Aula_04_-_CE_1_-_cap_01

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451  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Propriedade  da  Linearidade 45
1 4 ‐ Teoremas de Circuitos1.4 ‐ Teoremas de Circuitos
 Propriedade  da  Linearidade
A li id d é bi ã d i d d d h id d ( li ã d• A linearidade é uma combinação da propriedade de homogeneidade (aplicação de
uma fator de escala) e da propriedade de aditividade.
 Análise das propriedades do resistor Análise das propriedades do resistor
‐ Lei de Ohm: v = Ri
‐ Homogeneidade: se a corrente for multiplicada por uma constante k, então
a tensão aumenta correspondentemente de k  kRi = kv.
‐ Aditividade: a resposta para um somatório de entradas é igual a soma das
respostas de cada entrada separadamente. Considere duas relaçõesp p ç
tensão‐corrente em um resistor: v1=Ri1 e v2=Ri2. Então, se aplicarmos
ao circuito (i1+i2)  v=R (i1+i2) = Ri1 +Ri2 = v1+v2.
• Um circuito linear é um circuito cuja saída está linearmente relacionada (ou
diretamente proporcional) à sua entrada.
461  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Propriedade  da  Linearidade 46
Exercício 26 ‐ Para o circuito abaixo, encontre i0 quando vS =12V e vS =24V.0 S S
  41248  viiviii 0:1malha  
 
21
211122
21211
412
1610203412
41248
 


vii
viiivvviii
viiviii
s
sxxs
ss
(1)                                                
i tl
         mas   ,   :2  malha
      0   :1  malha
2121
21
21
60122
1610

 
iiii
vii s
s
(3)                       :(2)(1)                                      
(2)                                                
( )   :sistema  o resolva
20
2 76


iiv
vi s
valor.dedobracorrenteafontedavalorodobrandoqueobserve
        (1)  em  (3)  dosubstituin                                      
76
24
076
12
0
20
2412  iVviVv
iiv
ss
s           para          para
valor. de dobra    corrente  a   fonte  da  valor o  dobrando  que  observe
471  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Superposição 47
 Superposiçãop p ç
• O princípio da superposição afirma que a tensão (ou a corrente) em um elemento em
um circuito linear é a soma algébrica da soma das tensões (ou das correntes) naquele
elemento em virtude da atuação isolada de cada uma das fontes independenteselemento em virtude da atuação isolada de cada uma das fontes independentes.
‐ Etapas para a aplicação do princípio da superposição
1 Desative todas as fontes independentes exceto uma delas Encontre a saída1. Desative todas as fontes independentes, exceto uma delas. Encontre a saída
(tensão ou corrente) em razão dessa fonte ativa.
i) Fonte de tensão desativada = curto‐circuito.
ii) Fonte de corrente desativada = circuito aberto.ii) Fonte de corrente desativada circuito aberto.
2. Repita o passo para cada uma das fontes independentes.
3. Determine a contribuição total somando algebricamente todas as contribuições
ã d f t i d d tem razão das fontes independentes.
Exercício 27 Use o teorema da superposição para determinar o valor de da tensão vExercício 27 ‐ Use o teorema da superposição para determinar o valor de da tensão v
481  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Superposição 48
‐ O circuito possui duas fontes independentes, então: v= v1 + v2, onde v1 e v2 são asp p 1 2 1 2
contribuições devidas, respectivamente, à fonte de tensão e à fonte de corrente.
i) Fonte de corrente desativada
Aii 5,0126 11 
ii) F d ã d i d
Vviv 24 111 
ii) Fonte de tensão desativada
                 Vvvvii 83
48
3 22222 
iii) Cálculo da tensão:                  Vvvvv 108221 
491  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Transformação  de  Fontes 49
 Transformação  de  Fontesç
• Transformação de fontes é o processo de substituir uma fonte de tensão vs em série
com um resistor R por uma fonte de corrente iS em paralelo com um resistor R, ou vice‐
versaversa.
viRiv S 
Os dois circuitos, apresentados na figura acima, são equivalentes. Um circuito
equivalente é um circuito cujas características vxi são idênticas à do circuito original.
R
iRiv SSS                   
equivalente é um circuito cujas características vxi são idênticas à do circuito original.
Exercício 28  ‐ Use transformação de fontes para determinar v0, no circuito abaixoç p 0,
501  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Transformação  de  Fontes 50
i) Observando o circuito original (slidei) Observando o circuito original (slide
anterior), transforme a fonte de corrente
(à esquerda do terminal ab) em uma
fonte de tensão e transforme também a

fonte de tensão (à direita do terminal cd)
em uma fonte de corrente
ii) Transforme a fonte de tensão (à es‐
querda do terminal ef) em uma fonte de
corrente

iii) Observe que o circuito ficou simplificado em um circuito de dois nós (e e f). As fontes
de corrente estão em paralelo e podem ser substituídas por uma fonte de correntep p p
equivalente de 2A com o mesmo sentido da fonte de 4A. Os resistores de 6 e 3
Ohms, estão em paralelo e serão substituídos por um resistor equivalente de 2
Ohms.
Vvvv ooo 2,3228
                     :nós   dos   lei
28
511  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Teorema  de Thévenin 51
 Teorema de Thévenin Teorema  de  Thévenin
• Um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente
formado por uma fonte de tensão VTH em série com um resistor RTH.TH TH

 VTH é a tensão de circuito aberto nos
terminais e RTH a resistência de entrada ouTH
equivalente nos terminais quando as fontes
independentes forem desativadas.
521  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Teorema  de Thévenin 52
Para o cálculo da resistência de Thévenin RTH, precisa‐se considerar dois casos.TH
1. Se o circuito não tiver fontes dependentes,
desative todas as fontes independentes. A
resistência equivalente RTH é a resistência
de entrada do circuito, olhando‐se entre os
terminais a e b.
2. Se o circuito tiver fontes dependentes,
d ti t d f t i d d tdesativa‐se todas as fontes independentes.
Neste caso pode‐se aplicar uma fonte de
tensão vo (ou uma fonte de corrente io)
entre os terminais a e b do circuito e calculaentre os terminais a e b do circuito e calcula‐
se a corrente io (ou a tensão vo). A
resistência de Thévenin é dada por:
o
o
TH i
vR 
531  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Teorema  de Thévenin 53
• Demonstração do teorema de Thévenin
Para fins de simplicidade, considere um circuito linear
alimentado por uma fonte de corrente i e composto por
resistores duas fontes independentes de tensão v e v eresistores, duas fontes independentes de tensão vs1 e vs2 e
duas fontes independentes de corrente is1 e is2.
Aplicando o princípio da superposição, a tensão v nos
t i i b é d dterminais a e b é dada por:
onde e A0, A1, A2, A3 e A4 são constantes. Cada termo do lado
241322110 ssss iAiAvAvAiAv 
0 1 2 3 4
direito, da igualdade acima, é a contribuição de uma fonte
independente. Agrupando os termos referentes às fontes
independentes internas, , tem‐241322110 ssss iAiAvAvAB 
se:
Observe que
00 BiAv 
(i) Q d t i i b ti i it b t i 0 B B V(i) Quando os terminais a e b estiverem em circuito aberto, i=0 e v=B0  B0=VTH.
(i) Quando todas as fontes internas são desligadas, B0=0. O circuito pode ser 
substituído por uma resistência equivalente RTH , v=A0 i= RTH i  A0=RTH.substituído por uma resistência equivalente  RTH , v A0 i RTH i  A0 RTH.
Portanto, a relação tensão x corrente nos terminais a e b é dada por: THTH VR  iv
541  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Teorema  de Thévenin 54
Exercício 29 ‐ Encontre o equivalente de Thévenin para o circuito abaixo
Cál l d i tê i R‐ Cálculo da resistência RTH
(i) Desative todas as fontes independentes
(ii) Excite o circuito com uma fonte v0=1V. Calcule i0 e faça RTH = 1/ i0
 :1malha 022  iiviiv  
           :2  malha
         mas      
          :1  malha
0624
034
022
32122
212
2121




iiiii
iiiv
iiviiv-
x
xx
   
 
                  
   :3  malha 0126 323
32122 iii
551  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Teorema  de Thévenin 55
0031 i 
:matricial  forma
1
0
0
860
6122
031
3
2
1
i
i
i




























         Ω61R
6
1
108
18
TH031
160
0122
031
30 i
 ii  

                 
6108 0
860
6122
i


‐ Cálculo da tensão VTH
   
 
       :2  malha
     :1  malha
0624
5
23212
1


 iiiii
i
 
 
  
       mas           
         ‐   :3  malha
034
4
022
21
2323



iii
iiv
iiviiv
x
xx
               034 321  iii
561  ‐ Introdução1.4 ‐ Teoremas  de  Circuitos  ‐ Teorema  de Thévenin 56
i 5001 
:matricial  forma
i
i
i
0
0
5
134
2124
001
3
2
1



























       Vi i 206V
6
20
)18(
)60(
2TH001
104
204
051
2  

                  
6)18(
134
2124



Portanto o circuito equivalente de Thévenin é da seguinte forma:Portanto, o circuito equivalente de Thévenin é da seguinte forma:
 MATLAB (calc de Vth)
>> A=[1 0 0; -4 12 -2;4 -3 -1];
>> b=[5; 0; 0];
 MATLAB (calc de Rth)
>> A=[1 3 0; -2 12 -6; 0 -6 8];
>> b=[0; 0; -1];
>> x=inv(A)*b;
>> i2=x(2);
>> Vth=6*i2
Vth =
>> x=inv(A)*b;
>> io=-x(3);
>> Rth=1/io
Rth =
206