Tensão e deformação - carga Axial

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1
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
CAPITULO
Notas de Aula: 
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-
2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
2
Tensão e 
Deformação
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensão e Deformação: Carga Axial
1 - 2
• O projeto de estruturas e máquinas deve levar em conta não somente a análise
das tensões envolvidas, mas também, as deformações impostas, não permitindo
que estas se tornem tão grandes a ponto de impedirem que as estruturas ou
máquinas desempenhem a função para a qual são destinadas.
• Cosiderando as estruturas e órgãos de máquinas como deformáveis, nos
permitem determinar forças e reações que são estaticamente indeterminadas.
• Este capítulo é dedicado ao estudo das deformações causadas por cargas axiais.
Definições:
normaltensão
deformaçãotesimplesmenouunitáriadefespecíficadeformação
elongaçãooutotaldeformação






.,
2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformação
1 - 3
Deformação unitária
tensão


L
A
P



L
A
P
A
P





2
2
LL
A
P





2
2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Diagrama Tensão-Deformação – Máquina de Ensaio
1 - 4
3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Diagrama Tensão-Deformação (Mat. Dúctil)
1 - 5
No caso do alumínio e de vários outros materiais
dúcteis, não existe o patamar de escoamento. As
tensões continuam aumentando, porém de forma
não linear. Convencionou-se tomar a Tensão de
Escoamento o ponto onde a deformação
permanente atinge: εp=0,2%
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Diagrama Tensão-Deformação (Mat. Frágil) 
100Re
100
:






O
OR
O
OR
A
AA
ÁreadePercentualdução
L
LL
PercentualoAlangament
Sendo
1 - 6
Distingue-se um material dúctil de um frágil pelo Alongamento
Percentual que os dúcteis apresentam, maior que 5%.
Para o aço estrutural, é comum uma RPA da ordem de 60 a 70%.
4
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade
1 - 7
• Até o Limite de Proporcionalidade
Módulo de Elasticidade ou
Módulo de Young


E
E
• Observamos que todos os materiais
representados no diagrama ao lado têm
o mesmo Módulo de Elasticidade, ou
seja, sua rigidez é a mesma, dentro da
região elástica.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações Sob Carga Axial
v
v
L
L
v
v
A
P
e
L
L
L
dL
ou
L
L





 



0
0
ln
)(
1 - 8
AE
P
E
E 
• Da Lei de Hooke:
• Da definição de deformação:
L

 
• Logo:
AE
PL

• Se temos variação nas cargas,
área da seção ou propriedades
do material:

i ii
ii
EA
LP

Muitos cientistas utilizam as tensões e as deformações específicas verdadeiras nos
seus estudos:
O engenheiro, tem a responsabilidade de
determinar se uma determinada carga leva à
tensões e deformações aceitáveis, usando
dados fáceis de avaliar. Usará então, o
diagrama tensão-deformação obtido através
dos valores originais da área e do
comprimento do corpo de provas.
5
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Comportamento Elástico e Plástico do Material
1 - 9
• Se a deformação desaparece
quando a carga é removida, o
material deformou elasticamente.
• Quando a deformação não
retorna a zero após a remoção
da carga, o material deformou
plasticamente. Para que haja
deformação plástica, o material
precisa atingir a Tensão de
Escoamento.
• A maior tensão onde isto ocorre é
chamada de Limite de Elasticidade.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Fadiga
1 - 10
• O diagrama ao lado mostra a
relação entre a tensão de falha
por fadiga e o número de ciclos
de aplicação da mesma.
• Quando a tensão é reduzida para
um nível abaixo do Limite de
Duração, não ocorre a falha por
fadiga.
• Um membro pode falhar por
fadiga, sob uma tensão
significantemente inferior a sua
Tensão Última, se submetido a
vários ciclos de aplicação da
carga.
• Este assunto será melhor estudado na disciplina de Elementos de Máquinas.
6
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 2.01
KNP
KNP
KNP
200
100
400
3
2
1



















 6
3
6
3
6
3
9 10200
4,010200
10600
3,0)10100(
10600
3,010400
10200
1 2,75mmm 1075,2 3  
1 - 11
Determine a deformação da barra de aço da
figura, sob ação das cargas indicadas
(E=200GPa).
• Calculando a deformação total:
1
3
33
2
22
1
11







A
LP
A
LP
A
LP
EEA
LP
i ii
ii
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 2.2
1 - 12
A barra rígida BDE é suportada por duas
barras AB e CD.
A barra AB é de aluminio (E = 70 GPa) e 
tem uma seção transversal de 500 mm2. A 
Abarra CD é de aço (E = 200 GPa) e tem 
uma seção transversal de 600 mm2. 
Para a força de 30-kN mostrada, determine 
a deflexão:
a) de B,
b) de D,
c) de E.
7
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 13
Deformação total de AB:   
  
m10514
Pa1070m10500
m3.0N1060
6
926-
3





AE
PL
B
 mm 514.0B
Deformação total de CD:
  
  
m10300
Pa10200m10600
m4.0N1090
6
926-
3





AE
PL
D
 mm 300.0D
Diagrama Corpo Livre: BDE 
 
ncompressioF
F
tensionF
F
M
AB
AB
CD
CD
B
 kN60
m2.0m4.0kN300
0M
 kN90
m2.0m6.0kN300
0
D








SOLUÇÃO:
Exemplo 2.2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 14
Deslocamento de E:
 
mm 7.73
mm 200
mm 0.300
mm 514.0






x
x
x
HD
BH
DD
BB
 mm 928.1E
 
mm 928.1
mm 7.73
mm7.73400
mm 300.0






E
E
HD
HE
DD
EE


Exemplo 2.2
8
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Sistemas Estaticamente Indeterminados
1 - 15
• Também chamados de sistemas hiperestáticos,
são aqueles onde o número de equações da
estática aplicaveis ao problema é menor que o
número de incógnitas a resolver.
0 RL 
• Isto é, as deformações devidas às cargas externas e
devido à reação superabundante são calculadas
separadamente e depois superpostas.
• Para a sua solução, lança-se mão de equações
auxiliares, conseguidas a partir das condições
de deslocamento.
• Um dos métodos de solução é o método da
superposição, que consiste em considerar uma
das reações como superabundante.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 2.04
1 - 16
Determine as reações em A e B para a barra de
aço e o carregamento mostrado na figura.
SOLUÇÃO:
V=0 => RA+RB=900KN (I)
AD+ DC+ CK+ KB=0
FKB= -RB FCK= -RB+600= FDC FAD= -RB+900
RB=577KN
e
RA=323KN
9
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 2.04 (Método da Superposição)
1 - 17
Determine as reações em A e B para a barra de
aço e o carregamento mostrado na figura.
• O sistema requer que haja compatibilidade entre
as deformações causadas pelas cargas externas e
pela reação, ou seja, sua soma é nula neste caso.
• Calcule as deformações causadas pela reação
superabundante em B.
SOLUÇÃO:
• Considere a reação em B como superabundante,
libere a barra deste suporte e calcule as
deformações causadas pelas cargas externas
aplicadas.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 18
SOLUÇÃO:
• Deformação total devida às cargas externas:
EEA
LP
LLLL
AAAA
PPPP
i ii
ii
9
L
4321
26
43
26
21
3
4
3
321
10125.1
m 150.0
m10250m10400
N10900N106000






• Deformação total devida à reação:
 







i
B
ii
ii
R
B
E
R
EA
LP
δ
LL
AA
RPP
3
21
26
2
26
1
21
1095.1
m 300.0
m10250m10400
Exemplo 2.04 (Método da Superposição)
10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 19
• Compatibilidade das deformações:
 
kN 577N10577
0
1095.110125.1
0
3
39







B
B
RL
R
E
R
E


• Cálculo da reação em A:
kN323
kN577kN600kN 3000

 
A
Ay
R
RF
kN577
kN323


B
A
R
R
Exemplo 2.04 (Método da Superposição)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensões Devido a Variações de Temperatura
1 - 20
• Uma variação de temperatura resulta em uma
variação no comprimento da barra ou dilatação
térmica. Se a barra está livre para deformar, nenhuma
tensão é induzida à mesma. Porém, se ela é impedida
de deformar pelos suportes, surge uma tensão,
chamada de tensão térmica.
 
térmica dilatação de ecoeficient 



AE
PL
LT PT
  0
0


AE
PL
LT
PT


• A deformação térmica e a deformação causada pela
reação superabundate precisam ser compativeis:
 
 TE
A
P
TAEP
PT





 0
11
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Coeficiente de Poisson
1 - 21
• Para uma barra sujeita a uma carga axial,
temos:
0 zy
x
x
E

• A elongação na direção do eixo x é
acompanhada de uma contração nas outras
direções. Assumindo que o material é
isotropico.
0 zy 
• O Coeficiente de Poisson é definido como:
x
z
x
y



 
axial deformação
 al transversdeformação
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Generalização da Lei de Hooke
1 - 22
• Para um elemento submetido a um estado multi-
axial de tensões, a componente da deformação
normal pode ser determinada pelo princípio da
superposição. Isto requer:
1) a deformação varia linearmente com a tensão.
2) as deformações são pequenas.
• Com estas restrições, temos (Lei de Hooke
generalizada):
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x









)]([
1
)]([
1
)]([
1
yxz
zxy
zyx
E
E
E






12
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Dilatação Volumétrica
• Neste caso, a dilatação volumétrica é negativa,
embora:
2
10 
• Para um elemento submetido a uma pressão hidrostática p: 
 
modulusbulk 
213
213








E
k
k
p
E
pe
Módulo de elasticidade de volume
• Em relação ao cubo de lados iniciais unitários, a variação
unitária de volume é:
      
 
 e)unit volumper in volume (change dilatation 
21
111111






zyx
zyx
zyxzyx
E
e




Variação específica de volume
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Deformação de Cisalhamento
1 - 24
• Um cubo elementar submetido a uma tensão de
cisalhamento, não sofre alteração no comprimento
dos seus lados, porém sofre distorção nos seus
ângulos, sendo a tensão, uma função desta variação
no ângulo:
 xyxy f  
• Ou seja, a tensão é proporcional à distorção de
cisalhamento (Lei de Hooke para o
Cisalhamento):
zxzxyzyzxyxy GGG  
Onde G é o Módulo de Elasticidade Transversal.
Temos então:
radianos
G


13
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Exemplo 2.10
1 - 25
Um bloco retangular de borracha, com G = 600MPa é colado a duas placas
rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a superior é submetida a
uma força horizontal P. Sabendo-se que a placa superior moveu-se de 0,8mm.
sob a ação da força, determine:
a) a tensão média de cisalhamento na borracha;
b) a força P aplicada.
160mm50mm
40mm
0,8mm
40m
m
• Pela Lei de Hooke para o cisalhamento:
• Multiplique a tensão de cisalhamento pela
área resistente para encontrar P.
rad020.0
40mm
0,8mm
tan  xyxyxy 
   MPa12rad020.010600 6  xyxy G
 AP xy 12 x10
6 x 0,050 x 0,160
KN0,96P
• Deformação angular do bloco de borracha.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Relação Entre: E, , e G
1 - 26
• Um carregamento axial atuando em uma
barra, irá alongá-la na direção axial e
contraí-la na direção transversal.
  1
2G
E
• Componentes normal e de cisalhamento são
relacionadas por:
• Se o cubo for orientado como na figura
inferior, ele irá deformar sob a forma de
um romboédro e a carga axial irá causar
também tensão e deformação de
cisalhamento
• Um cubo elementar orientado como na
figura acima, irá deformar sob a forma de
um paralelepípedo. O carregamento axial
produz tensão e deformação normal.
14
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 2.5
1 - 27
Um circulo de diâmetro d = 230mm é inscrito
em uma placa de alumínio de espessura t =
20mm. Forças atuando no plano da placa
causam as tensões normais x = 84MPa e z =
140MPa.
Para E = 70GPa e  = 1/3, determine a
variação:
a) No comprimento do diâmetro AB,
b) No comprimento do diâmetro CD,
c) Na espessura da placa
d) No volume da placa.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 28
SOLUÇÃO:
• Aplique a Lei de Hooke generalizada
para encontrar as três componentes de
deformação normal.
• Calcule as componentes de deformação:
• Encontre a variação no volume:
Exemplo 2.5
 dxAB  0,533 x 10
3 x 230
 tyt 
1,067 x 10-3 x 380 x380 x 20
1,067 x 10-3


eVV
e zyx 
x )]([
1
zyx
E
 
x  0,533 x 10
3
y )]([
1
zxy
E
 
y  1,067 x 10
3
z )]([
1
yxz
E
 
z  1,600 x 10
3
mm10122,6
3
AB
 dzDC  1,600 x 103 x 230
mm10368
3
DC
1,067 x 103 x 20
mm1021,3
3
t
3081mm3V
15
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Materiais Compostos
1 - 29
• Materiais compostos são formados de lâminas de
fibras de grafite, vidro ou polimeros embebidos em
resinas.
z
z
z
y
y
y
x
x
x EEE 






• A tensão e a deformação normal seguem a Lei de
Hooke, porém o módulo de elasticidade varia de
direção para direção:
x
z
xz
x
y
xy 



 
• O mesmo ocorre com a deformação transversal, que
depende do coeficiente de Poisson para cada direção.
• Materiais que têm suas propriedades mecânicas
variando com a direção são chamados de
anisotrópicos.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Pricípio de Saint-Venant
1 - 30
• Cargas transmitidas através de
placas rígidas, resultam em
distribuição uniforme de tensão e
deformação.
• Princípio de Saint-Venant :
A distribuição de tensões pode ser
assumida como uniforme,
independente do modo de aplicação
da carga, exceto nas vizinhanças do
ponto de aplicação da carga.
• Tensão e deformação passam a ser
uniformes em uma região
relativamente próxima do ponto de
aplicação da carga.
• Cargas concentradas resultam em altas
concentrações de tensão na região de
aplicação das mesmas.
16
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Concentração de Tensões: Furo
1 - 31
Descontinuidade na seção pode resultar em
altas tensões localizadas ou concentração de
tensões.
med
K

 max
K=fator de concentração de tensões
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 32
Concentração de Tensões: Mudança de Seção
17
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 2.12
1 - 33
Determine a maior carga axial P que pode ser
suportada com segurança pela barra plana da figura,
composta de duas porções, ambas com 10mm de
espessura e com largura de 60mm e 40mm,
respectivamente, com um raio de adoçamento
r=8mm entre elas, adotando uma tensão admissível
para o material de 165MPa.
• Determine as relações geométricas e
encontre o fator de concentração de
tensões:
82.1
20.0
mm40
mm8
50.1
mm40
mm60


K
d
r
d
D
• Encontre a tensão máxima
admissível, dividindo a tensão
admissível pelo fator de concentração
de tensões:
MPa7.90
82.1
MPa165max 
K
adm
• Encontre a carga máxima, multiplicando a tensão máxima pela área mínima:
   
N103.36
MPa7.90mm10mm40
3
max

 AP kN3.36P
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Materiais Elastoplásticos
1 - 34
• As análises anteriores besearam-se no
trabalho na região elástica, isto é, as tensões
estavam abaixo da tensão de escoamento do
material.
• Se a tensão de escoamento, para um
material dúctil, é atingida, então passaremos
a ter, também, deformações plásticas.
• A análise de deformações plásticas é
simplificada se idealizarmos o material
como sendo elastoplástico.
• Nestes materiais, adotamos que as
deformações sejam compostas por uma
região totalmente elástica e outra totalmente
plástica. Quando se atinge a região plástica e
se descarrega o material, ele permanece com
uma deformação permanente.
18
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações Plásticas
1 - 35
• Deformação elástica, enquanto a
tensão máxima é menor que a
tensão de escoamento.
K
A
AP med
max 
• A tensão máxima atinge o valor
da tensão de escoamento. K
A
P YY


• Se a carga aumenta, a região plastificada aumenta
nas proximidades do furo.
• Com o incremento da carga, a região plástica
aumenta, atingindo toda a seção da barra,
permanecendo a tensão constante e igual a tensão
de escoamento.
Y
YU
PK
AP

 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensões Residuais
1 - 36
• Quando um elemento estrutural é carregado uniformente,
atingindo a sua tensão de escoamento, após descarregada
ela possuí uma deformação permanente, mas as tensões
retornam para zero. Isto, porém, nem sempre acontece.
• Tensões Residuais irão surgir em condições especiais de
aquecimento ou resfriamento de um elemento estrutural.
• Tensões Residuais irão aparecer em uma estrutura, após
o carregamento e o descarregamento, se :
- Somente parte da estrutura entrar em escoamento
- Diferentes partes da estrutura sofrerem diferentes
deformações plásticas.
19
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 2.14, 2.15, 2.16
1 - 37
Uma barra cilindrica é colocada dentro
de um tubo, de mesmo comprimento.
As extremidades do tubo e da barra
são presas a um apoio fixo e uma placa
rígida. Uma carga é aplicada na placa
rígida, variando de zero até 24KN e
depois retorna para zero.
a) Trace o diagrama Força-Deflexão
para o conjunto;
b) Determine a máxima elongação;
c) Determine a deformação; 
permanente
d) Calcule a tensão residual na barra
e no tubo.
Tubo
Placa
Barra
250MPa
200GPa
48mm2
b 


Y
b
b
σ
E
A
300MPa
80GPa
, 


tY
t
t
σ
E
A 60mm2
800mm
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 38
a) Diagrama Força-Deflexão
Exemplo 2.14, 2.15, 2.16
1,0mm
12 KN
,
,
,
,


L
E
L
A
bY
bY
bY
bbY



3,0mm
18 KN
,
,
,
,


L
E
L
A
tY
tY
tY
ttY



,
δ
P
Y,b
bY
,
δ
P
Y,t
tY
P (KN)
b (mm)1,0
(mm)
P (KN)
P (KN)
(mm)
1,0 3,0
0,8 2,0
12
18
6
24
15
tb
tb, PPP
 

P (KN)
18
30
(mm)3,01,0
20
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 39
b,c) determine the maximum elongation and permanent set
b) Ao atingir P = 12KN, a barra entra em escoamento,
enquanto que o tubo permanece elástico
c) A curva de descarregamento do conjunto se dá
paralelamente à 0Yb
Exemplo 2.14, 2.15, 2.16
x 0,8
1080
10200
12 KN
9
6
t
,




L
E
L
PP
t
t
t
   12 KN24 - 12 PPP bt
bYb


200 MPa
60 x10-6
12 x 103
t 
A
P
t
t
2,0 mmmax  t
  = 0,667 mm1,3332,0
1,333 mm
KN/mm18
KN24
declividadeKN/mm18,0
1 mm
18 KN
máxp
máx





m
P
m
0,667 mmp
Pt (KN)
P (KN)
12
12
24
18
b (mm)
(mm)
(mm)
2,0
2,0 mm
Pb (KN)
2,0
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 40
d) cálculo das tensões residuais:
Calcule a tensão reversa na barra e no tubo causadas
pelo descarregamento e some à tensão máxima
atingida por cada um:
Exemplo 2.14, 2.15, 2.16
Pt (KN)
P (KN)
12
12
24
18
b (mm)
(mm)
(mm)
2,0
2,0mm
Pb (KN)
800 mm
1,333 mm
 1,67 x 103




L



  1,67x 103 x 200 x 109  334 MPa
tt
bb
E
E


  1,67 x 103 x 80 x 109  134 MPa
,
,

 250334  84 MPa
tttresidual
bbbresidual


 200134  66 MPa
2,0