Aula_08_-_CE_1_-_cap_03

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Capacitores e Indutores
13  ‐ Capacitores  e  Indutores3.1  ‐ Capacitores 1
Capacitores  e  Indutores
3.1  – Capacitores
• Capacitor é um elemento passivo projetado para
armazenar energia em seu campo elétrico.
• Um capacitor é formado por duas placas condutoras
separadas por um isolante (dielétrico). Em diversas
aplicações práticas, as placas podem ser constituídas por
f lh d l í i di lé i d
 Quando uma fonte de tensão v é conectada ao capacitor,
folhas de alumínio, ao passo que o dielétrico pode ser
composto por ar, cerâmica, papel ou mica.
 Q p ,
como na figura ao lado, a fonte deposita carga positiva q sobre
uma placa e carga negativa –q na outra placa.
 A tid d d d t d é A quantidade de carga armazenada, representada por q, é
diretamente proporcional à tensão aplicada v, de modo que
Cvq 
onde C, a constante de proporcionalidade, é denominada
capacitância.
23  ‐ Capacitores  e  Indutores3.1  ‐ Capacitores 2
 Capacitância é a razão entre a carga depositada em uma placa de um capacitor e a
Coulomb Farad  qC
 Capacitância é a razão entre a carga depositada em uma placa de um capacitor e a 
diferença de potencial entre as duas placas, medidas Farad (F).
Volt
d
v
C
 O valor da capacitância depende das dimensões físicas do capacitor.  Valores 
típicos estão na faixa de picofarads (pF) a microfarads (F).
 Para o capacitor de placas planas paralelas (figura do slide anterior), a capaci‐
tância é dada por Maiores detalhes sobre o cálculo de capacitância podeAC tância é dada por             . Maiores detalhes sobre o cálculo de capacitância pode 
ser encontrado em um livro sobre eletromagnetismo.
A figura abaixo ilustra os símbolos utilizados para capacitores de valor fixo e variável
d
AC 
A figura abaixo ilustra os símbolos utilizados para capacitores de valor fixo e variável.
Convenção dos sinais de i e v
 Se  v.i > 0, o capacitor está sendo carregado., p g
 Se  v.i < 0, o capacitor está sendo descarregado.
33  ‐ Capacitores  e  Indutores3.1  ‐ Capacitores 3
 Relação corrente‐tensão no capacitor Relação corrente tensão no capacitor 
Aplicando o operador diferencial na equação q=Cv, tem‐se:
dt
dvCi
dt
dvC
dt
dq 
‐ Capacitores lineares possuem relação corrente x 
tensão de acordo com gráfico ao lado. O gráfico para 
capacitores não lineares não é uma linha reta.  Neste p
curso de Circuitos Eletrônicos I trataremos de 
capacitores lineares.
Aplicando o operador integral na equação tem‐se:
 Relação tensão‐corrente no capacitor
dvCdtidvCi Aplicando o operador integral na equação                                                 ,  tem se:dvCdti
dt
Ci    
)(1)( o
ttt
tvdti
C
tvdvCdti     
onde                          é a tensão no capacitor no instante to. 
ttt C ooo
C
tqtv oo
)()( 
43  ‐ Capacitores  e  Indutores3.1  ‐ Capacitores 4
 Potência e Energia Armazenada Potência e Energia Armazenada
A potência liberada para o capacitor é
A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é
dt
dvCvpvip 
A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é
   22)(
)(
2
)(
)(
)(
2
1)(
2
1
2
1
o
tv
tv
tv
tv
t
t
t
t
tvCtCvwCvdvvCdt
dt
dvCvdtpw                        
Substituindo v=q/C na equação obtida, tem‐se:
)()( tvtvtt oooo
   
C
tq
C
tqw o
2
)(
2
)( 22 
 Propriedades
I O capacitor é um circuito aberto em ccI. O capacitor é um circuito aberto em cc.
                :se‐tem constante,  for    tensão  a  se 0 iv
dt
dvCi
II. A tensão em um capacitor não pode variar abruptamente.
 dv
v
dvCi
 saltos)  (sem  tempo do  domínio  no  contínua  função  uma  ser  deve    tensão  a
 
.0 t
dt
dvdt
Ci  todo  para  existir  possa     derivada  a  que  para
53  ‐ Capacitores  e  Indutores3.1  ‐ Capacitores 5
 O capacitor ideal não dissipa energia. Ele absorve potência do circuito ao armazenar 
lé d l benergia em seu campo elétrico e retorna energia armazenada previamente ao liberar 
potência para o circuito.
 Um capacitor real, não ideal, possui uma resistên‐Um capacitor real, não ideal, possui uma resistên
cia de fuga em paralelo conforme apresentado na
figura ao lado. A resistência de fuga pode chegar a
valores bem elevados como 100M e pode serp
desprezada na maioria das aplicações práticas.
Neste curso trataremos de capacitores ideais.
 Associação de capacitores em paralelo
Considere o circuito composto por N capacitores em paralelo
N
dvdvdv
iiii  21
   :nós  dos  lei  a  aplicando   ‐
  eqN
N
dvCidvCCCi
dt
dvC
dt
dvC
dt
dvCi




21
21 
 
Neq
eqN
CCCC
dtdt
 21
21
    
63  ‐ Capacitores  e  Indutores3.1  ‐ Capacitores 6
 Associação de capacitores em sérieç p
Considere o circuito composto por N capacitores em série
  :malhas  das  lei  a  aplicando   ‐
N
t
N
tt
N
tvdtti
C
tvdtti
C
tvdtti
C
v
vvvv
)()(1)()(1)()(1 002
2
01
1
21


 

    
t
N
t
tN
tNtt
tvtvtvdtti
CCC
v
CCC
)()()()(111
)(
00201
21
21
0
000



        
Neq
t
teq
tvtN
CCCC
tvdtti
C
v 1111)()(1
21
0
)(21
0
00


      
qq 0
Exercício 3.1 ‐ Determine a corrente através de um
capacitor de 200F cuja tensão é apresentada no
gráfico ao lado.
73  ‐ Capacitores  e  Indutores3.1  ‐ Capacitores  /  Exercícios 7
Exercício 3.2 ‐ Determine a energia armazenada emExercício 3.2 Determine a energia armazenada em
cada capacitor, do circuito ao lado, em condições de
regime permanente de corrente contínua.g p
Exercício 3.3 ‐ Para o circuito abaixo, determine a
tensão em cada capacitor
Exercício 3.4 ‐ Considerando
que a fonte independente forneça
corrente ao circuito, de acordo
com o gráfico abaixo e que v(0)=0, determine v(t), i1(t) e i2(t) no circuito abaixo.
3.2 – Indutores
83  ‐ Capacitores  e  Indutores3.2  ‐ Indutores 8
3.2   Indutores
• Indutor é um elemento passivo projetado para armazenar
energia em seu campo magnético.
• O indutor consiste de uma bonina de N espiras de um fio
condutor , conforme a figura ao lado.
 Ao passar uma corrente através de um indutor, constata‐se
que a tensão no indutor é diretamente proporcional à taxa de
variação da corrente. Utilizando a regra dos sinais (passivo,ç g (p ,
conforme a figura ao lado)
dt
diLv 
dt
onde L é a constante de proporcionalidade denominada indutância. A indutância é a
propriedade segundo a qual um indutor se opõe à mudança do fluxo de corrente através
dele medida em henr s (H) Indutores típicos possuem valores de indutância que vão dedele, medida em henrys (H). Indutores típicos possuem valores de indutância que vão de
poucos micro‐henrys (H), como em sistemas de comunicações, a dezenas de henrys (H),
como em sistemas de potência.
segundosvoltv
ampère
segundos.volthenry 
dt
di
vL
93  ‐ Capacitores  e  Indutores3.2  ‐ Indutores 9
‐ Indutores lineares possuem relação tensão x corrente de
acordo com gráfico ao lado. O gráfico para indutores não
lineares não é uma linha reta. Neste curso de Circuitos
Eletrônicos I trataremos de indutores lineares.
 Relação corrente‐tensão no indutor
d 1Aplicando o operador integral na equação                                                 ,  tem‐se:dtv
L
di
dt
diLv     1
)()(1)()(1
ttt
tidttvtidttvdi  
onde  i(to) é a corrente no indutor no instante to. 
)()()()( o
ttt
tidttv
L
tidttv
L
di
ooo
     
 Potência e Energia Armazenada
A potência liberada para o indutor é i
diLpvip A potência liberada para o indutor é
A energia armazenada no campo magnético do indutor é
i
dt
Lpvip 
)()( titi    22)(
)(
2
)(
)(
)(
2
1)(
2
1
2
1
o
ti
ti
ti
ti
t
t
t
t
tiLtiLwLidiiLdti
dt
diLdtpw
oooo


                       
3  ‐ Capacitores  e  Indutores
3.2  ‐ Indutores 10
 Propriedades
I. O indutor atua como um curto‐circuito em cc.
                :se‐tem constante,  for    corrente a  se 0 vi
dt
diLv
II. A corrente em um indutor não pode variar abruptamente.
 di
i
diLv
 saltos)  (semtempo do  domínio  no  contínua  função  uma  ser  deve    corrente  a
 
.0 t
dt
didt
Lv   todo  para existir   possa    derivada a  que  para
 O indutor ideal não dissipa energia Ele absorve potência do circuito ao armazenar O indutor ideal não dissipa energia. Ele absorve potência do circuito ao armazenar 
energia em seu campo magnético e retorna energia armazenada previamente ao liberar 
potência para o circuito.
U i d l ã id l i i ê i ( Um indutor real, não ideal, possui uma resistência (o
indutor é feito de material condutor como o cobre)
denominada de resistência de enrolamento Rw, e ela
aparece em série com a indutância L do indutoraparece em série com a indutância L do indutor.
A presença da Rw torna o dispositivo tanto como armazenador de quanto dissipador de
energia. Rw é muito pequena e desprezada na maioria dos casos. O Indutor não ideal
também possui uma capacitância de enrolamento C em decorrência do acoplamentotambém possui uma capacitância de enrolamento Cw em decorrência do acoplamento
capacitivo entre as bobinas condutoras. A Cw é muito pequena e pode ser ignorada na
maioria dos casos, exceto em altas frequências.
3  ‐ Capacitores  e  Indutores
3.2  ‐ Indutores 11
 Associação de indutores em sérieç
Considere o circuito composto por N indutores em série
   :malhas  das  lei  a  aplicando   ‐
N
N
dt
diL
dt
diL
dt
diLv
vvvv




21
21 
  NeqN LLLLdt
diLLLv
dtdtdt
  2121     
 Associação de indutores em paralelo
Considere o circuito composto por N indutores em paraleloConsidere o circuito composto por N indutores em paralelo
21 iiii N
   :nós  dos  lei  a  aplicando   ‐

)()(1)()(1 02
2
01
1
21
00
tidttv
L
tidttv
L
i
t
t
t
t
N
    
)()(1 0
0
tidttv
L N
t
tN
   
3  ‐ Capacitores  e  Indutores
3.2  ‐ Indutores 12
t
d )()()()(111  
t
ti
N
tN
tidtti
tititidttv
LLL
i
1111)()(1
)()()()(111
)(
00201
21
00



 

      
Neqteq LLLL
tidttv
L
i )()(
21
0
0
       
 Indutância Mútua
 Quando a corrente flui através de uma bobina (ou indu‐
tor) com N espiras é produzido um fluxo magnético  em
(Circuitos magneticamente acoplados)
tor) com N espiras, é produzido um fluxo magnético  em
torno da bobina. De acordo com a lei de Faraday
dididd 
dt
diLv
dt
di
di
dNv
dt
dNv
L
         


d
di
dNL A indutância                      é denominada auto‐indutância, pois relaciona a tensão induzida 
em uma bobina por uma corrente variável no tempo na mesma bobina.