Exercícios de Controle de Sistemas

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SEL-417 Fundamentos de Controle -2011
Departamento de Engenharia Ele´trica - EESC/USP
Lista de Exerc´ıcios No. 9
Profa. Vilma A. Oliveira
Data de entrega: 30/11/2011
Os alunos podem entregar a soluc¸a˜o dos exerc´ıcios desta lista para serem corrigidos. Todos os passos
da soluc¸a˜o inclusive o co´digo Matlab, se for o caso, devem ser inclu´ıdos.
1. Exerc´ıcio da Lista 5/2007 do Prof Rodrigo Ramos. Considere o sistema descrito pela
func¸a˜o de transfereˆncia G(s) dada por
G(s) =
100000000
(s4 + 6001s3 + 5006000s2 + 5600000s+ 500000000)
. (1)
(a) Calcular os polos de G(s).
(b) Esboc¸ar o diagrama de Bode para G(s) usando ass´ıntotas.
(c) Obter o diagrama de bode no Matlab e comparar o diagrama obtido com o diagrama
assinto´tico obtido no item anterior.
(d) Dado que os polos dominantes esta˜o associados com as dinaˆmicas mais lentas do
sistema, como e´ poss´ıvel identificar estes polos no diagrama de Bode?
(e) Determinar uma nova func¸a˜o de transfereˆncia G1(s) de 2a. ordem com polos iguais
aos polos complexos de G(s). Estes polos sa˜o dominantes?
(f) Para G1(s) calcular a frequeˆncia de ressonaˆncia denotada wr e o pico de ressonaˆncia
denotado Mr e compare com os valores obtidos atrave´s do diagrama de Bode para
G(s). Usar as seguintes expresso˜es para obter wr e Mr
wr = wn
√
1− 2ζ2 (2)
Mr =
1
2ζ
√
1− ζ2
. (3)
(g) Verificar se o diagrama de Bode possue frequ¨eˆncias de cruzamento de fase. Qual a im-
plicac¸a˜o da existeˆncia dessa frequeˆncia em caso de se implementar uma realimentac¸a˜o
unita´ria negativa para o sistema descrito pela func¸a˜o de transfereˆncia G(s)?
2. Considere as equac¸o˜es de um pendulo linearizadas em torno do ponto de equil´ıbrio esta´vel
x˙ =
[
0 1
−g
ℓ
−k
m
]
x+
[
0
1
m
]
u (4)
em que x = [θ θ˙]T e u uma forc¸a denotada F aplicada pelo vento.
1
(a) Definindo y = x1, obter a func¸a˜o de transfereˆncia G(s) entre u e x1.
(b) Suponha que a forc¸a aplicada pelo vento e´ do tipo F = Asenwt com w na faixa de
0.02 e 2 Hz. Para g = 9,8 m/s, ℓ = 0,4 m, m = 0,1 kg e k = 0,25 kg/s obter o
diagrama de Bode na faixa de interesse.
(c) Usando o diagrama de Bode obter o valor de frequ¨eˆncia da forc¸a aplicada que produzi-
ria a maior amplitude na resposta do aˆngulo θ. Usando θ(t) = A|G(jω)|sen(ω(t)+φ)
com φ = 6 (G(jω) verificar que a amplitude ma´xima para a forc¸a pode ser escrita em
termos do θ ma´ximo como Amax =
θmax
84%
.
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