Prova1-SEL417-1-2007

Prévia do material em texto

SEL-417 Fundamentos de Controle -2007
Departamento de Engenharia Ele´trica - EESC/USP
Primeira Prova - 25 outubro 2007
Profa. Vilma A. Oliveira
A prova e´ individual e sem consulta com durac¸a˜o de 2 horas. Apresente todos os passos da soluc¸a˜o.
1. (Valor da questa˜o: 3.5) Um autopiloto de um navio e´ utilizado para manter o seu curso.
Um modelo linearizado do navio e´ dado pela seguinte equac¸a˜o diferencial
M θ¨(t) = −dθ˙(t)− cα(t) + ω(t) (1)
α˙(t) = −0.1α(t) + 0.1u(t) (2)
onde θ(t) e´ o erro de rumo, α(t) e´ o aˆngulo do leme, ω(t) e´ um torque de perturbac¸a˜o
e u e´ o aˆngulo de comando do leme. Um diagrama esquema´tico do navio e´ mostrado na
Fig. 1. Os paraˆmetros do navio seguem: M = 107kg − m2 e´ o momento de ine´rcia do
navio em torno do eixo vertical relativo ao centro de gravidade, d = 106N −m − s/rad
e´ o coeficiente de arrasto associado a` rotac¸a˜o e c = 5000N − m/rad e´ um coeficiente
relacionando o aˆngulo do leme ao torque aplicado. O aˆngulo θ e´ medido por uma bu´ssola.
O autopiloto precisa fazer a medic¸a˜o deste aˆngulo e gerar um aˆngulo de comando para o
leme.
(a) Obter o modelo espac¸o de estado com x := [θ θ˙ α] e y = θ.
(b) Usando integradores, obter o diagrama de blocos do sistema.
(c) Obter as func¸o˜es de transfereˆncia do atuador ou seja, a func¸a˜o de transfereˆncia entre
α e u. Obter tambe´m a func¸a˜o de transfereˆncia entre a sa´ıda da planta e a sa´ıda do
atuador, ou seja, entre θ e α.
2. (Valor da questa˜o: 3.0) Um certo sistema de controle possui as seguintes especificac¸o˜es:
tp < 2.1s, sobressinal Mp < 10% com tp =
π
ωd
, ωd = ωn
√
1− ζ2 e Mp = e
−πζ√
1−ζ2 .
(a) Esboc¸ar a regia˜o no plano-s para os polos de segunda ordem de um sistema que
atenda as especificac¸o˜es de tp e Mp.
(b) Escolher uma G(s) para o sistema de segunda ordem com polos dentro da regia˜o
encontrada em (2a).
Curso desejado
Curso atual
LEME
Figura 1: Sistema da Questa˜o 1.
1
3. (Valor da questa˜o: 3.5) O sistema da Figura 2 representa parte de um processo qu´ımico
industrial, no qual o fluxo de um determinado l´ıquido, controlado a partir da va´lvula 1,
se mistura com uma quantidade mı´nima de reagente (desprez´ıvel em termos de volume
e, portanto, na˜o representada na figura), fornecendo um produto intermedia´rio que segue
para o restante do processo atrave´s da va´lvula 2. As varia´veis descritas na Figura 2 sa˜o
as seguintes (problema retirado da Lista 4/2007):
Qi fluxo de entrada da substaˆncia controlado pela va´lvula 1;
Qo fluxo de sa´ıda do produto intermedia´rio controlado pela va´lvula 2;
h altura da coluna de l´ıquido dentro do tanque de reac¸a˜o.
Figura 2: Sistema da Questa˜o 3.
Ambas as va´lvulas apresentam comportamentos na˜o lineares com relac¸a˜o aos respectivos
comandos. A va´lvula 1 e´ acionada por um comando manual relacionado com sua abertura
(medida pela posic¸a˜o de abertura α, com valor adimensionalizado). Ale´m disso, para
evitar que o fechamento brusco da va´lvula produza um efeito de golpe de ar´ıete em sua
tubulac¸a˜o, a mesma responde ao comando de maneira amortecida, sendo a equac¸a˜o que
caracteriza esta resposta dada por
dQi
dt
= −K1Qi +K2ln(α2). (3)
A va´lvula 2 e´ acionada automaticamente, por um comando que depende da altura da
coluna de l´ıquido no tanque, sendo seu comportamento dado por
Qo = K3
√
h. (4)
Por sua vez, a altura da coluna de l´ıquido no tanque depende dos fluxos de entrada e sa´ıda,
comandados pelas va´lvulas 1 e 2, respectivamente, sendo seu comportamento caracterizado
por
dh
dt
=
Qi −Qo
C
. (5)
Sabendo que C = 2[m2], K1 = 1, 3863[s
−1] K2 = 1[m3/s2],K3 = 0, 3536[m2/s] a altura
ma´xima do tanque e´ de 12[m], as vazo˜es ma´ximas de entrada e sa´ıda sa˜o de 4[m3/s], e
2
que o operador deve comandar a va´lvula 1 de forma que a coluna de l´ıquido no tanque
tenha uma altura de 6[m], resolva os itens seguir.
(a) Definindo a sa´ıda como y = h e o vetor de estado como x = [Qi h]
T , notando que
a entrada u = α, construa um modelo em espac¸o de estados na˜o linear para este
sistema de controle de altura da coluna de l´ıquido no processo industrial.
(b) Calcule o ponto de equil´ıbrio deste modelo correspondente ao objetivo de controle
descrito em (3a).
(c) Linearize o modelo constru´ıdo no item (3a) em torno do ponto de equil´ıbrio calculado
no item (3b) e apresente o modelo linearizado em espac¸o de estados obtido.Usar a
expansa˜o em se´rie de Taylor em torno do ponto de equil´ıbrio (xe, ue):
ζ˙ = F (xe, ue) + [gradxF ]
T
∣
∣
xe,ue
ζ + [graduF ]
T
∣
∣
xe,ue
v
em que x = xe + ζ, u = ue + v, [gradxF ]
T = ∂F
∂x
e [graduF ]
T = ∂F
∂x
sa˜o as matrizes
Jacobianas de F (x, u) em relac¸a˜o a x e u, respectivamente.
(d) Usando o me´todo indireto de Lyapunov, verificar se o sistema linearizado pode apro-
ximar o sistema na˜o linear em torno do ponto de equil´ıbrio definido em (3b).
3