1_Conceito de Tensao

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21/02/2010
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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
CAPITULO
Notas de Aula: 
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-
2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
1
Conceito de Tensão
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Introdução
A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que
se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer as
proporções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a fim
de capacitá-las a cumprir suas finalidades, com segurança, confiabilidade,
durabilidade e em condições econômicas.
A limitação das deformações, em muitos casos, se torna necessária para atender
a requisitos de confiabilidade (deformações exageradas podem ser confundidas
com falta de segurança) ou precisão (caso de máquinas operatrizes ou
ferramentas). A capacidade de um elemento reagir às deformações é chamada
de rigidez do elemento.
A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou máquina, de resistir à ruína
é chamada de resistência do elemento e constituí o problema principal para a
análise nesta disciplina.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 3
Objetivos
• O principal objetivo do estudo da Mecânica dos Materiais é prover o
futuro engenheiro de meios que o possibilitem empreender dois
importantes estudos: a Análise e o Projetos de máquinas e estruturas.
• Ambos os estudos, a analise e o projeto de uma determinada
estrutura, envolvem a determinação das tensões e das deformações.
• Neste capítulo será desenvolvido o conceito de tensão.
• Em sua maioria, as construções e as máquinas são muito
complicadas quanto às características dos materiais, a forma e
geometria dos elementos estruturais, tipos de carregamento,
vinculações etc. e, a menos que sejam estabelecidas hipóteses e
esquemas de cálculo simplificadores, a análise dos problemas seria
impraticável. A validade de tais hipóteses é constatada
experimentalmente.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Quanto aos Materiais: 
Os materiais serão supostos contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc)
homogêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e isótropos
(iguais propriedades em todas as direções). Essas hipóteses nos permitem
aplicar as técnicas elementares do cálculo infinitesimal para a solução
matemática dos problemas.
Deve-se ter cautela, entretanto, quanto à sua aplicação para certos materiais
de construção (como o concreto ou a madeira), ou materiais de estrutura
cristalina (como o granito) cujas características heterogêneas e anisotrópicas
nos levariam a resultados apenas aproximados. Outra suposição
freqüentemente utilizada é de que os materiais são perfeitamente elásticos
(sofrendo deformações cuja extensão é proporcional aos esforços a que estão
submetidos, retornando às dimensões originais quando cessam esses
esforços).
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Quando à Geometria dos Elementos Estruturais
BLOCOS – corpos cujas três
dimensões principais são da mesma
ordem de grandeza (a ~b ~c);
FOLHAS – corpos que têm uma
das dimensões (denominada
espessura) muito menor (*) que as
outras duas (e << a ~b);
BARRAS – corpos que têm uma
das dimensões (denominada
comprimento) muito maior (*) que
as outras duas (c >> a ~b).
(*) da ordem de 10 vezes ou mais.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Quanto ao Carregamento
Forças distribuídas – em volumes (como a ação gravitacional, como as
forças de inércia nos corpos acelerados), em superfícies (como a ação de
esforços sobre placas, a ação da pressão de fluidos, p = dF/dA) e em linha
(como a ação ao longo de vigas, q = dF/dx);
q(x)
P
Forças Concentradas – ações localizadas em áreas
de pequena extensão quando comparadas com as
dimensões do corpo. É fácil perceber que tal conceito
(uma força concentrada em um ponto) é uma
abstração já que, para uma área de contato
praticamente nula, uma força finita provocaria uma
pressão ilimitada, o que nenhum material seria capaz
de suportar sem se romper.
F
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Quanto aos Vínculos
Os vínculos são dispositivos mecânicos que impedem certos movimentos da
estrutura ou máquina, através de esforços reativos cujos tipos são estudados
nos cursos de Mecânica dos Corpos Rígidos. Para o caso particular e muito
comum de esforços coplanares, os vínculos são classificados em três
categorias :
Apoio móvel - capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do
corpo numa direção pré-determinada;
APOIO
MOVEL
Pino deslizante
rodete
Biela ou 
conectora
R
Simbolo
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Quanto aos Vínculos
Apoio fixo – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do
corpo em todas as direções;
SÍMBOLO
APOIO
FIXO
rótula
Ry
Rx
Engastamento – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado
do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto.
SÍMBOLO
E
N
G
A
S
T
E Ry
Rx
Mz
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1 - 9
Tensão
tensão==
A
P
s
A
P
A
P
s ==
2
2
= tensão
O conceito de tensão é importante por nos permitir fazer comparativos do
esforço interno desenvolvido em peças sob diferentes carregamentos com os
esforços admissíveis para o material em estudo.
Observe que as barras BC e B´C´ estão submetidas à mesma tensão.
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1 - 10
• A tensão normal em um ponto pode não ser igual
a tensão normal média, mas a resultante das
tensões na seção precisa satisfazer a equação:
 ===
A
med dAdFAP ss
Carga Axial : Tensão Normal
• A força resultante interna para um membro
carregado axialmente é normal à seção
transversal, perpendicular ao eixo da peça.
A
P
A
F
med
A
=
D
D
=
D
ss
0
lim
• A tensão normal é definida como:
• O detalhamento da distribuição das tensões em
uma determinada seção não pode ser
determinado utilizando-se somente a estática.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 11
• Se duas forças são aplicadas excentricamente,
então a distribuição das tensões precisa levar
em conta a força axial e o momento fletor.
Carga Centrada e Carga Excêntrica
• A distribuição das tensões em um membro
carregado excentricamente não é uniforme e
nem simétrica.
• Uma distribuição de tensão uniforme é
considerada quando a linha de ação da
resultante de cargas passa através do centróide
da seção.
• Uma distribuição uniforme de tensões
somente é possivel, se as cargas concentradas
nas extremidades da barra são aplicadas no
centróide da seção. Estas Cargas são
chamadas de cargas centradas.
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1 - 12
Tensão de Cisalhamento
• As Forças P e P’ são aplicadas transversalmente ao 
membroAB.
A
P
A
V
==med
• A resultante das forças internas atuantes, neste
caso, é igual a carga V=P. A correspondente
Tensão Média de Cisalhamento na seção é:
• Surgem forças internas, atuando na seção C,
chamadas forças cortantes (V)
• A distribuição das tensões de cisalhamento varia
de zero na superficie da barra até um valor
máximo no centro.
• A distribuição das tensões de cisalhamento não
pode ser assumida como uniforme.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 13
Exemplos de Cisalhamento
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 14
Tensão de Esmagamento 
• Parafusos, rebites e pinos geram tensõesnos seus pontos de contato com os
membros que interligam.
dt
P
A
P
==cs
• A tensão média causada por esta força,
no caso de parafusos, pinos e rebites, é
dada por:
• A resultante da distribuição das forças na
superficie de contato é igual e oposta à
força exercida pelo pino.
• Também chamada de Tensão de Contato,
é definida como a relação entre a força e
a área em contato dos corpos:.
A
P
A
F
==cs
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 15
Tensões em um Plano Oblíquo ao Eixo
• Iremos mostrar que tanto forças axiais
como transversais causam, ao mesmo
tempo, tensões normais e de
cisalhamento em um plano oblíquo ao
eixo da peça.
• Forças axiais causam somente
tensão normal em um plano
perpendicular ao eixo da barra.
• Forças transversais em parafusos,
rebites e pinos, causam somente
tensões de cisalhamento em um
plano perpendicular ao eixo dos
mesmos.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
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






s


cossin
cos
sin
cos
cos
cos
00
2
00
A
P
A
P
A
V
A
P
A
P
A
F
===
===
• As tensões médias, normal e de
cisalhamento, no plano oblíqo, são,
respectivamente:
Tensões em um Plano Oblíquo ao Eixo
• Cortemos o membro em uma seção
formando um ângulo  com o plano
normal..
 sincos PVPF ==
• Decompondo P em duas componentes,
normal e tangencial ao plano oblíquo,
• Pelas condições de equilíbrio, a força
interna no plano deve ser igual a P.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 17
• A tensão normal máxima ocorre no plano
perpendicular ao eixo axial, para θ=00 :
00
0
0 == s
A
P
• A tensão de cisalhamento máxima ocorre para o
plano que forma um ângulo de + 45o com o eixo
axial,
45
00
45
2
45cos45sin s ===
A
P
A
P
Tensões em um Plano Oblíquo ao Eixo
s cossincos
0
2
0 A
P
A
P
==
• Tensão normal e de cisalhamento num plano
oblíquo:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
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Tensões Para Um Carregamento Qualquer
• Um membro submetido a um
carregamento qualquer é cortado por
um plano, passando pelo ponto Q.
• Para o equilíbrio, uma distribuição
igual e de sentido oposto, precisa
atuar na outra parte do membro.
A
V
A
V
A
F
x
z
A
xz
x
y
A
xy
x
A
x
D
D
=
D
D
=
D
D
=
DD
D
limlim
lim
00
0

s• A distribuição das tensões internas,
no ponto, podem ser definidas por:
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 19
• Podemos dizer então, que são necessárias 6
componentes de tensão para definir o estado
de tensão em um ponto:
σx, σy e σz: definem as tensões normais
τxy, τyz e τzx: definem as tensões tangenciais
• O caso mais geral de tensão em um ponto
pode ser representado pela figura ao lado
• A combinação de forças geradas pelas
tensões precisam satisfazer as condições de
equilibrio:
0
0
===
===


zyx
zyx
MMM
FFF
• Considere o momento em torno do eixo z:
Estado Geral de Tensões
similarmente,
zyyzzyyz  == e
yxxy  =( ) ( )yxxyz a =>AaAM  D-D== 0
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Coeficiente de Segurança
Membros estruturais ou de máquinas devem ser dimensionados de modo a
trabalharem com tensões que não ultrapassem a tensão admissível do material
para aquela determinada aplicação.
Tensão Admissível
Tensão Última
Coeficiente de Segurança 
adm
u ==
=
s
s
CS
CS
AdmissívelTensão
EscoamentodeTensão
CS
adm
e == s
s
AdmissívelTensão
RupturadeTensão
CS
aindaou
adm
R ==
s
s
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Coeficiente de Segurança
A escolha do C.S. adequado para as diferentes aplicações práticas requer uma
análise cuidadosa que leve em conta muitos fatores, como:
•Modificações nas propriedades do material, função do processo de
fabricação, temperatura, etc.;
•Tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar
futuramente;
•Número de vezes que a carga é aplicada: fadiga (será melhor
estudado em Elementos de Máquinas)
•Modo de ruptura que pode ocorrer;
•Métodos de análise utilizado;
•Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de
manutenção ou por causas naturais imprevisíveis;
•A importância de um certo membro para a integridade de toda a estrutura;
•Riscos de vida ou de propriedade;
•Influência na função a ser desempenhada pela máquina;
•Etc.
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Coeficiente de Segurança
O engenheiro recém formado, encontra muita dificuldade na
escolha do Coeficiente de Segurança a ser utilizado nas
diversas aplicações práticas. Se utilizar um CS alto, estará fora
de mercado pelo alto custo do seu projeto e, se utilizar um CS
muito baixo, poderá estar colocando em risco a segurança do
seu projeto. Como orientação, sugerimos que estes se baseiem
em projetos semelhantes que tenham obtido sucesso e nas
Norma Técnicas específicas para aquela aplicação.
O mais importante é ter bom senso nesta escolha.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Coeficiente de Segurança
Quadro orientativo para determinação do Coeficiente de Segurança:
INFORMAÇÃO QUALIDADE DAS INFORMAÇÕES C.S.
DADOS DAS 
PROPRIEDADES DOS 
MATERIAIS DISPONÍVEIS 
A PARTIR DE TESTES
CS_1
O material usado realmente foi testado 1,3
Dados representativos de testes do material disponíveis 2,0
Dados razoavelmente representativos de testes do material 3,0
Dados insuficientemente representativos de testes do material 5,0+
CONDIÇÕES AMBIENTAIS 
NOS QUAIS O MATERIAL 
SERÁ UTILIZADO
CS_2
São idênticas às condições dos testes do material 1,3
Essencialmente igual ao ambiente de um laboratório comum 2,0
Ambiente moderadamente desafiador 3,0
Ambiente extremamente desafiador 5,0+
MODELOS ANALÍTICOS 
PARA FORÇAS E TENSÕES
CS_2
Os modelos foram testados em experimentos 1,3
Os modelos representam precisamente o sistema 2,0
Os modelos representam aproximadamente o sistema 3,0
Os modelos são aproximações grosseiras do sistema 5,0+
Materiais Dúcteis: C.S.= Máximo entre: (CS_1, CS_2, CS_3 )
Materiais Frágeis: C.S.= 2 x Máximo entre: (CS_1, CS_2, CS_3 )
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
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Revisão de Estática
• A estrutura da figura deve
suportar uma carga de 30 kN
- Determine as forças internas nas
barras e as reações de apoio para
a estrutura.
( ) ( )( )
kN30
0kN300
kN40
0
kN40
m8.0kN30m6.00
=
=-==
-=-=
==
=
-==



yy
yyy
xx
xxx
x
xC
CA
CAF
AC
CAF
A
AM
• Condições de equilibrio da estática:
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
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Diagrama de Corpo Livre

• Adicionalmente, cada componente precisa
satisfazer as condições de equilibrio
=== kN30kN40kN40 yx CCAx
• Resultando:
( )
0
m8.00
=
-==
y
yB
A
AM
• Considere o diagrama de corpo livre de AB
kN30=yC
Substituindo na equação de equilibrio da
estrutura, temos:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 26
Método dos Nós
• As barras AB e BC etão sujeitas somente a
duas forças aplicadas nas suas extremidades
kN50kN40
3
kN30
54
0
==
==
=
BCAB
BCAB
B
FF
FF
F

• O nó precisa satisfazer as condições de
equilibrio da estática, a qual pode ser expressa
através do triângulo de forças:
• Para o equilibrio, as forças precisam ser
paralelas ao eixo, entre os pontos de aplicação
das forças, igual em magnitude e em direções
opostas
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 27
Verificação das Tensões
• Conclusão: a tensão no membro BC é
adequada.
Pode a estrutura da figura suportar com
segurança a carga de 30 kN, sendo a tensão:
?
 MPa159
m10314
N1050
26-
3
=


==
A
P
BCs
• Em qualquer seção da barra BC, a força
interna é de 50 kN, provocando uma tensão
de:
dBC = 20 mm
• Da análise anterior, temos:
FAB = 40 kN (compressão) 
FBC = 50 kN (tração)
MPa 165adm =sRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 28
Projeto
• O projeto de uma nova estrutura requer a seleção
do material adequado e das dimensões
necessárias para o cumprimento das suas funções.
• Por razões de custo, peso, disponibilidade, etc., a
escolha para construir a barra BC foi o alumínio
(sadm= 100 MPa). Qual o diâmetro necessário
para a barra?
• Uma barra de alumínio com 25,4 mm de
diâmetro (1pol) é adequada.
mmm
A
d
d
A
m
Pa
NP
A
A
P
adm
adm
2,251052,2
)10500.(44
4
10500
10100
1050
2
6
2
26
6
3
==

==
=
=


===
-
-
-


s
s
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 29
Exemplo: Tensão Normal
• A barra BC está sob tração, com uma força axial 
de50 kN.
• A barra AB está sob compressão, com uma força axial
de 40 kN e uma tensão normal média de –26.7 MPa.
• A área mínima da seção de AB não influi na tensão
normal, uma vez que ela se encontra sob compessão.
( )( )
MPa167
m10300
1050
m10300mm25mm40mm20
26
3
,
26
=


==
=-=
-
-
N
A
P
A
máxBCs
• No ponto C a seção da barra é reduzida pela presença 
do pino de ligação, logo:
• No centro da barra, com A = 314x10-6m2 a tensão 
normal média é de sBC = +159 MPa.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 30
• Determine a tensão nas
barras e conexões da
estrutura da figura
Exemplo
• Precisamos calcular a
tensão normal máxima em
AB e BC, a tensão de
cisalhamento e de
esmagamento em cada um
dos pinos de conexão.
• Da estática, temos:
FAB = 40 kN (compressão)
FBC = 50 kN (tração)
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 31
Exemplo: Cisalhamento nos Pinos
• A seção normal para os pinos A, B, e C, é:
26
2
2 m10491
2
mm25 -=





==  rA
MPa102
m10491
N1050
26
3
, =


==
-A
P
medC
• A força atuante no pino C é igual a força
exercida pela barra BC e está sob corte
simples, logo:
• No pino A, atua a força exercida pela
barra AB e este se encontra sob corte
duplo, logo P=1/2 FAB:
MPa7.40
m10491
kN20
26,
=

==
-A
P
aveA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 32
• O pino B deve ser dividido em seções para
determinar aquela onde a força cortante é
máxima,
kN25
kN15
=
=
G
E
P
P
MPa9.50
m10491
kN25
26,
=

==
-A
PG
medB
• A tensão média de cisalhamento no pino B é:
Exemplo: Cisalhamento nos Pinos
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 33
Exemplo: Tensão de Esmagamento
• Para determinar a tensão de esmagamento no pino A
(contato com a barra), usamos a área projetada, com
t = 30 mm e d = 25 mm,
( )( )
MPa3,53
mm25mm30
kN40
===
td
P
cs
• Para determinar a tensão de esmagamento no pino A
(contato com o suporte), usamos a área projetada, t=
2x(25 mm) = 50 mm e d = 25 mm,
( )( )
MPa0,32
mm25mm50
kN40
===
td
P
cs