Aula 21 - Produto Escalar em Rn

Prévia do material em texto

Produto escalar em Rn
Se V = (v1, v2, . . ., vn) e W = (w1,w2, . . . ,wn) sa˜o vetores em Rn,
o produto escalar entre V e W e´ o nu´mero real
〈V ,W 〉 = v1w1 + v2w2 + · · ·+ vnwn.
A norma do vetor V e´ ‖ V ‖=
√
v21 + v
2
2 + · · ·+ v2n =
√〈V ,V 〉.
Observe que isto e´ uma generalizac¸a˜o das definic¸o˜es que ja´ foram
dadas e interpretadas para R2 e R3.
Produto escalar em Rn
Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o
R2 e R3)
(a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉.
(b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉.
(c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉.
(d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0.
(e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz).
(f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular)
Produto escalar em Rn
Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o
R2 e R3)
(a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉.
(b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉.
(c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉.
(d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0.
(e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz).
(f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular)
Produto escalar em Rn
Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o
R2 e R3)
(a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉.
(b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉.
(c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉.
(d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0.
(e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz).
(f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular)
Produto escalar em Rn
Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o
R2 e R3)
(a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉.
(b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉.
(c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉.
(d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0.
(e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz).
(f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular)
Produto escalar em Rn
Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o
R2 e R3)
(a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉.
(b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉.
(c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉.
(d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0.
(e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz).
(f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular)
Produto escalar em Rn
Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o
R2 e R3)
(a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉.
(b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉.
(c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉.
(d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0.
(e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz).
(f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular)
Produto escalar em Rn
Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o
R2 e R3)
(a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉.
(b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉.
(c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉.
(d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0.
(e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz).
(f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular)
Produto escalar em Rn
Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖.
Desta desigualdade segue que
|〈V ,W 〉|
‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi]
tal que
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖‖W ‖ .
Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W .
Como em R2 e em R3, novamente temos que
〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ).
Produto escalar em Rn
Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖.
Desta desigualdade segue que
|〈V ,W 〉|
‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi]
tal que
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖‖W ‖ .
Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W .
Como em R2 e em R3, novamente temos que
〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ).
Produto escalar em Rn
Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖.
Desta desigualdade segue que
|〈V ,W 〉|
‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi]
tal que
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖‖W ‖ .
Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W .
Como em R2 e em R3, novamente temos que
〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ).
Produto escalar em Rn
Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖.
Desta desigualdade segue que
|〈V ,W 〉|
‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi]
tal que
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖‖W ‖ .
Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W .
Como em R2 e em R3, novamente temos que
〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ).
Produto escalar em Rn
Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖.
Desta desigualdade segue que
|〈V ,W 〉|
‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi]
tal que
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖‖W ‖ .
Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W .
Como em R2 e em R3, novamente temos que
〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ).
Produto escalar em Rn
Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖.
Desta desigualdade segue que
|〈V ,W 〉|
‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1.
Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi]
tal que
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖‖W ‖ .
Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W .
Como em R2 e em R3, novamente temos que
〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ).
Produto escalar em Rn
Se V e W sa˜o vetores na˜o nulos em Rn, vimos que
〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ)
onde θ e´ o aˆngulo entre V e W .
Isto implica que 〈V ,W 〉 = 0 se, e somente se, θ = 90o . Portanto
〈V ,W 〉 = 0 caracteriza vetores ortogonais.
De modo ana´logo ao que ja´ foi feito no plano e no espac¸o,
podemos definir o conceito de projec¸a˜o ortogonal.
Produto escalar em Rn
Se V e W sa˜o vetores na˜o nulos em Rn, vimos que
〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ)
onde θ e´ o aˆngulo entre V e W .
Isto implica que 〈V ,W 〉 = 0 se, e somente se, θ = 90o . Portanto
〈V ,W 〉 = 0 caracteriza vetores ortogonais.
De modo ana´logo ao que ja´ foi feito no plano e no espac¸o,
podemos definir o conceito de projec¸a˜o ortogonal.
Produto escalar em Rn
Se V e W sa˜o vetores na˜o nulos em Rn, vimos que
〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ)
onde θ e´ o aˆngulo entre V e W .
Isto implica que 〈V ,W 〉 = 0 se, e somente se, θ = 90o . Portanto
〈V ,W 〉 = 0 caracteriza vetores ortogonais.
De modo ana´logo ao que ja´ foi feito no plano e no espac¸o,
podemos definir o conceito de projec¸a˜o ortogonal.
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0
⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0
⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0
⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal aV .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉
⇒ projV (W ) = 〈W ,V 〉〈V ,V 〉 V
Projec¸a˜o Ortogonal
O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por:
I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V .
I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V .
〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒
〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒
α =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) =
〈W ,V 〉
〈V ,V 〉 V
Bases Ortogonais e Ortonormais
Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn:
(a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o
ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0.
(b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e
perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1.
Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3.
Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base
ortogonal de R2.
Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ))
formam uma base ortonormal de R2.
Bases Ortogonais e Ortonormais
Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn:
(a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o
ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0.
(b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e
perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1.
Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3.
Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base
ortogonal de R2.
Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ))
formam uma base ortonormal de R2.
Bases Ortogonais e Ortonormais
Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn:
(a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o
ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0.
(b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e
perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1.
Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3.
Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base
ortogonal de R2.
Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ))
formam uma base ortonormal de R2.
Bases Ortogonais e Ortonormais
Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn:
(a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o
ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0.
(b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e
perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1.
Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3.
Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base
ortogonal de R2.
Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ))
formam uma base ortonormal de R2.
Bases Ortogonais e Ortonormais
Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn:
(a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o
ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0.
(b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e
perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1.
Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3.
Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base
ortogonal de R2.
Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ))
formam uma base ortonormal de R2.
Bases Ortogonais e Ortonormais
Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn:
(a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o
ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0.
(b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e
perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1.
Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3.
Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base
ortogonal de R2.
Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ))
formam uma base ortonormal de R2.
Bases Ortogonais e Ortonormais
Exemplo 4: Considere o plano 2x + y − 3z = 0 de R3. Observe
que ele e´ um subespac¸o de R3.
(a) Determine uma base de W .
(b) Determine uma base ortogonal de W .
(c) Determine uma base ortonormal de W .
Exemplo 5: Sejam V1 = (1, 3,−2, 5) e V2 = (1, 2, 1, 3) vetores de
R4. Seja W o conjunto dos vetores de R4 que sa˜o ortogonais a V1
e a V2.
(a) Determine uma base de W .
(b) Determine uma base ortogonal de W .
(c) Determine uma base ortonormal de W .
Bases Ortogonais e Ortonormais
Exemplo 4: Considere o plano 2x + y − 3z = 0 de R3. Observe
que ele e´ um subespac¸o de R3.
(a) Determine uma base de W .
(b) Determine uma base ortogonal de W .
(c) Determine uma base ortonormal de W .
Exemplo 5: Sejam V1 = (1, 3,−2, 5) e V2 = (1, 2, 1, 3) vetores de
R4. Seja W o conjunto dos vetores de R4 que sa˜o ortogonais a V1
e a V2.
(a) Determine uma base de W .
(b) Determine uma base ortogonal de W .
(c) Determine uma base ortonormal de W .
I Fac¸am os exerc´ıcios da Lista.
I Na pro´xima aula vamos falar de mudanc¸as de coordenadas.
I As aulas sa˜o importantes, pois estamos aprendendo muitos
conceitos.
I Os slides na˜o substituem a apostila e a aula.