IAL_-_I_-_01_Prof_Flavio_aula_3[1]

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1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
41
6 Matrizes e Operações Matriciais6 – Matrizes e Operações Matriciais
Definição: Uma matriz é um agrupamento retangular de números Os númerosDefinição:  Uma matriz é um agrupamento retangular de números. Os números 
neste agrupamento são denominados entradas (elementos) da matriz.





 n
n
aaa
aaa
A 


22221
11211


 mnmm aaa 

21
‐ A entrada que ocorre na i‐ésima linha e j‐ésima coluna de uma matriz A é denotada por 
onde  i=1,...,m e  j=1,...,n.        
ij
ij
aA 
‐ O tamanho de uma matriz é descrito em termos do seu número de linhas (m) e de colunas 
(n). Desta forma, o tamanho da matriz  A é m por n e denota‐se m x n. 
‐ Notação compacta: 
nmij
aA  x ][
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
D fi i ã U t i d t h 1 é d i d t i li h ( t
42
Definição:  Uma matriz de tamanho 1 x n é denominada matriz linha (ou vetor 
linha) e uma matriz de tamanho m x 1 é denominada matriz coluna (ou vetor 
coluna).
‐ Comum a notação de letra minúscula em negrito.
  



b
b
2
1
e 
n
aaa 
21
a






m
b
b

2b
 m
Definição:  Uma matriz de tamanho n x n, número de linhas igual ao número de 
colunas, é denominada matriz quadrada de ordem n e as entradas a
11
, a
22
, ..., acolunas, é denominada matriz quadrada de ordem n e as entradas  a
11
, a
22
, ..., a
nn
constituem a sua diagonal principal.
 aaa




 n
n
aaa
aaa
A 


22221
11211


 nnnn aaa 

21
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
D fi i ã D t i ã d fi id d i i tê
43
Definição:  Duas matrizes são definidas como sendo iguais se têm o mesmo 
tamanho e suas entradas correspondentes são iguais.
i ã i i A B
A ][
bB ][
b‐ As matrizes                        e                       são iguais, A=B, se e somente se               .                 
nmij
aA  x ][
nmij
bB  x ][ ijij ba 
Definição:  Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a soma A+B é a 
matriz obtida somando as entradas de B às entradas correspondentes de A, e a 
diferença A-B é a matriz obtida subtraindo as entradas de B das entradas ç
correspondentes de A. Matrizes de tamanho distintos não podem ser somadas ou 
subtraídas.
‐ As matrizes                        e                        são do mesmo tamanho, então                 
nmij
aA  x ][
nmij
bB  x ][
bbBA ][][][
nmijijnmijnmij
babaBA
babaBA  x  x  x    
][][][
][][][


nmijijnmijnmij
babaBA
xxx
    ][][][ 
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
44
Definição: Se A é uma matriz e c um escalar então o produto cA é a matrizDefinição:  Se A é uma matriz e c um escalar, então o produto cA é a matriz 
obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz  A por c. A matriz cA é 
denominada múltiplo escalar de A.
nmijnmij
caaccA  x  x        ][][ 
 1 
112
2
Exemplo 16 – Considere as matrizes                                      e
Calcule a expressão





01
1
x
xx
A 




01
112
2
x
xxx
B
BAx  1)1(Calcule a expressão B
x
Ax  1)1(
 

 1)1)(1()1(1)1()1(
2
22
xxx
xxxxxx
xAx     0120)1)(1(01
)()(
2
xx
xxx
 


 
  111
)1(
1
)1(
112
11
2
2
x
x
x
x
x
xxx 






 
 




 01
0
1
1
11
01
112
1
1
1
1
x
x
xx
x
xxx
x
B
x






 




02
21
01
11
012
1
1
1
)1(
2
22
2
22
xx
xx
x
xx
xxx
B
x
Ax
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
45
Definição: Se A é uma matriz m x r e B uma matriz r x n então o produto AB é aDefinição:  Se A é uma matriz m x r e B uma matriz r x n, então o produto AB é a 
matriz  m x n cujas entradas são determinadas como segue. Para obter a entrada 
na linha i e coluna  j de AB, destaque a linha i de A e a coluna  j de B. Multiplique 
t d d t d t li h d t l tã d tas entradas correspondentes desta linha e desta coluna e então some os produtos 
resultantes.
A B ABA . B AB
m x r r x n m x n
=



in
mj
r
nmijmrijrmij
cc
bbb
aa
cbaAB
11
1111
111
][][][

      
xxx



















ijiri
caa
1









       










 mnmrmrjrmrm ccbbbaa 111 








m
k
kjikmjimjijiij
babababac
1
2211
       
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
46
 421 
3414
Exemplo 17 – Considere as matrizes                             e 


062
421
A






2572
1310B
A . B AB
= ;
B . A BA
=•
2 x 3 3 x 4 2 x 4
=            ;  
• O elemento da matriz AB situada na linha 2 e coluna 3 é calculada da seguinte forma
3 x 4 2 x 3 não é definido
=
• O elemento da matriz AB situada na linha 2 e coluna 3 é calculada da seguinte forma








 


26503642
1310
3414
062
421
AB
 
265.03.64.2
2572
062
• O elemento da matriz AB situada na linha 1 e coluna 4 é calculada da seguinte forma
















 132.41.23.1
2572
1310
3414
062
421
AB
 2572
• A matriz AB
 13302712
3414
421











122648
13302712
2572
1310
062
421
AB
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6 – Matrizes e operações matriciais
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Matrizes ParticionadasMatrizes Particionadas
Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou particionadas em matrizes menores 
inserindo riscos horizontais e verticais entre linhas e colunas selecionadas.
Exemplo 17 – Três possíveis partições de uma matriz 3x4 arbitrária
1211
24232221
14131211







AA
AA
aaaa
aaaa
A
 partição em 4 submatrizes
2221
14333231




AA
aaaa
2
1
24232221
14131211
l
l
l


















aaaa
aaaa
aaaa
A
 partição em matrizes linha
14131211
314333231
l


aaaa
aaaa
 
4321
14333231
24232221
14131211
cccc






aaaa
aaaaA  partição em matrizes coluna 
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6 – Matrizes e operações matriciais
48
Propriedades da Aritmética MatricialPropriedades da Aritmética Matricial
Considere as matrizes A, B e C de mesmo tamanho  e os escalares a, b e c.
a) A + B = B + A (Lei da Comutativa para a Adição)
b) A + (B+C) = (A+B) + C (Lei da Associativa da Adição)
c) A(BC) = (AB)C (Lei da Associativa da Multiplicação)) ( ) ( ) ( p ç )
d) A(B+C) = AB + AC (Lei Distributiva à Esquerda)
e) (A+B) C = AC + BC (Lei Distributiva à Direita)) ( ) ( )
f) a(B+C) = aB + aC
g) (a+b)C = aC + bC
h) A(B-C) = AB - AC
i) (A-B) C = AC - BC
j) a(B-C) = aB - aC
k) (a-b)C = aC – bC
l) a(bC) = (ab)C
) (BC) ( B)C B( C)m) a(BC) = (aB)C = B(aC)
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
49
Forma Matricial de um Sistema LinearForma Matricial de um Sistema Linear
Considere  um sistema qualquer de m equações e n variáveis
 b




nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa



22222121
11212111



mnmnmm
bxaxaxa 

2211
‐ Duas matrizes são iguais se, e somente se,  suas correspondentes entradas 
( l t ) ã i i E tã(elementos) são iguais. Então:


nn
bxaxaxa 
11212111







  nn bxaxaxa


22222121
  mnmnmm bxaxaxa 2211
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
50
‐ A matriz à esquerda da igualdade pode ser escrita como sendo uma combinaçãoA matriz à esquerda da igualdade podeser escrita como sendo uma combinação
linear das colunas da matriz                                           (matriz dos coeficientes, pág 12)  



 n
n
aaa
aaa
A 


22221
11211
( , p g )


 mnmm aaa 

21

x
1
com os coeficientes (variáveis do sistema) da matriz coluna               .







m
x
x

2x 
xA
a
a
x
a
a
x
a
a
x
xaxaxa
xaxaxa
n
n
nn
nn


















2
1
22
12
21
11
2222121
1212111
 m
xA
a
x
a
x
a
x
xaxaxa
mn
n
mmnmnmm
              






















 



2
2
1
1
2211




b
b
2
1
bA






m
b
b

2b‐ Sendo a matriz coluna                 então: bx A 
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
51
Definição: Se A é uma matriz qualquer m x n, então a transposta de A, denotada e ção: Se é u a at qua que m n, e tão a t a sposta de , de otada
por AT, é definida como a matriz n x m que resulta da permutação das linhas com 
as colunas de A; ou seja, a primeira coluna  de AT é a primeira linha de A, a 
segunda coluna de A
T
é a segunda linha de A e assim por diantesegunda coluna de A é a segunda linha de A, e assim por diante.

mnji
T
nmij
aAaA  x  x        ][][ 
Propriedades:








 m
m
T
n
n
aaa
aaa
A
aaa
aaa
A 





22212
12111
22221
11211
a) (A
T
)
T
= A
b) (A +B)
T
= A
T
+ B
T
c) (aA)
T
= aA
T
f ã A é d d d A d d






 mnnnmnmm aaaaaa 



2121
c) (aA)
T
= aA
T
d) (AB)
T
= B
T
A
T
Definição: Se A é uma matriz quadrada n x n, então o traço de A, denotado por 
tr(A), é definido pela soma das entradas na diagonal principal de A.





n
iinn
n
n
aaaaAtr
aaa
aaa
A
2211
22221
11211
)( 






i
iinn
nnnn
aaa
1
2211
21
)(


1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
52
Definição: Uma matriz quadrada n x n na qual todas as entradas acima daDefinição: Uma matriz quadrada n x n na qual todas as entradas acima da 
diagonal principal são zero é denominada triangular inferior e  uma matriz 
quadrada n x n na qual todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero é 
denominada triangular superior
 aaa
11211

denominada triangular superior
   superior triangular             







nnnn
n
aa
aaa
A
111
11211
0


jiA 0][

nn
nnnn
a
111
00 
jiaaA
ijnn
ij
 para       
x
0][




b
b
21
11
00


inferiortriangular           








nnnnn
nn
bbb
b
B
11
11
21
0


jibbB
ijnn
ij
  para          
x
0][
  nnnnn 11
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
53
Definição: Uma matriz quadrada é simétrica se, e somente se,
nn
ij
aA
x
][
jiij
aa 
aaa 
11211

Definição: Uma matriz quadrada                       é simétrica se, e somente se,                       
para todos valores possíveis de i e j. 
nn
ij
x
][
jiij
AA
a
aa
aaa
A
T
nn
n







  
1
2212
11211


aaa
nnnnn
nn 

 

11
1

Exemplo 18 – Determine valores para os parâmetros  a,b e c de tal forma que a 
matriz  A seja simétrica.

 

112
433
53
22 babba
bb
a
A








 

5
112
71
53
cbaccba
aa
ca
babA
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
54
Definição:  A matriz com todas as entradas nulas é denominada matriz nula ou 

e ção a co odas as e adas u as é de o ada a u a ou
matriz zero. Notação: 0 ou 0
mxn
Propriedades:
0,][0
00
0 




ijnmij
aa    
x


a) A + 0 = A
b) A – A = 0
c) 0 – A = – A
00
  c) 0 A A
d) A0 = 0; 0A=0
Definição: Uma matriz quadrada diagonal n x n na qual todas as entradas da 
diagonal principal são iguais a 1 é denominada matriz identidade. Notação: I ou I
n
.
 01
      ,
x 












jia
a
aII
ij
ii
nmij
,0
1
][
10
01


 j10 
Seja A uma matriz qualquer mxn então:    AI
n
= A e  I
m
A = A
‐ A matriz identidade desempenha na aritmética matricial a mesma função que o número 1
desempenha nas relações numéricas  a.1=1.a=a.
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
55
Definição:  Dada uma matriz quadrada  A
n
x
n
, se pudermos encontrar uma matriz e ção: ada u a at quad ada
n
x
n
, se pude os e co t a u a at
B de mesmo tamanho tal que AB=BA=I, então dizemos que a matriz A é 
invertível e que B é a matriz inversa de A. Se não puder ser encontrada uma tal 
matriz B então diremos que A é não invertível ou singularmatriz B, então diremos que A é não invertível ou singular.
1 ABIBAAB
Propriedade:
a) (A
-1
)
-1
=A
11  
AB
IAAAA
      a) (A ) =A
b) (AB)
-1
=B
-1
A
-1
c) (A
T
)
-1
=(A
-1
)
T
Exemplo 19 – A matriz                          é uma inversa de


21
53
B 




31
52
A
Pois
 
IAB 
 015352      
e
 102131
IBA 









10
01
31
52
21
53
      

041
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
56
Exemplo 20 – A matriz                                 é singular (não invertível)






052
034B
Para mostrar, consideremos uma matriz quadrada  qualquer A e multiplicaremos 
pela matriz B. O produto  AB não é igual a matriz identidade.


















 010
001
0
0
034
041
232221
131211
aaa
aaa
AB






 







 1000052333231
232221
aaa
E l 21 D t i i d t i j í l
53
A
Exemplo 21 – Determine a inversa da matriz                        , caso seja possível. 

21
A
 ba
‐ Encontrar uma matriz                             tal que:  AB=BA=I


dc
ba
B
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
57
  0153530153 dbb 












10
01
22
5353
10
01
21
53
dbca
dbca
dc
ba
AB












50010
20001
00201
10503
02
153
selementareoperações
ca
ca





 









31000
10100
12010
05030
12
053
selementare  operações
db
db


 2a

 

1
5
c
b
Então:                       e   1
31
52 



 AB
  3d
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
58
Definição:  Se A é uma matriz quadrada, definimos as potências inteiras não e ção: Se é u a at quad ada, de os as potê c as te as ão
negativas de A por
Alé di A é i tí l tã d fi i tê i i t i ti

fatores  n
n
AAAAIA  ;0
Além disso, se A é invertível, então definimos as potências inteiras negativas por
 
f t
n
AAAA
111  
fatores n
srsr
AAA
Propriedade:
 21   23
1
AAA
p
Exemplo 21 – Sejam                         e                                 , então 


31
21
A 




11
3
1
A
 30112183212121 












4115
3011
31
21
114
83
31
21
31
21
31
21
3
A
 304123811232323 



























1115
3041
11
23
34
811
11
23
11
23
11
23
3
A
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
59
Exemplo 22 Sejam o polinômio e a matriz
432)(
2  xxxp 
 21A
Exemplo 22 – Sejam o polinômio                                         e a matriz    
então:
432)(  xxxp  30A



 014213212432)(2
2
IAAAp







29046382
10
4
30
3
30
2432)( IAAAp



 1304090180
                
Método para encontrar  A-1 – Operações elementares
I Coloque a matriz A e a matriz identidade em uma mesma matrizI. Coloque a matriz A e a matriz identidade em uma mesma matriz, 
particionada da seguinte maneira IAM 
II. Aplique operações elementares reduzindo por linhas  a matriz M à forma PI
III. A inversa da matriz A é a matriz P
 
PA  1