Exercícios de Controle em Engenharia Elétrica

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SEL-417 Fundamentos de Controle -2011
Departamento de Engenharia Ele´trica - EESC/USP
Lista de Exerc´ıcios No. 4
Profa. Vilma A. Oliveira
Data de entrega: 01/10/2011
Os alunos que desejarem ter a lista corrigida podem entregar a soluc¸a˜o. Todos os passos da soluc¸a˜o
inclusive o co´digo Matlab, se for o caso, devem ser inclu´ıdos.
1. O sistema da Figura 1 representa parte de um processo qu´ımico industrial, no qual o fluxo
de um determinado l´ıquido, controlado a partir da va´lvula 1, se mistura com uma quanti-
dade mı´nima de reagente (desprez´ıvel em termos de volume e, portanto, na˜o representada
na figura), fornecendo um produto intermedia´rio que segue para o restante do processo
atrave´s da va´lvula 2. As varia´veis descritas na Figura 1 sa˜o as seguintes (exerc´ıcio retirado
da Lista 2/2007 do Prof. Rodrigo Ramos):
Qi fluxo de entrada da substaˆncia controlado pela va´lvula 1;
Qo fluxo de sa´ıda do produto intermedia´rio controlado pela va´lvula 2;
h altura da coluna de l´ıquido dentro do tanque de reac¸a˜o.
Figure 1: Processo qu´ımico.
Ambas as va´lvulas apresentam comportamentos na˜o lineares com relac¸a˜o aos respectivos
comandos. A va´lvula 1 e´ acionada por um comando manual relacionado com sua abertura
(medida pela posic¸a˜o de abertura P, com valor adimensionalizado). Ale´m disso, para
evitar que o fechamento brusco da va´lvula produza um efeito de golpe de ar´ıete em sua
tubulac¸a˜o, a mesma responde ao comando de maneira amortecida, sendo a equac¸a˜o que
caracteriza esta resposta dada por
dQi
dt
= −K1Qi +K2ln(P 2). (1)
1
A va´lvula 2 e´ acionada automaticamente, por um comando que depende da altura da
coluna de l´ıquido no tanque, sendo seu comportamento dado por
Qo = K3
√
h. (2)
Por sua vez, a altura da coluna de l´ıquido no tanque depende dos fluxos de entrada e sa´ıda,
comandados pelas va´lvulas 1 e 2, respectivamente, sendo seu comportamento caracterizado
por
dh
dt
=
Qi −Qo
C
. (3)
Sabendo que C = 2[m2], K1 = 1, 3863[s
−1] K2 = 1[m
3/s2],K3 = 0, 3536[m
2/s] a altura
ma´xima do tanque e´ de 10[m], as vazo˜es ma´ximas de entrada e sa´ıda sa˜o de 4[m3/s], e
que o operador deve comandar a va´lvula 1 de forma que a coluna de l´ıquido no tanque
tenha uma altura de 8[m], resolva os itens seguir.
(a) Definindo a sa´ıda como y = h e o vetor de estado como x = [Qi h]
T , notando que
a entrada u = P , construa um modelo em espac¸o de estados na˜o linear para este
sistema de controle de altura da coluna de l´ıquido no processo industrial.
(b) Calcule o ponto de equil´ıbrio deste modelo correspondente ao objetivo de controle
descrito em 1a.
(c) Linearize o modelo constru´ıdo no item 1a em torno do ponto de equil´ıbrio calculado
no item 1b e apresente o modelo linearizado em espac¸o de estados obtido.
2. A figura abaixo representa um sistema de suspensa˜o magne´tica (Maglev). Defina x1 = h,
x2 = h˙, x3 = i, e y = h a sa´ıda do sensor de posic¸a˜o. O modelo do sistema Maglev pode
ser escrito como
x˙ = F (x) +Bv, y = Cx, (4)
em que
F (x) =


x2
g − ( L0
2am
) (
x3
1+(x1)/a
)2
−R
L
x3

 , B =


0
0
ka/L

 , C = [ c1 0 0
]
com L = 5.2 × 10−1H, R = 2.1 × 101Ω, ka = 2.1V/V, c1 = −1.7361 × 103V/m, L0 =
2.49× 10−2H, a = 6.72× 10−3 m, e m = 2.26× 10−2Kg.
(a) Obter os pontos de equil´ıbrio.
(b) Linearizar (4) a partir da expansa˜o de primeira ordem de Taylor’s em torno de (he, ie)
para ζ = [h− he h˙ i− ie]T e u = v − Rieka para he = 4.5× 10−3m.
(c) Obter a func¸a˜o de transfereˆncia.
(d) Analisar a estabilidade.
2
Bobina
kv
i
h
a
Esferademetal
3. Mostre, no plano complexo (em escala), a regia˜o onde podem estar localizados os polos
de um sistema de segunda ordem −σ ± ωn
√
ζ2 − 1, σ = ζωn de forma que os mesmos
atendam as seguintes especificac¸o˜es (exerc´ıcio retirado da Lista 4/2007 do Prof. Rodrigo
Ramos):
(a) 0.10 < σ < 0.40 e 0.10 < ωn < 0.40
(b) 0.05 < ζ < 1 e ωn >10 rad/s;
(c) 0.10 < ζ < 0.40 e ωn >10 rad/s;
(d) 0.10 < ζ < 1 e 5 < ωn <10 rad/s;
(e) 0.10 < ζ e ωn >10 rad/s;
(f) Dentre este conjunto de especificac¸o˜es, quais sa˜o aquelas especificac¸o˜es que geram
regio˜es convexas no plano complexo?
4. Considere o sistema descrito pela func¸a˜o de transfereˆncia abaixo (exerc´ıcio retirado da
Lista 4/2007 do Prof. Rodrigo Ramos).
G(s) =
100
s4 + 6001s3 + 5006000s2 + 5600000s+ 500000000
(5)
(a) Calcule os po´los do sistema descrito pelo func¸a˜o de transfereˆncia (5);
(b) Obtenha a resposta do sistema descrito pelo func¸a˜o de transfereˆncia (5) a um degrau
unita´rio;
(c) Dentre os po´los do sistema (5), quais esta˜o associados com as dinaˆmicas mais lentas
do sistema (tais po´los sa˜o denominados “dominantes” na resposta);
(d) Monte uma nova func¸a˜o de transfereˆncia de 2a ordem cujos po´los sejam iguais aos
dominantes em (5);
(e) Usando o Matlab plotar a resposta do sistema descrito pela func¸a˜o de transfereˆncia
(5) ao degrau unita´rio e tambe´m da nova func¸a˜o de transfereˆncia obtida no item 4d;
(f) Compare as respostas ao degrau obtidas no item 4e e diga se a nova func¸a˜o constru´ıda
e´ uma boa aproximac¸a˜o de (5).
3