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SEL-417 Fundamentos de Controle -2011 Departamento de Engenharia Ele´trica - EESC/USP Lista de Exerc´ıcios No. 2 Profa. Vilma A. Oliveira Data de entrega: 18/09/2011 Os alunos podem entregar a soluc¸a˜o de apenas 1 exerc´ıcio desta lista. Todos os passos da soluc¸a˜o inclusive o co´digo Matlab, se for o caso, devem ser inclu´ıdos. 1. Escrever as equac¸o˜es dinaˆmicas e obter as func¸o˜es de transfereˆncia para os circuitos avanc¸o e atraso de fase da Fig. 1. R2 C 2 R1 R4 R3 + - + - vi vo C1 Figura 1: Circuito avanc¸o (R1C1 > R2C2) ou atraso (R1C1 < R2C2). 2. Equac¸o˜es diferenciais e func¸o˜es de transfereˆncia do motor CC (a) Considere o motor de corrente cont´ınua (CC) descrito pelo diagrama eletromecaˆnico equivalente mostrado na Figura 2 com paraˆmetros definidos na Tabela 1. Obter as equac¸o˜es de movimento do rotor, circuito ele´trico da armadura e obter a equac¸a˜o diferencial do motor CC para a velocidade e tensa˜o aplicada na armadura. Utilizando a lei de Newton para sistemas rotacionais obte´m-se o torque que faz o eixo girar Te(t) = Ktia(t) = J d dt ω(t) +Bω(t) + F. (1) Por sua vez, utilizando a lei de tensa˜o de Kirchhoff obte´m-se va(t) = Raia(t) + La d dt ia(t) +Keω(t). (2) Usando o operador p = d dt pede-se verificar que a equac¸a˜o diferencial de ordem 2 que relaciona a velocidade ω e a tensa˜o va aplicada na armadura para F = 0 e´ a seguinte: a2 d2y(t) dt2 + a1 dy(t) dt + a0y(t) = u(t) (3) com a2 = LaJ , a1 = (RaJ + LaB), a0 = (RaB +KtKb), u(t) = Ktva e y(t) = ω(t). Sugesta˜o. Obter ia(t) de (1) e substituir em (2). 1 Figura 2: Diagrama eletromecaˆnico do motor CC. Tabela 1: Paraˆmetros do motor. Paraˆmetros Ele´tricos Paraˆmetros Mecaˆnicos Ra resisteˆncia armadura [Ω] J momento ine´rcia [N m s 2/rad] La indutaˆncia armadura [H] B coeficiente atrito viscoso [N m s/rad] Ke constante f.c.e.m [V s/rad] Kt constante torque [N m/A] Kt constante torque [N m/A] (b) A partir de (1) e (2) com F = 0 determinar as seguintes func¸o˜es de transfereˆncia (exerc´ıcio retirado da Lista 2/2007 do Prof. B. J. Mass): G1(s) = ω(s) Va(s) G2(s) = θ(s) Va(s) G3(s) = Ia(s) Va(s) G4(s) = Te(s) V a(s) G5(s) = ω(s) Ia(s) G6(s) = θ(s) Ia(s) G7(s) = Te(s) Ia(s) . (4) (c) Obter o diagrama de blocos do motor para entrada Va(s) e sa´ıda θ(s). (d) Incluir um torque de perturbac¸a˜o em (1) e refazer o diagrama de blocos do item 2c (exerc´ıcio retirado da Lista 2/2007 do Prof. B. J. Mass). 3. Considere o amplificador de poteˆncia para o motor cc mostrado na Fig. 3. A ideia e´ fazer a corrente seguir a entrada de tensa˜o. Este apmplificador e´ chamado amplificador de corrente. Suponha que a resisteˆncia Rs seja muito pequena comparada com a resisteˆncia de realimentac¸a˜o R (Problema 2.12 do Franklin et alli, 5a. edic¸a˜o, 2005). (a) Obter a func¸a˜o de transferencia de Vi para Ia (lembrar que v− ∼= v+). Rf Ri Rs + - v i + - motorcc v o iaR v- v + Figura 3: Amplificador de corrente. 2 (b) Verificar que a func¸a˜o de transferencia de Vi para Ia para Rf =∞ e´ dada por Ia Vi = −R RiRs . (5) 3
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