Resolução Exercícios propostos Capítulo 9 (Sonia Vieira)

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Capítulo 9 - Distribuição Binomial
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 9 - Distribuição Binomial
9.6.1- Há três bolas numeradas em uma caixa, cada uma com um número diferente.
Os números são 1, 2 e 3. Tira-se uma bola da caixa e, em seguida, outra. Forma-se,
então, um número de dois dígitos com os números das bolas retiradas. Por exemplo,
se saiu 3 e depois 2, foi formado o número 32. Um jogador ganha se sair número
par. Nesse jogo, se ganha mais do que se perde ou é justamente o contrário?
Combinações possíveis: 12, 13, 21, 23, 31 e 32.
Números pares: 12 e 32.
Números ímpares: 13, 21, 23 e 31.
Nesse jogo se perde mais do que se ganha, uma vez que há o dobro de chances de
sair um número ímpar em comparação com a chance de sair números pares.
9.6.2- Seja X a variável aleatória que indica o número de meninos em uma família
com cinco crianças. Apresente a distribuição de X em uma tabela. Faça um gráfico.
No problema, n é o número de crianças (5), p é a probabilidade de menino (½) e q é
a probabilidade de menina (½). Para obter a probabilidade de X assumir o valor de
0, ou seja, de não ocorrer nenhum menino, calcula-se:
( 2 )0×1
5
( ) ×1
( 2 )5
��(�� = 0) = =
0
=5!
1!(5−1)! ×
12
0 ×125 =132
Para obter a probabilidade de X assumir o valor 1, isto é, de ocorrer um menino em
uma família com cinco crianças, calcula-se:
( 2 )1×1
��(�� = 1) = 15
( )×1 ( 2 )4=532
Para obter a probabilidade de X assumir o valor 2, ou seja, de ocorrerem dois
meninos em uma família com cinco crianças, calcula-se:
( 2 )2×1
��(�� = 2) = 25
( )×1
( 2 )3=516
Para obter a probabilidade de X assumir o valor de 3,
calcula-se: ( 2 )3×1
��(�� = 3) = 35
( )×1
( 2 )2=516
Para obter a probabilidade de X assumir o valor de 4,
calcula-se: ( 2 )4×1
��(�� = 4) = 45
( )×1
( 2 )1=532
Para obter a probabilidade de X assumir o valor de 5,
calcula-se: ( 2 )5×1
��(�� = 5) = 55
( )×1
( 2 )0=18
Com os valores de X e as respectivas probabilidades, podemos construir a tabela,
que apresenta a distribuição binomial para n=5 e p=0,5, além de que podemos
também construir o gráfico da tabela.
Distribuição do número de meninos em uma família com cinco crianças.
Evento X P(X)
Nenhum menino 0 1/32
1 menino 1 5/32
2 meninos 2 5/16
3 meninos 3 5/16
4 meninos 4 5/32
5 meninos 5 1/8
9.6.3- Um exame é constituído de 10 testes tipo certo-errado. Um aluno que nada
sabe sobre a matéria do exame, quantos testes, em média, acerta? Qual é a
variância da distribuição?
A probabilidade de um aluno acertar uma resposta por acaso é p=½. Existem n=10
testes. Então, aplicando a fórmula, vem:
µ = 10 ×12 = 5
ou seja, um aluno que nada sabe sobre a matéria acerta em média 5 testes. A
variância da distribuição é:
σ2 = 10 ×12 ×
1
2 = 2, 5
9.6.4- Um exame é constituído de 10 testes com cinco opções, das quais apenas
uma é correta. Um aluno que nado. sabe sobre a matéria do exame acerta, em
média, quantos testes? Qual é a variância da distribuição?
A probabilidade de um aluno acertar uma resposta por acaso é p=⅕. Existem n=10
testes. Então, aplicando a fórmula, vem:
µ = 10 ×15 = 2
ou seja, um aluno que nada sabe sobre a matéria acerta em média 2 testes. A
variância da distribuição é:
σ2 = 10 ×15 ×
4
5 = 1, 6
9.6.5- Suponha que determinado medicamento usado para o diagnóstico precoce da
gravidez é capaz de confinar casos positivos em apenas 90% das gestantes muito
jovens. Isto porque, em 10% das gestantes muito jovens, ocorre uma descamação
do epitélio do útero, que é confundida com a menstruação. Nestas condições, qual é
a probabilidade de duas, de três gestantes muito jovens que fizeram uso desse
medicamento, não terem confirmado precocemente a gravidez?
��
( ) =��!
��
3
��!(��
−��)!
( ) =3!
2
2!(3−2)! = 3
( 2 ) ×
��2×
��(��−2)
��(�� = 2) =3
��(�� = 2) = 3 × 0, 12× 0, 91 = 0, 027
��(�� = 2) = 2, 7%
9.6.6- A probabilidade de um casal heterozigoto para o gene da fenilcetonúria (Aa x
Aa) ter um filho afetado (aa) é 1/4. Se o casal tiver três filhos, qual é a probabilidade
de ter um filho com a doença?
( 4 )1×3
��(�� = 1) = 13
( ) ×1
=3!
( 4 )2=
1!2! ×
1
4 ×
9
16 = 3 ×
9
64 =
=2764 = 42, 2%
9.6.7- A probabilidade de um indivíduo ter sangue Rh- é 10%, na população
brasileira toda. Qual é a possibilidade de se apresentarem, em determinado dia em
um banco de sangue, cinco doadores de sangue, todos Rh-?
��(�� = 5) = 55
( ) × 0, 105× (1 − 0, 10)5−5 =
5!0! × 0, 10
5× 0, 900 =
=5!
= 1 × 0, 00001 × 1 = 0, 00001 = 0, 001%
9.6.8- Foi feito um levantamento da opinião de 1.000 enfermeiras que trabalhavam
em determinado hospital sobre determinada questão que tinha duas alternativas:
"Sim" e "Não". As respostas têm distribuição binomial? Algumas enfermeiras não
responderam ao questionário. Que efeito isso pode ter sobre as respostas?
As respostas possuem sim distribuição binomial. Para dar valor a um estudo é muito
importante considerar a taxa de respostas, com isso seria interessante que a maior
parte das enfermeiras respondessem ao questionário (uma taxa de resposta menor
que 70% causaria um efeito negativo ao estudo), ademais, deve-se tomar cuidado
com as respostas enviesadas que podem também afetar a qualidade do estudo.
9.6.9- A experiência demonstra que um detector de mentiras dá resposta positiva
(indicando mentira) 10% das vezes em que uma pessoa está dizendo a verdade e
95% das vezes em que a pessoa está mentindo. Imagine que seis suspeitos de um
crime são submetidos ao detector de mentiras. Todos os suspeitos se dizem
inocentes e estão dizendo a verdade. Qual é a probabilidade de ocorrer uma
resposta positiva?
��(�� = 6) = 16
( ) × 0, 12× (1 − 0, 1)6−1 =
1!(6−1)! × 0, 01 × 0, 9
5 =
=6!
= 6 × 0, 01 × 0, 59 = 0, 354 = 35, 4%
9.6.10- O diretor de uma grande empresa está preocupado com a questão de
acidentes e quer fazer um levantamento da situação. Existem os registros do
número de acidentes por dia na empresa. Essa variável tem distribuição binomial?
A variável não pode ser considerada binomial, já que se considerarmos cada dia
como um ensaio, podem ocorrer mais de dois eventos, acidente ou não.