a˜o linear dos demais. Isto nos faz pensar sobre a seguinte
pergunta:
I Dado um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk como saber se um
deles, e qual deles, e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais?
Para responder esta pergunta vamos estudar o conceito de
dependeˆncia linear.
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Neste caso, para construir o espac¸o gerado, existem “vetores
sobrando”.
Espac¸o Gerado
Enta˜o para formar o espac¸o gerado por um conjunto de vetores
V1, . . . ,Vk podemos “jogar fora” todo vetor que e´ uma
combinac¸a˜o linear dos demais. Isto nos faz pensar sobre a seguinte
pergunta:
I Dado um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk como saber se um
deles, e qual deles, e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais?
Para responder esta pergunta vamos estudar o conceito de
dependeˆncia linear.
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Neste caso, para construir o espac¸o gerado, existem “vetores
sobrando”.
Espac¸o Gerado
Enta˜o para formar o espac¸o gerado por um conjunto de vetores
V1, . . . ,Vk podemos “jogar fora” todo vetor que e´ uma
combinac¸a˜o linear dos demais. Isto nos faz pensar sobre a seguinte
pergunta:
I Dado um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk como saber se um
deles, e qual deles, e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais?
Para responder esta pergunta vamos estudar o conceito de
dependeˆncia linear.
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Neste caso, para construir o espac¸o gerado, existem “vetores
sobrando”.
Espac¸o Gerado
Enta˜o para formar o espac¸o gerado por um conjunto de vetores
V1, . . . ,Vk podemos “jogar fora” todo vetor que e´ uma
combinac¸a˜o linear dos demais. Isto nos faz pensar sobre a seguinte
pergunta:
I Dado um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk como saber se um
deles, e qual deles, e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais?
Para responder esta pergunta vamos estudar o conceito de
dependeˆncia linear.
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Neste caso, para construir o espac¸o gerado, existem “vetores
sobrando”.
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
1. Como saber se um conjunto V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente? Por tentativa, verificando se cada um e´
combinac¸a˜o linear dos demais?
2. Se os vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente dependente, como
saber qual destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais? Ou enta˜o cada um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o
linear dos demais?
Perguntas interessantes, na˜o e´ mesmo?
Respostas.......so´ depois do feriado.
BOM FERIADO!
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
1. Como saber se um conjunto V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente? Por tentativa, verificando se cada um e´
combinac¸a˜o linear dos demais?
2. Se os vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente dependente, como
saber qual destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais? Ou enta˜o cada um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o
linear dos demais?
Perguntas interessantes, na˜o e´ mesmo?
Respostas.......so´ depois do feriado.
BOM FERIADO!
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
1. Como saber se um conjunto V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente? Por tentativa, verificando se cada um e´
combinac¸a˜o linear dos demais?
2. Se os vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente dependente, como
saber qual destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais? Ou enta˜o cada um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o
linear dos demais?
Perguntas interessantes, na˜o e´ mesmo?
Respostas.......so´ depois do feriado.
BOM FERIADO!
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
1. Como saber se um conjunto V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente? Por tentativa, verificando se cada um e´
combinac¸a˜o linear dos demais?
2. Se os vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente dependente, como
saber qual destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais? Ou enta˜o cada um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o
linear dos demais?
Perguntas interessantes, na˜o e´ mesmo?
Respostas.......so´ depois do feriado.
BOM FERIADO!
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
1. Como saber se um conjunto V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente? Por tentativa, verificando se cada um e´
combinac¸a˜o linear dos demais?
2. Se os vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente dependente, como
saber qual destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais? Ou enta˜o cada um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o
linear dos demais?
Perguntas interessantes, na˜o e´ mesmo?
Respostas
.......so´ depois do feriado.
BOM FERIADO!
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
1. Como saber se um conjunto V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente? Por tentativa, verificando se cada um e´
combinac¸a˜o linear dos demais?
2. Se os vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente dependente, como
saber qual destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais? Ou enta˜o cada um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o
linear dos demais?
Perguntas interessantes, na˜o e´ mesmo?
Respostas.......so´ depois do feriado.
BOM FERIADO!
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
1. Como saber se um conjunto V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente? Por tentativa, verificando se cada um e´
combinac¸a˜o linear dos demais?
2. Se os vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente dependente, como
saber qual destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais? Ou enta˜o cada um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o
linear dos demais?
Perguntas interessantes, na˜o e´ mesmo?
Respostas.......so´ depois do feriado.
BOM FERIADO!