Aula_03_-_CE_1_-_cap_01

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321  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  Nodal 32
1 3 ‐ Métodos de Análise1.3 ‐ Métodos de Análise
 Análise  Nodal
F di é i áli d i i d õ• Fornece um procedimento genérico para análise de circuitos usando tensões
nodais como variáveis de circuitos.
 Circuito com nós e sem fonte de tensão Circuito com n nós e sem fonte de tensão.
‐ Etapas para determinas as tensões nodais.
1 Selecione um nó referência Atribua tensões v1 v21. Selecione um nó referência. Atribua tensões v1, v2, ...,
vn-1 aos n-1 nós restantes. As tensões são medidas
em relação ao nó de referência. Ao lado estão
apresentados os símbolos comuns para indicar um
2 Aplique a lei dos nós a cada um dos n-1 nós que não são de referência Use a lei
apresentados os símbolos comuns para indicar um
nó de referência: (a) terra comum; (b) terra; (c) terra
(chassi).
2. Aplique a lei dos nós a cada um dos n 1 nós que não são de referência. Use a lei
de Ohm para expressar as correntes nos ramos em termos das tensões nodais.
Lembre que em um resistor a corrente flui de um potencial mais elevado para
um potencial mais baixo.u pote c a a s ba o.
3. Resolva as equações simultâneas resultantes para obter as tensões nodais
desconhecidas.
331  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  Nodal 33
Exercício 17  ‐ Determine as tensões nos nós 1, 2 e 3.
i)  Marque o nó de referência e o sentido das correntes nos ramos.
341  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  Nodal 34
ii)  Aplique a lei dos nós, nos nós 1, 2 e 3.
             
:1  nó
1223
24
3
3
321
2131
1


vvvvvvv
ii x
24 321
:2  nó
0
32 
vvvvv
iiix                074
4
0
82 321
23221  vvvvvvvv
:3nó 2  iii                
:3  nó
032
842
2
2
321
323121
21


vvvvvvvvv
iiix
iii)  Resolva o sistema de equações lineares
  121231223 vvvv




























 






0
0
12
132
174
123
032
074
1223
3
2
1
321
321
321
v
v
v
vvv
vvv
vvv
matricial  forma
 
bA
 3321
x
  
351  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  Nodal 35
Regra de Cramer: , e
)det( 1
1
Av )det( 2Av )det( 33 Av
1212 
Regra de Cramer:                         ,                          e       
123 
)det(1 A
v
)det(2 A
v
)det(3 A
v
Vvv 8448
130
170
1212



10
132
174
123
)det( 

A
Vvv                  
104
1123
8,4
10)det( 11


A
Vvv                    4,2
10
24
)det(
102
104
22 


A
 MATLAB
>> A=[3 -2 -1; -4 7 -1; 2 -3 1];
074
1223
)(


>> b=[12;0;0];
>> x=inv(A)*b
x =
4.8000
Vvv              4,2
10
)24(
)det(
032
33  A
2.4000
-2.4000
361  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  Nodal 36
 Circuito contendo fonte de tensão Circuito contendo fonte de tensão
Neste caso, tem‐se duas possibilidades:
1 ‐ Se a fonte de tensão estiver conectada entre o nó de referência e um nó não‐1 Se a fonte de tensão estiver conectada entre o nó de referência e um nó não
referência, simplesmente configuramos a tensão no nó não referência igual à
tensão da fonte de tensão.
2 ‐ Se a fonte de tensão (dependente ou independente) estiver conectada entre2 ‐ Se a fonte de tensão (dependente ou independente) estiver conectada entre
dois nós não referência, os dois nós não referência formam um nó genérico
ou supernó; aplicamos tanto a lei dos nós como a lei das malhas para deter‐
minar as tensões nodaisminar as tensões nodais.
Exercício 18 ‐ Determine as tensões nos nós
1, 2 e 3.,
‐ Observe que a fonte de tensão de 10 V
está localizada entre o nó de referência e o 
nó 1. Portanto  v1= 10 V.
‐ A fonte de tensão de 5 V está localizada 
ó 2 3 P óentre os nós 2 e 3.  Portanto esses nós 
podem ser tratado como um supernó.
371  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  Nodal 37
:supernó 3241  iiii                 0101518
6
0
8
0
42 321
323121
3241
 vvvvvvvvv
Lei das malhas no supernó: vv 532        
R l i t d õ liResolva o sistema de equações lineares
vvv
v



0101518
101 1
 MATLAB
>> A=[1 0 0; 18 -15 -10; 0 1 -1];
>> b=[10;0;5];
>> x=inv(A)*b
vv
vvv





5
0101518
32
321 >> x=inv(A)*b
x =
10.0000
9.2000
4 2000
Vv
v
v
v






















2,9
10
0
10
101518
001
2
1
2
1
           4.2000
 
V
v
v
v
v
x


















  2,4
2,9
5
0
110
101518
3
2
3
2           
bA
  
381  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  de  Malhas 38
 Análise  de  Malhas
• Um laço é um caminho fechado onde não se passa mais de uma vez pelo mesmo
nó. Umamalha é um laço que não contém qualquer outro laço dentro de si.
A áli d i it tili t d lh iá i d i it• A análise do circuito utiliza as correntes de malha como variáveis de circuitos.
• O método de malhas só se aplica a circuitos elétricos planares. Circuitos planares são
circuitos que podem ser desenhados no plano sem nenhum ramo cruzando entre si;
á l é lcaso contrário, ele é um circuito não‐planar.
 Circuito com nmalhas e sem fonte de corrente Circuito com nmalhas e sem fonte de corrente.
‐ Etapas para determinação de corrente de malha
1 Atribua correntes i i i a malhas1. Atribua correntes i1, i2, ..., in a n malhas.
2. Aplique a lei das malhas a cada uma das n malhas. Use a lei de Ohm para se
expressar as tensões em termos de correntes de malha.
3. Resolva as n equações simultâneas resultantes para obter as correntes de malha.
391  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  de  Malhas 39
Exercício 19  ‐ Use a análise de malhas para calcular a corrente i0 no circuito abaixo.0
i)   Aplique a lei das malhas em cada malha
)resistores e  teindependen  (fonte  1  malha
       iiiiiii 126511121024 3213121 
s)(resistore  2  malha
       iiiiiiii 02195010424 32112322 
   
)resistores  e  dependente  (fonte  3  malha
   
                         
   :A  nó no   ,
 
iiiiiiiii
iiiiiiii
0204124
04124
321231321
21023130


401  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  de  Malhas 40
ii) Resolva o sistema de equações lineares














 



0
12
2195
6511
074
1223 1321
i
i
vvv
vvv
matricial  forma
ii)   Resolva o sistema de equações lineares
 
bA










 





0
0
211
2195
032
074
3
2
321
321
x
i
i
vvv
vvv
  
AiiiiA
i
i
i
i 5,175,025,2
51
75,0
25,2
02102
1
0  
















                             de  cálculo
 MATLAB
i 5,13 
 MATLAB
>> A=[11 -5 -6; -5 19 -2; -1 -1 2];
>> b=[12;0;0];
>> x=inv(A)*b;
>> i0=x(1)-x(2)>> i0 x(1) x(2)
i0 =
1.5000
411  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  de  Malhas 41
 Circuito contendo fonte de corrente Circuito contendo fonte de corrente
Neste caso, tem‐se duas possibilidades:
1 ‐ Quando existe uma fonte de corrente apenas em uma malha, ajuste o valor1 Quando existe uma fonte de corrente apenas em uma malha, ajuste o valor
da corrente de malha de acordo com o valor da corrente fornecida pela
fonte. A corrente de malha será positiva se estiver no mesmo sentido da
fonte de corrente, caso contrário o sinal será negativo., g
Exercício 20 ‐ Determine as correntes de malha para o circuito abaixo
    
)resistores  e  teindependen  (fonte  1  malha
 iiiii 106106410 21211    21211
)resistores  e  corrente  de  (fonte  2  malha
    de e  corrente de  fonte  da  sentidos  os  analisando Aii 522 
P d Aiii 2610 2Portando: Aii 2
10 1
2
1 
421  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Análise  de  Malhas 42
2 ‐ Se a fonte de corrente existe entre duas malhas, cria‐se a super malha excluindo a
f d l l d é lfonte de corrente e quaisquer elementos a ela associados em série. Aplica‐se
tanto a lei das malhasquanto a lei dos nós para a determinação das correntes.
Exercício 21 ‐ Determine as correntes de malha para o circuito abaixo
      :  0  nó 612  ii
221 410620 iii                                                              :malha  super
431  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Exercícios 43
Resolva o sistema de equações:Resolva o sistema de equações:
A
i
i
i
i-
ii
ii










 




8,2
2,3
20
6
146
11
20146
6
2
1
2
1
21
21             matricial  forma
 MATLAB
>> A=[-1 1; 6 14];
>> b=[6; 20];
>> x=inv(A)*b
x =
-3.2000
2 80002.8000
Exercício 22 ‐ Determine as tensões v1, v2 e v3 para os circuitos abaixo, utilizando análise
nodal.
441  ‐ Introdução1.3  ‐ Métodos  de  Análise  ‐ Exercícios 44
Exercício 23 ‐ Escreva o conjunto de equações de malha para os circuitos abaixo.
Exercício 24 ‐ Determine as correntes de
malha i1, i2 e i3 para o circuito ao lado
Exercício 25 ‐ Determine o ganho vo/vs para o
circuito ao lado.