Introdução à Lógica Proposicional

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Conteúdo proposicional, modalidade, tempo e aspecto
Um pouco de lógica
Algumas noções básicas de lógica são necessárias para entender as abordagens formais ao estudo do significado, mas também para outras finalidades, como o uso de técnicas computacionais, que hoje em dia são fundamentais para formar qualquer linguista moderno, independentemente da abordagem teórica que ele seguirá.
Uma teoria formal oferece uma análise do significado através de uma metalinguagem técnica, normalmente simbólica, em acordo com princípios que podem ser expressos em termos matemáticos. A representação formal do significado evita as ambiguidades da linguagem natural utilizando a metalinguagem. Uma linguagem formal realiza uma correspondência 1 a 1 entre símbolos e significado.
Como vimos, através de procedimentos lógicos partimos de premissas que levam a conclusões válidas sempre. Mas isso não garante que essas conclusões sejam também verdadeiras, pois isso depende da verdade das premissas. A validade é uma propriedade do procedimento argumentativo, enquanto a verdade é uma propriedade da sentença.
Por exemplo, a argumentação (1) é válida mas a proposição da primeira premissa não é verdadeira:
(1)
Todos os indivíduos nascidos entre 15 e 18 horas são inteligentes
Carlos nasceu entre 15 e 18 horas
Portanto
Carlos é inteligente
Como dissemos, a verdade é uma propriedade das sentenças. Isso sugere uma relação estrita entre lógica e semântica. O grau dessa relação é fortemente questionado e com bons motivos. Contudo, a lógica requer uma análise semântica: os significados das sentenças devem ser identificados antes que as propriedades lógicas possam ser discutidas. A relação entre lógica e semântica é reforçada pelo fato ´de que é o significado, e não a estrutura sentencial, que funciona como premissa e conclusão de uma argumentação.
A lógica proposicional
A lógica proposicional é o setor da lógica que lida com as relações entre as proposições. A proposição é qualquer sequência linguística que tenha uma estrutura composicional, sobre a qual faz sentido se perguntar se é verdadeira ou falsa, e que também sirva como premissa e conclusão de uma argumentação. A lógica conhece somente esses dois valores: verdadeiro e falso. Esse conceito é conhecido como princípio de bivalência. Na vida cotidiana nós admitimos muitas outras possibilidades intermediárias entre o verdadeiro e o falso: é quase certo que..., existe a possibilidade que..., é provável que..., não sei se..., etc. 
Antes dissemos que o que serve como premissa ou conclusão é uma sentença. Mas na realidade se tratava de uma aproximação, que agora pode ser superada uma vez explicado o que é uma proposição. A sentença declarativa contém uma ou mais proposições, mas é uma estrutura gramatical. Uma mesma proposição pode ser expressa por mais de uma sentença, ou seja pode receber diferentes estruturas gramaticais, como
Maria viu a flor
O que Maria viu foi a flor
Acho que Maria viu a flor
Alguém viu a flor e esse alguém é Maria
Tem uma pessoa que viu a flor e foi Maria
A flor foi vista por Maria
O evento é sempre o mesmo (o fato que alguém, nesse caso Maria, experimentou uma circunstância, nesse caso o fato de ver a flor). Portanto a proposição que o expressa pode ser julgada como verdadeira ou falsa. No terceiro caso, a expressão acho não muda o evento (a proposição), mas apenas diz qual é a atitude do falante sobre ele (nesse caso é uma atitude de não comprometimento total com a verdade da proposição).
Uma sentença pode também expressar diversas proposições. Por exemplo, uma sentença como eu quero que você saiba que essa tarde o meu time perdeu pode expressar um número infinito de proposições, dependendo do valor que é atribuído a eu, você, essa tarde e meu time. Uma sentença pode ser considerada uma proposição apenas se o referente (eu, você, essa tarde, meu time) for fixado.
O objeto da lógica é identificar as regras de inferências, quando falamos de inferências necessárias em qualquer circunstância. Essas regras devem funcionar sempre. As inferências mais longas e complexas podem ser decompostas em inferências mais simples. Todas as inferências podem ser reconduzidas a um número pequeno de inferências elementares. Contudo, deve ficar claro que a lógica se ocupa das inferências somente depois que elas forem traduzidas em linguagem. Portanto a lógica não se ocupa da atividade de inferir ou dos mecanismos da nossa mente quando realizamos inferências.
As proposições são indicadas com letras maiúsculas: A, B, C....P. O princípio de bivalência gera o fato que sentenças que expressam comandos ou perguntas não podem fazer parte de das proposições presentes em uma inferência. Não faz sentido se perguntar se um comando ou uma pergunta são verdadeiras ou falsas, mas apenas se são oportunas ou não. As proposições são expressas por enunciados declarativos da linguagem natural.
Regras de inferências
A relação de consequência lógica entre proposições é definida assim:
1. Uma proposição C é consequência lógica das proposições P1, P2, ...Pn se e somente se não se dar o caso em que as proposições P1, P2, ...Pn sejam verdadeiras e a proposição C seja falsa (ou, o que é a mesma coisa, se e somente se todas as vezes em que P1, P2, ...Pn são verdadeiras, também C é verdadeira).
2. Se diz que uma inferência é correta se e somente se a conclusão é consequência lógica das premissas.
Por exemplo, consideramos as duas proposições
João é mineiro ou Estevão é paulista
Estevão não é paulista
Dessas duas proposições descende que João é mineiro
Observe-se que em lógica o conector ou significa alternativa exclusiva: A ou B significa que uma proposição é verdadeira e a outra é falsa. Na linguagem ordinária ou pode assumir também outros significados.
Uma regra de inferência inclui todas as inferências possíveis que podem ser obtidas substituindo com proposições as letras que formalizam a inferência, nesse caso
A ou B
Não B
(portanto) A
Para estabelecer se a inferência é correta não nos perguntamos nada sobre quem é João ou sobre o que é ser mineiro. Nos concentramos sobre alguns aspectos da estrutura sintática das premissas e da conclusão.
Uma inferência é correta em quanto é a aplicação de uma regra de inferência correta. O fato de uma inferência ser correta não depende dos conteúdos particulares contidos nas premissas ou na conclusão. A conclusão pode seguir das premissas mesmo se ela for falsa:
(2)
O número 3 é par ou não é um número primo
3 não é um número primo
(portanto) 3 é par
Aplicando uma regra de inferência correta, se as premissas são verdadeiras, a conclusão é verdadeira, mas, se pelo menos uma das premissas for falsa, a conclusão pode ser falsa.
(3)
Se A então B
Não A
Então não B
não constitui uma forma de raciocínio correta do ponto de vista lógico. Ela seria correta somente se fosse válida independentemente do conteúdo de A e B. Observem o que acontece nos exemplos seguintes:
(4)
Se João irá a Roma então ele visitará o Coliseu
João não irá a Roma
Então João não visitará o Coliseu
(5)
Se João é belorizontino então João é mineiro
João não é belorizontino
Então João não é mineiro
Em (4) a conclusão é verdadeira, mas em (5) pode muito bem não ser. João pode ser de Juiz de Fora ou de Uberaba ou de muitas outras cidades mineiras.
A forma dos dois raciocínios é igual. Mas uma forma pode se dizer lógica somente se, respeitando aquela forma, todos os raciocínios são válidos, independentemente das proposições que preenchem a forma. Portanto uma forma do tipo (3)
Se A então B
Não A
Então não B
não é uma forma lógica. É suficiente um contraexemplo para afirmar que uma forma não é de natureza lógica. O fato de uma inferência ser ou não correta não depende da verdade da conclusão, mas do fato dela ser consequência necessária das premissas. Portanto, com uma regra correta é possível chegar a uma conclusão falsa (como em (2)).
Consideremos agora a inferência seguinte:
(6)
Se hoje tiver sol no Rio de Janeiro, então Luis vai para a praia
Hoje tem sol no Rio de Janeiro
(então) Luis vai para a praia
Se seassume que de uma proposição pode ser deduzida outra proposição e que a primeira for verdadeira, então a segunda também deve ser verdadeira. Essa regra é chamada “regra do modus ponens”.
Essa regra é formalizada em
(7)
Se A então B
A
(então) B
Consideremos a inferência 
(8)
Se falta a gasolina então o carro não parte
O carro não parte
(então) falta a gasolina
Essa inferência não é correta, porque é possível que ambas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa (o carro pode não partir por razões diferentes da falta de gasolina). Portanto a formalização
(9)
Se A então B
B
(então) A
Não é correta. Esse caso é conhecido como “falácia da afirmação do consequente”. O mesmo acontece no caso de (3), que é chamado de “falácia da negação do antecedente”.
Quando aplicamos regras logicamente corretas temos a certeza que a conclusão é verdadeira somente se as premissas são verdadeiras. Obter uma conclusão através de regras de inferências corretas não significa mostrar que a conclusão é verdadeira, mas apenas que, se as premissas são verdadeiras, então a conclusão também é.
As inferências examinadas até aqui são a nível proposicional. Elas são corretas dependendo das ligações entre as proposições simples que intervêm nas premissas e na conclusão, independentemente de seu conteúdo.
Regras de inferência a nível predicativo
Um predicado, como primeira aproximação, pode ser definido como uma relação entre um ou mais indivíduos e uma propriedade.
Para estabelecer se uma inferência é correta é preciso considerar a forma das premissas e da conclusão. A investigação lógica tem caráter formal.
(10)
2 é menor que 5
Se um número é menor que outro, então o outro é maior que o primeiro
5 é maior que 2
(11)
Maria é esposa de Arnaldo
Se uma pessoa é a esposa de outra, então a outra é marido dela
Arnaldo é marido de Maria
(10 e (11) são muito parecidos. Em ambos a primeira premissa afirma a existência de uma certa relação entre um indivíduo e outro; a segunda premissa afirma que a existência dessa relação comporta a existência de outra relação entre o segundo indivíduo e o primeiro. A conclusão afirma que essa relação existe. Portanto as duas inferências possuem a mesma forma lógica. Não é importante o tipo de indivíduos (números, pessoas) nem das relações (maior/menor, marido/mulher, etc).
Para formalizar esse tipo de inferências se indicam com a e b os dois indivíduos, com x e y dois indivíduos genéricos, com R a primeira relação e com S a segunda. A formalização é 
(12)
Rab
Para cada dois indivíduos x, y, se Rxy, então Syx
Sab
Quaisquer que sejam os indivíduos denotados por a e b, e quaisquer que rejam as relações denotadas por R e S, se as premissas são verdadeiras, então também a conclusão é.
É possível formalizar também o restante:
(13)
 ∀ x ∀ y (Ryx→Syx)
--------------------------
Sba
Consideramos alguns exemplos.
(14)
Ayrton Senna é brasileiro
Todos os brasileiros são paulistas
Ayrton Senna é paulista
(15)
Ayrton Senna é carioca
Todos os cariocas são japoneses
Ayrton Senna é japonês
(16)
Ayrton Senna é paulista
Todos os paulistas são brasileiros
Ayrton Senna é brasileiro
(17)
Ayrton Senna é japonês
Todos os japoneses são brasileiros
Ayrton Senna é brasileiro
Todas as inferências (14-17) são corretas, ou seja respeitam a regra correta, mas em (14) as premissas são falsas e a conclusão é verdadeira, em (15) tudo é falso, em (16) tudo é verdadeiro, em (17) as premissas são falsas e a conclusão verdadeira. A formalização dessas inferências é
(18)
Pa
∀ X (Px → Qx)
-------------
Qa
A regra exclui o fato em que todas as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa. Todas as outras possibilidades são permitidas. Em (19), mesmo se as premissas e a conclusão são verdadeiras, a inferência é incorreta porque não descende das premissas:
(19)
Ayrton Senna é brasileiro
Todos os brasileiros são americanos
---------------------------------
Ayrton Senna é paulista
Inferências e raciocínio
Com o termo “raciocínio” normalmente se entende que o conjunto de proposições que funcionam como premissas contém uma ou mais razões que sustentam a verdade da conclusão (nexos de causa-efeito, aplicações de leis científicas, considerações estatísticas, regras de comportamento aceitas, normas, etc.). No caso da lógica não funciona exatamente assim. Geralmente um raciocínio tem o objetivo de convencer sobre a verdade da conclusão. Do ponto de vista lógico, não é relevante a verdade da conclusão, mas se a eventual verdade dela é garantida pelas premissas, independentemente da plausibilidade delas. Uma vez estabelecido, por exemplo, que o modus ponens é uma regra correta, são corretas todas as inferências que a exemplificam, mesmo as mais estranhas (se 5 é um cavalo, então o sol é um panettone; 5 é um cavalo; segue logicamente que o sol é um panettone). Vejam exemplos de raciocínios plausíveis mas incorretos do ponto de vista lógico:
(20)
Todas as laranjas até agora observadas são redondas
Então todas as laranjas são redondas
(21)
O ladrão deixou lama no tapete
Qualquer um que tivesse entrado pelo jardim teria deixado lama no tapete
Então o ladrão entrou pelo jardim
(20) é um exemplo clássico de raciocínio indutivo, típico das ciências empíricas e experimentais; (21) é um exemplo de raciocínio abdutivo, comum na vida do dia-a-dia e nas ciências (o ladrão poderia ter deixado deliberadamente a lama depois de ter entrado por outro lado).
Vejam ainda o raciocínio 
(21) 
Normalmente os holandeses não sabem falar português
Clarence é holandês
Clarence não sabe falar português
Esse tipo de raciocínio é chamado de raciocínio por default. De um conhecimento de caráter geral, mas que admite exceções, tiramos conclusões sobre um caso particular. Contudo, se descobrimos que Clarence é Clarence Seedorf, que jogou no Botafogo e que é casado com uma brasileira, não estamos mais dispostos a aceitar a conclusão.
Nesses tipos de raciocínios não lógicos, uma nova premissa pode mudar a conclusão. Nas inferências de tipo lógico, se aumentamos as premissas as inferências continuam sendo corretas. Essa propriedade é chamada “propriedade de monotonia”.
As proposições simples
Para entender o estudo das inferências é preciso entender a linguagem com a qual se expressam as proposições. As proposições simples podem ser do primeiro tipo e do segundo tipo. As do primeiro tipo expressam o fato que um determinado indivíduo possui uma determinada propriedade. A do segundo tipo contêm elementos chamados de quantificadores.
Vamos examinar primeiro as do primeiro tipo. Elas expressam ou o fato de que um certo indivíduo possui uma determinada propriedade. 
Marcos é brasileiro
Paulo é bonito
Messi é jogador de futebol
Rio de Janeiro fica no Brasil
2 é par
Anna está lendo
Ou expressam o fato que entre dois indivíduos existe uma determinada relação binária.
Carlos é mais velho que Mário
Mariana ama Lúcio
Chico lê Dom Casmurro
O Paraná está ao sul de S. Paulo
Belo Horizonte tem mais habitantes que Uberlândia
2 é menor que 9
Em outras proposições, sempre do mesmo tipo, a relação envolve mais que dois indivíduos (relação n-ária).
Dario é filho de Roberto e de Carolina
Marcelo vai para Porto Alegre com Júnia
Paracatu fica entre Belo Horizonte e Brasília
Ao campeonato participam o Atlético, o América e o Cruzeiro
Marta, Antônio, Carmen e Miguel estão jogando baralho
Os pontos A, B, C, D, E, F, G, H são os vértices de um cubo
Em lógica se usa a expressão predicado para indicar uma propriedade ou uma relação n-ária (com n igual ou maior que 2). As propriedades são predicados a um argumento, as relações binárias são predicados a dois argumentos e, em geral, as relações n-árias são predicados a n argumentos.
As proposições simples do primeiro tipo são proposições em que um predicado a n argumentos é atribuído a n indivíduos. Às vezes os indivíduos não são mencionados com o nome próprio mas com uma propriedade que os caracteriza de modo unívoco. Ao invés de Machado de Assis podemos dizer o primeiro presidente da Academia Brasileira de Letras ou o autor de Dom Casmurro. Expressões desse tiposão chamadas de descrições definidas. Portanto os indivíduos podem ser apresentados através de um nome próprio ou descrição definida.
Exemplos de proposições simples do segundo tipo:
Todos os homens são mortais
Existe um brasileiro mais alto do que dois metros
Existe um rio salgado
Cada estudante universitário frequenta pelo menos um curso
Se trata sempre de proposições simples (não contêm dentro delas partes que constituem uma outra proposição), mas, diferentemente das proposições do primeiro tipo, apresentam expressões, ditas quantificadores, como todos, cada, existe. A primeira proposição afirma que todos os indivíduos que têm a propriedade de ser homens têm também aquela de ser mortal. A segunda que existe pelo menos um brasileiro mais alto do que dois metros.
A expressão “quantificadores” é devida ao fato que expressam a quantidade de indivíduos que possuem uma propriedade ou entram em relação com outros. Na linguagem comum são presentes muitos outros quantificadores, como quase todos, a maior parte, tanto...quanto, poucos, mais que a metade, etc. Mas para análise de uma grande quantidade de inferências lógicas é suficiente apenas considerar os quantificadores “para cada” e “existe”. Através desses dois é possível definir muitos outros quantificadores. Esses dois quantificadores são chamados, respectivamente, de quantificador universal e quantificador existencial. 
“por cada x...” significa “todos os indivíduos satisfazem...”, e “ existe x” significa “há pelo menos um indivíduo que satisfaz...”. 
Observem que 
(22) Por cada x, se x é um homem, então x é mortal
Mostra a forma lógica de muitas possíveis proposições da linguagem:
Cada homem é mortal
Todos os homens são mortais
Qualquer homem é mortal
O homem é mortal
Se alguém é um homem então é mortal
Na linguagem natural diversos quantificadores correspondem a apenas uma forma lógica.
Na forma lógica das proposições que contêm quantificadores estão presentes letras como x, y, z... que se chamam variáveis individuais. Uma variável individual é uma letra que toma o lugar de um indivíduo genérico. 
As proposições simples que começam com “para cada” são chamadas de quantificadas universalmente. “para cada” é o quantificador universal, e seu símbolo é ∀. As proposições que começam por “existe” são chamadas de quantificadas existencialmente. O símbolo do quantificador existencial é ∃.
As proposições simples do segundo tipo são as proposições quantificadas universalmente e existencialmente.
Variáveis livres e vinculadas
Consideramos a proposição 
(23) Maurício e Frederico vão assistir o clássico Fluminense-Flamengo
Se substituímos Maurício com x temos
x e Frederico vão assistir o clássico Fluminense-Flamengo
Essa última expressão não é mais uma proposição, porque não faz sentido se perguntar se ela é verdadeira ou falso (já que falta um nome). Ela expressa a propriedade de ir com o Frederico assistir o clássico. Se substituímos com uma variável Frederico, obtemos
Maurício e y vão assistir o clássico Fluminense-Flamengo
Ela expressa a propriedade de ir com o Maurício assistir o clássico. Assim
Maurício e Frederico vão assistir z
Expressa a propriedade de ser um espetáculo que Maurício e Frederico vão assistir.
No caso de 
x e y vão assistir o clássico Fluminense-Flamengo
temos a relação binária entre dois indivíduos que existe se e somente se eles vão assistir o clássico.
Predicados como
x e Frederico vão assistir o clássico Fluminense-Flamengo
Maurício e y vão assistir o clássico Fluminense-Flamengo
x e y vão assistir o clássico Fluminense-Flamengo
x e y vão assistir z
são chamados funções proposicionais, enquanto se tornam proposições somente se as variáveis são substituídas por nomes ou descrições definidas de indivíduos. O papel das variáveis é aquele de lugares vazios que aguardam um preenchimento. Por isso essas variáveis são chamadas de livres.
As expressões que representam predicados podem ser tornadas proposições também através dos quantificadores. Por ex.
(24) Existe x tal que x e Frederico vão assistir o clássico Fluminense-Flamengo
é uma proposição que poderia ser expressa na linguagem natural com
(25) Alguém vai com Frederico assistir o clássico Fluminense-Flamengo
Vejamos um outro exemplo partindo da proposição 
(26) Pedro ama Vanessa. 
A partir de (26) podemos obter os predicados x ama Vanessa, Pedro ama y, x ama y. Através desses predicados podemos obter outras proposições, tanto substituindo as variáveis com nomes quanto usando os quantificadores:
Existe x tal que x ama Vanessa (alguém ama Vanessa)
Por cada x, x ama Vanessa (Todos amam Vanessa)
Existe y tal que Pedro ama y (Há alguém que Pedro ama)
Por cada y, Pedro ama y (Pedro ama todos)
Nessas últimas proposições as variáveis não podem ser mais substituídas por nomes de indivíduos, porque não se trata mais de funções proposicionais mas de verdadeiras proposições (que podem ser verdadeiras ou falsas). Por essa razão as variáveis são ditas vinculadas: os quantificadores vinculam as variáveis às quais são aplicadas. Se escrevemos existe x tal que x ama y, nós vinculamos com o quantificador existencial somente uma das duas variáveis do predicado com dois argumentos “x ama y”. Portanto ainda não temos uma proposição, mas um predicado a um argumento (y continua sendo uma variável livre). Se substituímos y com o nome de um indivíduo, obtemos uma proposição: existe x tal que x ama Fulano é como dizer alguém ama Fulano.
No caso de 
Por cada y, existe x tal que x ama y
ambas as variáveis são vinculadas e temos a proposição 
(27) Todos são amados por alguém
Se invertemos os quantificadores
Existe x tal que, por cada y, x ama y
o significado muda radicalmente:
per ogni y, x ama y é um predicado a um argumento (a variável y é vinculada e x é livre) e equivale a “x ama todos”. Quantificando existencialmente x se obtém por cada x, x ama x, o que equivali a 
(28) todos amam a si mesmo
Enquanto na proposições simples do primeiro tipo todas as variáveis livres são ocupadas por nomes ou descrições definidas, nas proposições do segundo tipo uma ou mais variáveis são vinculadas pelos quantificadores universal ou existencial.
Descrições definidas e predicados
Consideramos a descrição definida 
(29) O autor de Dom Casmurro 
Se substituímos Dom Casmurro com x obtemos o autor de x, que não é mais uma descrição definida a não ser que substituímos x com algo específico. 
Consideramos a proposição 
(30) João é brasileiro (João possui a propriedade de ser brasileiro). 
Substituindo João com x obtemos o predicado a um argumento “x é brasileiro”. Podemos substituir com uma variável o predicado e não o nome: “João possui a propriedade B”. Essa expressão se torna uma proposição substituindo B com uma propriedade. B é uma variável predicativa. É possível usar o quantificador e ter 
(31) existe H tal que João possui a propriedade B 
que equivale a “João possui pelo menos uma propriedade”. 
Nada impede de produzir não somente variáveis para os indivíduos mas também variáveis para predicados e quantificá-las existencialmente ou universalmente.
Dada uma relação binária R, se diz que ela é simétrica se, quando um indivíduo x possui a relação R com y, então y possui a relação R com x. Por ex. se x é parente de y então y é parente de x. Ao contrário, “x ama y” não é, normalmente, uma relação simétrica. Para que ela se torne uma relação simétrica é necessário introduzir uma variável K: 
(32) Existe K tal que, por cada x e por cada y, se x possui a relação K com y, então y possui a relação K com x
Consideremos agora as duas proposições 
(33) Celso lê” 
(34) Celso lê em voz alta. 
(33) e (34) expressam duas propriedades diferentes de Celso (o fato de estar lendo e o fato de estar lendo em voz alta). As duas propriedades estão ligadas, tanto é que da segunda pode ser deduzida a primeira. Se temos a disposição somente símbolos para as propriedades, não é possível dar conta desse nexo. Isso pode ser feito se temos uma maneira de indicar propriedades de propriedades (“em voz alta” é uma propriedade de “ler” que por sua vezé uma propriedade). 
O âmbito da lógica em que se introduzem nomes para indivíduos e predicados, e em que as variáveis são somente aquelas individuais (portanto apenas elas podem ser quantificadas existencialmente e universalmente) é chamado de lógica dos predicados da primeira ordem. Se introduzimos variáveis para os predicados e nomes para os predicados de predicados, entramos na lógica dos predicados da segunda ordem. Nós não entraremos nela.
Algumas considerações
A expressão “indivíduo” é usada com relação a objetos de diferente natureza: pessoas, entes geográficos, objetos concretos e abstratos. Quando usamos predicados como “x é brasileiro”, “x é filho de y” ou “x ama y” os obtemos proposições que contêm nomes de pessoa. Ninguém pensaria em predicados como “5 é brasileiro”. Intuitivamente um predicado é sensato somente para alguns tipos de indivíduos, não para qualquer indivíduo. Para cada tipo de predicado muda então o tipo de indivíduo.
Quando se explicita a forma lógica de uma proposição se realiza uma ascensão sintática, no sentido que se presta atenção somente em alguns elementos que comparecem na proposição. Isso é importante para mostrar que o nexo de consequência lógica entre proposições é independente dos conteúdos específicos das proposições. A ascensão sintática esvazia as proposições de seus conteúdos semânticos e revela a sua forma lógica. Contudo, a partir da forma esvaziada pode ser realizada a descida semântica, que tecnicamente é chamada de interpretação. 
As fórmulas da lógica se interpretam em um domínio D (um conjunto de indivíduos). Somente depois de uma interpretação as fórmulas se tornam proposições e podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas.
Também os nomes de indivíduos são por sua vez indivíduos. Quando dissemos que “Beto é brasileiro” entendemos que o indivíduo que se chama Beto tem a propriedade de ser brasileiro. Nas proposições “Beto começa por bê” ou “Beto possui duas sílabas” ou “Beto rima com teto”, o sujeito não é o indivíduo mas a própria palavra. No primeiro caso se diz que Beto é usado como nome do indivíduo particular, no segundo que Beto é mencionado. Para evitar a ambiguidade, se usa colocar o nome mencionado entre aspas (‘Beto’).
As proposições compostas
Uma proposição se diz composta se contém pelo menos uma parte que, por sua vez, é uma proposição. Por exemplo
(35) Carlos é mineiro e Paulo é paulista
é composta, porque tanto “Carlos é mineiro” quanto “Paulo é paulista” são proposições. Mas também um caso como
(36) Carlos não é paulista
é uma proposição composta, porque uma sua parte (Carlos é paulista) também é uma proposição. 
(37) Se Fábio é carioca então Fábio é fluminense
é uma proposição composta porque “Fábio é carioca” e Fábio é fluminense” são proposições. Mas 
(38) Todos os homens são mortais
não é composta, apesar de ser possível descrevê-la com uma fórmula que contém o conector se...então: para cada x, se x é homem, então x é mortal. Isso porque as suas partes (x é homem e x é mortal) não são proposições porque contêm a variável x que é livre, e não faz sentido se perguntar se são verdadeiras ou falsas. O quantificador “para cada” vincula a variável x e torna simples a proposição.
As proposições compostas são obtidas a partir de proposições simples através de termos da linguagem comum como “ou”, “não”, “se...então”, que são ditos conectores proposicionais. O conector pode ser aplicado tanto a proposições simples quanto a proposições compostas.
Os principais conectores veri-funcionais
É chamado de conector uma expressão da linguagem com a qual se obtém uma proposição composta a partir de uma ou mais proposições dadas. Os conectores podem ser distintos pelo número de proposições às quais se aplicam. O conector “ou” é a dois argumentos enquanto se aplica a duas proposições; o conector “não” é a um argumento enquanto se aplica a uma proposição. Olharemos somente conectores a um ou dois argumentos.
É dito veri-funcional um conector tal que o valor de verdade da proposição obtida através dele depende unicamente dos valores de verdade das proposições às quais se aplica. 
A negação
A negação é um conector a um argumento. Se A é verdadeira, ¬A (= não A) é falsa, e vice-versa. Para visualizar o comportamento dos conectores se utilizam as chamadas de tabelas de verdade.
Tabela de verdade da negação
	A
	¬A
	V
F
	F
V
A tabela se lê da seguinte maneira: A primeira linha diz que se A é verdadeira então ¬A é falsa. A segunda linha que se A é falsa, então ¬A é verdadeira.
O conector ¬ (não) é veri-funcional porque o valor de verdade de ¬A depende unicamente do valor de verdade de A. Portanto, se a proposição 
(39) Carlos é mineiro 
é verdadeira, então 
(40) Carlos não é mineiro 
é falsa, e vice-versa. Se observe que a dupla negação afirma (contrariamente ao que acontece em muitas línguas naturais, incluído o português). Portanto ¬(¬A) = A.
A conjunção
A conjunção de duas proposições A e B é a proposição que é verdadeira se ambas as proposições são verdadeiras e falsa em todos os outros casos. O símbolo para a conjunção é ˄ (= e). A ˄ B se lê como A e B. A e B são chamado então de conjuntos. A tabela de verdade da conjunção é a seguinte
	A B
	A ˄ B
	V V
V F
F V
F F
	V
F
F
F
Quando se diz 
(41) Carlos é Carioca e Carlos é Fluminense 
se quer dizer que ambas as proposições são verdadeiras. Às vezes a conjunção não é colocada entre as duas proposições: quando se diz que Pedro e Lívia são mineiros, o que se expressa é que “Pedro é mineiro e Lívia é mineira”. Analogamente, dizer que o jogo é disputado e divertido quer dizer que “o jogo é disputado e o jogo é divertido”.
O uso da conjunção em lógica é diferente do uso de e nas línguas naturais. Em lógica, A e B é igual a B e A. Nas línguas naturais isso é verdade somente em um particular uso de e, como nos exemplos dados acima. Mas o comportamento de e pode ser diferentes, como em:
(42) João colocou o calção e entrou na piscina, 
que não significa a mesma coisa de 
(43) João entrou na piscina e colocou o calção.
João perdeu muitas aulas e foi reprovado, que não é o mesmo que João foi reprovado e perdeu muitas aulas. Nesses casos e oferece informações que não dependem de sua forma lógica e que são chamadas de implicaturas conversacionais, que são aprofundadas na disciplina de pragmática.
Além disso, na linguagem natural, nem sempre a conjunção é expressa com e. Vejam os casos seguintes:
Roberto é cearense mas Júlio é pernambucano
Roberto é cearense enquanto Júlio é pernambucano
Roberto é cearense, Júlio pernambucano
Essas três proposições têm todas a forma A ˄ B. As informações que mas ou enquanto (e outras expressões) fornecem não contribuem à forma lógica e são de outra natureza. Elas são chamadas de implicaturas convencionais e serão vistas na disciplina de pragmática. 
Um outro caso interessante para mostrar o diferente funcionamento da conjunção e em lógica e na linguagem natural é o seguinte:
(44) A camisa do Flamengo é vermelha e preta
Nesse caso a conjunção é usada para expressar a presença das duas cores ao mesmo tempo. Ela não equivale a dizer que “a camisa do Flamengo é vermelha e a camisa do Flamengo é preta”. Do ponto de vista lógico essas duas proposições são ambas falsas. O mesmo acontece no caso
(45) Victor e Sandra são amigos
Que não pode ser descrita como “Victor é amigo e Sandra é amiga”.
A disjunção
A disjunção inclusiva de duas proposição A e B é a proposição que é verdadeira se uma das duas proposições é verdadeira e falsa se ambas são falsas. A disjunção é um conector a dois argumentos e se indica com o símbolo ˅ (= ou). A ˅ B se lê A ou B. A tabela de verdade da disjunção é a seguinte:
	A B
	 A ˅ B
	V V
V F
F V
F F
	V
V
V
F
A disjunção inclusiva significa portanto que ou é verdadeira uma proposição, ou é verdadeira a outra ou são verdadeiras as duas. Na linguagem comum se usa ou com o significado de “ou um ou outro”, de “ou um, ou outro ou nenhum dos dois” e de “ou um, ou outro ou ambos”. Por exemplo:
(46) Túliofoi ao cinema ou ao teatro (ou um ou outro, mas não ambos nem nenhum dos dois)
(47) O concurso pode ser feito pelos formados em matemática ou em física (ou um ou outro ou ambos)
(48) Você pode brincar com a bola ou com o videogame (ou um ou outro ou nenhum dos dois).
Em lógica temos dois conectores (a disjunção inclusiva e a exclusiva) que cobrem dois dos três casos que na linguagem natural são cobertos por um único conector.
A disjunção exclusiva é representada com ⊻ e cobre o caso representado pela seguinte tabela de verdade:
	A B
	A ⊻ B
	V V
V F
F V
F F
	F
V
V
F
A tabela diz que a disjunção exclusiva prevê que somente uma das proposições seja verdadeira, mas não ambas nem nenhuma das duas.
O condicional material
O condicional material de duas proposições é o conector se...então, que se indica com o símbolo {\displaystyle \rightarrow }→ e que é definido com base na seguinte tabela de verdade:
	A B
	A → B
	V V
V F
F V
F F
	V
F
V
V
As primeiras duas linhas da tabela não deveriam criar problemas
A primeira linha pode ser exemplificada com
(49) Se Carlos é carioca então Carlos é fluminense
Isso significa que não pode se dar o caso que Carlos seja carioca e não seja fluminense
A segunda linha pode ser exemplificada com
(50) Se Gabriel e Hugo são parentes então Gabriel e Hugo são irmãos
Isso significa que pode ser que Gabriel e Hugo sejam parentes mas não sejam irmãos
As últimas duas linhas podem justificadamente criar algumas dificuldades, apesar de haver bons motivos para sustentá-las que requereriam uma discussão longa e complexa demais aqui. O problema é também ligado ao fato que na linguagem comum o conector se...então implica também um nexo entre as duas proposições, como por exemplo um nexo de causa-efeito. Em lógica o conector não implica este nexo. 
E isso é mais um argumento que mostra a distância entre o comportamento da linguagem natural e as inferências de tipo lógico. A existência de um nexo depende dos conteúdos das proposições e não apenas da sua forma e dos aspectos veri-funcionais. Se observe o que acontece nas condicionais contrafactuais:
(51) Se Napoleão tivesse ganhado em Waterloo, então não teria morrido em Santa Helena
(52) Se Napoleão tivesse ganhado em Waterloo, então os cachorros possuiriam asas
Em ambos os casos o antecedente é falso. O antecedente é a primeira proposição. Napoleão não ganhou em Waterloo. Contudo, no primeiro caso nós estaríamos dispostos a aceitar a verdade do subsequente (a segunda proposição), enquanto no segundo caso não. Mas a forma lógica é a mesma. Com base na tabela de verdade elas devem ser consideradas ambas verdadeiras.
Um parêntese apenas para explicar o que é uma contrafactual. Uma expressão contrafactual é uma expressão que expressa uma proposição diferentes das condições de verdade do mundo de referência. Dizendo se Napoleão tivesse ganhado em Waterloo estamos expressando algo que sabemos que não se deu, ou seja cujo valor de verdade é o falso.
Tipicamente as contrafactuais são expressas com o período hipotético do terceiro tipo. Consideremos os três tipos de períodos hipotéticos seguintes:
(53) se você estudar, vai passar na prova
(54) se você estudasse, passaria na prova
(55) se você tivesse estudado, teria passado na prova
O primeiro tipo, dito também da realidade, e o segundo tipo, dito também da possibilidade, não expressam algo contrário à realidade factual. O terceiro tipo, dito também da impossibilidade ou da irrealidade, ao contrário impõe que a primeira proposição seja falsa, porque as coisas, no domínio de referência, aconteceram de outra maneira, ou seja, com condições de verdade diferentes. 
A relação estabelecida pelo conector “se...então” é chamada de implicação. É preciso então distinguir entre dois tipos de implicação. Na implicação lógica ‘material”, que mostramos acima na tabela de verdade, se diz respeito à definição formal das proposições, independentemente do nexo causal entre elas. Na implicação “semântica”, que considera o conteúdo, ou seja o significado, da primeira proposição, somente se ela é verdadeira é capaz de impor a verdade da segunda. Em outras palavras, a definição formal reconhece sempre verdadeira uma implicação a não ser que a primeira proposição seja verdadeira e a segunda falsa. Se entende que uma primeira proposição falsa implica qualquer outra proposição, verdadeira ou falsa. A definição semântica requer, ao contrário, que a primeira proposição seja verdadeira para estabelecer o valor de verdade da implicação.
Concluímos aqui essa pequena introdução ao raciocínio formal da lógica. Ao longo dessa exposição notamos várias vezes como esse procedimento se distancie do uso concreto da linguagem:
- podemos ter sentenças que expressam mais proposições e proposições que podem ser expressas com diferentes sentenças;
- o mesmo quantificador pode ser expresso em muitas maneiras, e na linguagem natural existem muitos outros quantificadores que determinam condições menos drásticas do que a verdade ou a falsidade, e lidam com o conceito de maior ou menor probabilidade;
- os conectores não possuem o mesmo significado que adquirem nas línguas naturais: a negação nas línguas naturais pode ser feita de várias maneiras (não, nada, ninguém, nenhum, etc.) e nem sempre a dupla negação afirma (veja-se o caso de não vi ninguém que não significa que vi alguém); a conjunção possui diversas formas e significados variados nas línguas naturais, não apenas a forma e o significado que é adotado em lógica; em menor medida isso pode ser dito da disjunção também; quanto ao condicional, a distância é tal que encontramos dificuldades em entender a tabela de verdade.
Conteúdo proposicional e modalidade
Agora que sabemos o que é a uma proposição, podemos introduzir uma importante categoria semântica, que pode ser estudada também através da lógica: a modalidade.
Para falar da modalidade, precisamos explicar o que é o conteúdo proposicional de um enunciado, apesar disso deve ter se tornado mais claro examinando o conceito de proposição. O conteúdo proposicional é o aspeto semântico mais profundo de um enunciado. Nas sentenças (a-f) e (a’-f’) o conteúdo proposicional não muda:
a) Carlos comeu a maçã
b) É a maçã que Carlos comeu 
c) A maçã, Carlos comeu
d) Foi Carlos que comeu a maçã
e) Acho que foi Carlos quem comeu a maçã
f) Gostaria que Carlos comesse a maça
a’) João matou o cachorro
b’) O cachorro foi morto por João
c’) Certamente João matou o cachorro
d’) Acho que João matou o cachorro
e’) O cachorro, João matou
f’) Foi João quem atou o cachorro
Nessas duas séries de sentenças o conteúdo proposicional não muda porque a estrutura semântica apresentada em todas as sentenças da série é sempre a mesma: todas as sentenças de (a-f) predicam de uma pessoa de nome Carlos que essa pessoa cumpre a ação de comer uma maçã; todas as sentenças (a’-f’) predicam de uma pessoa de nome João que ela cumpriu a ação de matar o cachorro. 
Usando categorias semânticas, podemos dizer que, em todas essas sentenças, é expresso que há um agente (Carlos, João) de uma ação (comer, matar) sobre um paciente (a maçã, o cachorro). Os nomes do agente, do paciente e da ação ocupam os lugares de uma forma lógica fixa. Mas ao mesmo tempo não diremos que as sentenças (a-f) e (a’-f’) são sinônimas. 
A diferença entre elas não está na estrutura semântica profunda, que é igual em todas, mas em como esse conteúdo é de alguma maneira apresentado, o que tem efeitos de diferente natureza na linguagem comum. Por enquanto, é importante saber que o conteúdo proposicional define a estrutura semântica de base, preenche o esquema lógico; e que a um mesmo conteúdo proposicional podem ser impostas diversas formulações que mudam a forma da sentença e agem sobre o nível semântico básico de diferentes maneiras. O conteúdo proposicional é, portanto, o estado de coisas ao qual se faz referência, mas esse estado de coisas pode ser apresentado de diferentes maneiras na linguagem natural, por razões que podem ser explicadasde diferentes maneiras.
A modalidade é uma categoria que age no nível semântico, ou seja, sobre o conteúdo proposicional do enunciado. Apesar de o estado de coisas ser o mesmo, esse estado de coisas pode ser apresentado pelo falante sob diferentes perspectivas. No caso da modalidade, na formulação clássica (Bally, 1932), o que muda é o ponto de vista que o falante expressa sobre esse estado de coisas, ou seja sobre o conteúdo proposicional do enunciado que ele profere.
Nas sentenças (e), (f), (c’) e (d’) esse ponto de vista é explicitado lexicalmente ou morfologicamente (o que não significa que nas outras formulações não exista um ponto de vista) com acho, gostaria e certamente.
Sobre a modalidade existe uma rica literatura, com visões diferentes. Para os nossos fins, exporemos apenas a visão tradicional de maneira muito sintética, para dar uma ideia do fenômeno e poder distinguir a modalidade de outras categorias. As principais modalidades são três: alética, epistêmica e deôntica (que em certas visões são integradas com outras modalidades ou subdivididas em subtipos diferentes). 
A modalidade alética indica o ponto de vista do falante com relação à necessidade ou possibilidade que o conteúdo proposicional seja verdadeiro. Exemplos de modalidade alética são os seguintes:
a) Esse gato é preto (a coisa não está em discussão)
b) Um tigre pode ser branco (esse conteúdo é possível na natureza, ou seja, na natureza se dá sem dúvida essa possibilidade)
c) Uma zebra tem que ter listras brancas e pretas (é necessário que seja assim na natureza para que algo seja uma zebra)
A modalidade alética apresenta o ponto de vista do falante como algo que é naturalmente dado, algo que não é fruto de discussão. Por isso, frequentemente ela não é marcada lexicalmente ou morfologicamente. Nesses casos, não faz sentido dizer que não existe modalidade (seria como dizer que o falante não tem um ponto de vista sobre o conteúdo proposicional do que ele diz); o que deve-se dizer é que a modalidade não é expressa através de um elemento que emerge na superfície (seja lexicalmente seja morfologicamente).
A modalidade epistêmica indica o ponto de vista do falante com relação à possibilidade ou necessidade que um conteúdo proposicional seja verificado num dado mundo, com base nas crenças ou opiniões do falante. A modalidade epistêmica diz respeito ao grau de comprometimento que o falante tem com relação à verdade do conteúdo proposicional de seu enunciado. São de modalidade epistêmica os seguintes enunciados:
a) Mario pode estar viajando amanhã (talvez viaje, talvez não, não sei afirmar com certeza)
b) Mario deve ter viajado ontem (imagino, mas não tenho certeza)
c) Acho que Mario tenha viajado (tenho essa impressão/opinião)
A modalidade deôntica indica o ponto de vista do falante enquanto agente moralmente responsável com relação a obrigações, permissões e desejos expressados pelo conteúdo proposicional do enunciado. É deôntica a modalidade dos enunciados seguintes:
a) Tivemos que acabar o trabalho em 3 dias (fomos obrigados a isso)
b) Eles podem entrar na minha casa (eles têm a permissão para fazer isso)
c) Eu quero falar com ele (eu tenho um desejo com relação ao conteúdo proposicional eu falo com ele)
d) Você não pode mentir pra mim (você está proibido de mentir pra mim)
Como se vê, a modalidade expressa uma contribuição com relação ao conteúdo proposicional de um enunciado. Por exemplo, com relação ao conteúdo que predica de mim que eu fale com ele, eu posso usar uma modalidade deôntica (eu quis falar com ele), uma modalidade epistêmica (acho que eu falei com ele) ou uma modalidade alética (eu falei com ele). Bally define a modalidade como o Modus sobre o Dictum, ou seja, o modo com o qual o falante olha para o que diz, o modo com que o falante olha para o conteúdo proposicional do que ele expressa.
Se observe que a mesma forma linguística pode expressar modalidades diferentes. O verbo modal poder expressa uma modalidade alética em um tigre pode ser branco, uma modalidade epistêmica em Mário pode ter viajado e uma modalidade deôntica em Eles podem entrar na minha casa. O valor modal não é portanto codificado em uma expressão, mas deve ser considerado com base no conteúdo proposicional do enunciado.
Tempo, aspecto e dêixis
Precisamos agora distinguir duas outras categorias: aquela do tempo verbal e aquela do aspecto verbal. Os verbos possuem muitas formas: presente, pretérito, imperfeito, futuro, futuro anterior, futuro do passado, etc. Essas formas não são todas tempos verbais diferentes: algumas se diferenciam também pelo tempo, outras se diferenciam apenas pelo aspecto. Para entender a diferença entre essas duas noções precisamos explicar o conceito de dêixis, porque o tempo é uma categoria dêitica, enquanto o aspecto não. 
Com dêixis (do grego para apontamento) se entende todas aquelas formas da linguagem que codificam a relação com o contexto extralinguístico. Mais precisamente com relação a três âmbitos do contexto: os participantes da interação, o espaço e o tempo. Nós estamos mais interessados no conceito de tempo, mas antes apresentaremos alguns assuntos mínimos de dêixis pessoal e espacial.
Antes de tudo deve ser dito que uma expressão dêitica é sempre codificada com base a um ponto de referência, que é o centro dêitico, tecnicamente chamado de origo. A origo normalmente é o falante (a sua pessoa, o momento em que fala e o espaço em que fala). Portanto, em um diálogo a origo muda com o mudar do turno de fala.
As expressões dêiticas devem ser distintas das expressões fóricas, que fazem referência não ao contexto extralinguístico mas ao contexto linguístico, ou seja, a um outro ponto dentro do discurso. São chamadas de anafóricas aquelas expressões que fazem referência a algum ponto do discurso anterior e de expressões catafóricas aquelas expressões que fazem referência a algum ponto posterior do discurso.
A dêixis pessoal
A dêixis pessoal é codificada naquelas expressões linguísticas que fazem sentido somente sabendo quem profere a expressão, para quem está se dirigindo ou a quem está se referindo: a expressão eu só faz sentido sabendo quem está falando; tu (ou você) sabendo para quem o falante está se dirigindo; ele ou ela se sabemos a quem está se referindo quem está falando (mas veremos que ele e seus correspondentes feminino e plural podem ser usados também de maneira não dêitica, ou seja, foricamente, quer dizer, com referência a elementos do discurso e não da situação extralinguística). Podemos então dizer que eu significa “o falante”, tu “o interlocutor” e ele alguém que pode ser definido só negativamente, como quem não é nem o falante nem o interlocutor, e portanto, para ser corretamente identificado, frequentemente precisa-se de um gesto de ostensão (o ato de apontar). 
No plural, nós se define como eu mais alguém, não como o plural de eu (nós não significa muitos “eus”). Esse alguém pode incluir ou não o(s) destinatário(s) da comunicação. 
(1) Nós queremos entrar 
proferido por uma pessoa que, junto com outra, está fora da porta de um local e se dirige a alguém que está dentro, tem valor exclusivo, ou seja, não inclui o interlocutor; ao contrário
(2) nós vamos nos falar de novo daqui a uma semana 
proferido por uma pessoa que está se dirigindo à pessoa com quem quer falar depois de uma semana, é inclusivo com relação ao interlocutor. Há línguas que possuem pronomes diferentes para esses dois significados. 
É importante notar que os pronomes de primeira e segunda pessoa, tanto singular quanto plural, são de natureza diferente daqueles de terceira pessoa. Somente o pronome de terceira pessoa pode substituir um nome (e nesse sentido é um verdadeiro pro-nome). Eu posso dizer (3), (4) ou (5), mas não posso dizer (6):
(3) O professor está alegre 
(4) Tommaso está alegre 
(5) ele está alegre 
(6) *Tommaso estou alegre
E o mesmo acontece no plural. Portanto, o pronome de primeira pessoa não é um verdadeiro substituto do nome. O mesmo acontece para a segunda pessoa. Por isso se diz que os pronomes de primeirae segunda pessoa são inerentemente dêiticos, ou seja, podem ser usados somente com função dêitica, enquanto o pronome de terceira pessoa pode ser usado deiticamente, mas também como expressão fórica (ou seja, que faz referência a algo presente no discurso), como nos exemplos seguintes. Em (7) e (8) o mesmo pronome é usado respectivamente de forma dêitica e de forma fórica:
(7) Luis, ele é o Sílvio
em um contexto em que, por exemplo, eu estou falando com o Luis e estou apontando para outra pessoa. 
(8) Sílvio é um ótimo menino. Ele sempre obedece aos pais.
A dêixis pessoal, pelo menos nas línguas em que há uma rica morfologia verbal (e por isso não precisam expressar sintaticamente o sujeito), pode ser expressa através das desinências verbais. Por exemplo, em português podemos dizer (9), mas em inglês precisamos dizer (10), sendo que (11) é agramatical: 
(9) como pão todo dia 
(10) I eat bread every day 
(11) *eat bread every day.
A dêixis espacial
Temos que distinguir entre uma referência espacial com relação a um ponto fixo, e portanto, fórica, como em
(12) A minha casa fica a 300 metros da casa do Marcos
(13) a loja de sapatos está à direita da agência de correio
e uma referência espacial com relação aos participantes da enunciação, e, portanto, dêitica, como em
(14) a minha casa fica a 300 metros daqui
(15) vira à direita! (dito dentro de um carro por um passageiro sentado ao lado do motorista)
Em (14) e (15) precisamos conhecer a posição do falante para decodificar a distância da minha casa e qual é a direção referida pelo termo "direita"; se os participantes mudam de lugar o significado de daqui e de direita também muda. Isso não acontece em (12) e (13). Somente a referência espacial com relação aos participantes da interação é uma referência dêitica. A dêixis espacial expressa o espaço com referência ao lugar do autor da enunciação. Se nós escutamos um enunciado como
(16) aqui faz um frio danado 
só podemos entender o significado de aqui se sabemos onde foi pronunciado o enunciado, ou seja, se temos acesso à situação extralinguística. 
São exemplos de dêixis espacial expressões como aqui, aí, ali, esse, aquele, nesse lugar, em frente, atrás, à direita, etc. Os sistemas de codificação da dêixis podem mudar de língua para língua: o italiano e o inglês por exemplo possuem um sistema dêitico bipartido (perto ou longe do falante – qui/lí ou here/there), enquanto o português apresenta um sistema tripartido (perto do falante, perto do interlocutor, longe dos dois – aqui/aí/ali). Há línguas em que o sistema pode ser muito complexo: no sistema do húngaro, por exemplo, temos formas para indicar o dentro, o fora com contato, o fora sem contato, o fora de lado, etc. 
O contexto pode mudar o tipo de significado espacial de algumas expressões: aqui pode ter uma extensão física diferente se usado para se referir ao lugar onde um cirurgião precisa cortar, ao lugar onde deve-se colocar um livro, à cidade onde está acontecendo um determinado evento ou ao país onde foi aplicada uma determinada norma. Portanto aqui significa “um lugar coincidente com o lugar do falante, ou próximo ao falante, ou que inclui o espaço do falante”, mas pode-se referir a áreas de extensão muito variável. Isso vale também para outras expressões de dêixis espacial.
A dêixis temporal
A dêixis temporal define o tempo com referência ao momento da enunciação. Por exemplo, uma expressão como amanhã significa “o dia depois do dia da enunciação”, daqui a uma semana significa “uma semana depois do momento da enunciação”, ontem “o dia antes do dia da enunciação” etc. O conceito de tempo verbal é frequentemente usado de maneira ambígua, contrariamente ao inglês que distingue entre time e tense, ou seja entre tempo e forma gramatical do verbo. Do ponto de vista dêitico, existem apenas três tempos: o tempo presente (o tempo da enunciação), o tempo passado (o tempo antes da enunciação) e o tempo futuro (o tempo depois da enunciação). 
Portanto dois enunciados como
(17) um ano atrás eu joguei futebol
(18) um ano atrás eu jogava futebol 
se referem ao mesmo tempo, o passado. O que muda é o aspecto verbal e não o tempo verbal. Enquanto no primeiro caso a ação de jogar futebol é vista como algo concluído, no segundo é vista durante o seu acontecer ou, como em
(19) eu jogava futebol todos os sábados 
como uma ação repetida. Os vários tipos de presentes (eu jogo futebol, eu estou jogando futebol), de passado e de futuro não indicam, portanto, tempos diferentes, mas qualidades diferentes da ação sem que se mude o valor puramente temporal de presente, passado ou futuro. É possível dizer
(20) eu jogava futebol quando eu tinha quinze anos 
(21) eu joguei futebol quando eu tinha quinze anos.
A referência temporal com relação ao momento da enunciação é a mesma. O que muda é a perspectiva com que se olha para a ação: como algo representado ao longo da duração do evento, mesmo se no passado, ou como algo concluído e referido a um espaço temporal delimitado. 
O aspecto tem a ver, portanto, com a maneira com que a ação é apresentada, e não com o tempo dela. A primeira grande distinção é entre os aspectos perfectivos e imperfectivos (perfectum em latim significa “concluído”). As formas com aspecto perfectivo apresentam a ação como concluída, incluindo a visualização do instante final. O aspecto imperfectivo apresenta a ação sem a inclusão desse instante, como algo que está (ou estava ou estará) em curso, ou como algo repetido no tempo. Dentro do aspecto imperfectivo podemos incluir o aspecto habitual (jogava futebol todas as sextas) e o aspecto progressivo (eu estou/estava jogando futebol). 
O valor aspectual é atribuído através de muitos elementos linguísticos, e não somente através da morfologia verbal (no sentido de tense). Por exemplo, em um enunciado como
(22) ele acaba de chegar 
usamos uma perífrase em que o verbo acabar não tem o valor lexical próprio dele, como ao contrário acontece em
(23) a festa acabou às 10,00 
mas funciona como um auxiliary e serve para dar um específico valor aspectual ao verbo chegar. Acaba de chegar significa chegou pouquíssimo tempo atrás. Essa paráfrase mostra que o significado lexical de acabar não está presente em (22) e que acabar funciona como um auxiliar que atribui o valor aspectual ao verbo chegar. Nós usamos também outros setores do léxico para atribuir valor aspectual: advérbios, como em
(24) ele ligava sempre 
(25) ele ligava raramente 
em que a qualidade da ação depende do advérbio sempre ou raramente, ou elementos lexicais de outro tipo, como em ser rico, que indica um resultado, e enriquecer, que indica um processo. Em cada língua existem recursos para indicar o aspecto, mas esses recursos muitas vezes são diferentes. O inglês não tem recursos morfológicos para distinguir entre eu jogava e eu joguei e precisa recorrer a outros recursos, como a perífrase I used to para indicar o aspecto imperfectivo. O italiano não tem um recurso morfológico para indicar o que o português indica com o pretérito perfeito composto (a mesma estrutura morfológica em italiano indica um outro valor aspectual) e precisa recorrer a outros recursos: um enunciado português como
(26) eu tenho estudado muito nos últimos três meses 
em italiano vira
(27) studio molto da tre mesi. 
Analogamente o italiano não possui a perífrase de acabou de chegar, mas pode expressar o mesmo valor através de um advérbio: è appena arrivato. 
Vimos então que o tempo é uma categoria dêitica. Por isso temos apenas 3 tempos: durante, antes e depois do momento da enunciação. O tempo é medido com base na origo, que é o momento da enunciação. Contudo, as formas verbais são muito mais que três. Elas de fato sinalizam tanto o tempo quanto o aspecto:
Entre as formas de presente temos: corro, estou correndo.
Entre as formas de passado: corri, corria, estava correndo, havia corrido.
Entre as formas de futuro: correrei, vou correr, terei corrido, estarei correndo.
A forma tenho corrido indica uma ação que começa no passado mas ainda não está concluída.
Observemque as formas verbais podem também ser fóricas.
Em português há algumas formas que são inerentemente fóricas, além de várias formas que podem funcionar tanto anaforicamente quanto deiticamente. Em
(28) eu joguei futebol 
o pretérito tem valor dêitico, pois se refere a um momento anterior ao momento da enunciação. Mas em
(29) eu joguei futebol no dia da festa do João 
o pretérito se refere a um momento que está presente no discurso, e portanto a sua referência é fórica (nesse caso, catafórica), pois para saber o tempo de joguei precisamos conhecer o tempo de o dia da festa do João e não quando foi falado o enunciado. Em
(30) quando você entrou eu percebi imediatamente que você nos daria a notícia
entrou é dêitico, enquanto os outros dois verbos são anafóricos, ou seja, a referência temporal deles não é o momento da enunciação mas é, respectivamente, o momento em que você entrou e o momento em eu percebi. De fato entrou é interpretável somente como antes do momento da enunciação, enquanto percebi deve ser interpretado como em contemporaneidade a entrou, e daria como posterior a percebi. Não existe no discurso uma indicação temporal à qual o tempo de entrou esteja ancorada. Nós sabemos somente que você entrou aconteceu antes do momento da enunciação. Isso significa que sem conhecer o momento da enunciação não podemos ancorar entrou. Ao contrário, a própria forma entrou funciona como ancoragem temporal para as formas que seguem. Elas se medem em relação a um tempo que está no discurso (o tempo de entrou) e não ao momento da enunciação. São, portanto, usos anafóricas. No caso de daria, sabemos também que acontece depois de percebi, ou seja, é anafórico diretamente com relação a percebi, que, por sua vez, é anafórico a entrou.
Algumas formas verbais só podem ser interpretados anaforicamente (é o caso de daria em (30)). Em
(31) eu já tinha jogado futebol 
a forma tinha jogado se refere a algum momento anterior a um momento que precisa ser ancorado no discurso (seja explícita ou implicitamente). Por exemplo, como acontece no diálogo em
(32) A: Ontem você jogou futebol pela primeira vez.
B: Não, eu já tinha jogado futebol.
Nesse caso, tinha jogado se refere a um momento anterior a ontem, e não a um momento anterior à enunciação. As formas verbais que têm valor inerentemente anafórico são o mais que perfeito, que expressa anterioridade com respeito ao passado, o futuro anterior (eu terei jogado), que expressa anterioridade com respeito ao futuro, e o futuro do pretérito (eu jogaria), quando expressa posterioridade com respeito ao passado, como em
(33) eu te disse que eu jogaria futebol. 
Não se deve confundir esse uso da forma verbal com seu uso modal de condicional, como em (34)
(67) eu jogaria futebol se tivesse mais fôlego.
Aqui a forma jogaria não funciona como futuro do pretérito e não expressa posterioridade com relação a um outro momento. Aqui a forma, chamada de condicional, constitui um modo verbal diferente que expressa uma consequência ligada a uma determinada condição. Este uso é típico do chamado de período hipotético e ocupa a parte deste período chamada de apódose. De fato, em (67), que é um período hipotético, a primeira parte constitui a apódose, que informa sobre o que aconteceria sob efeito de uma determinada condição, enquanto a segunda parte (sintaticamente subordinada) constitui a prótase, que apresenta a condição para a apódose.