IAL_-_I_-_01_Prof_Flavio_aula_6[1]

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2 – Determinantes
3 – Expansão em co‐fatores 17
3 – Expansão em Co‐fatores3 pa são e Co ato es
Definição: Se A é uma matriz quadrada, então o determinante menor da entrada 
a ou simplesmente omenor de a é denotado porM e definido como oa
ij
, ou simplesmente o menor de a
ij
, é denotado por M
ij
e definido como o 
determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i‐ésima linha e a j‐
ésima coluna de A. O número (-1)i+j M
ij
é denotado por C
ij
e é denominado o co‐
f t dfator de a
ij
.
 413
Exemplo 4 – Seja                                    







 

841
652
413
A
O d é
 841
652
413 
M
164024
65 
O menor de a
11
é 
841
652
11
M 164024
84

O co‐fator de a
11
é   
161
11
11
11
  MC
2 – Determinantes
3 – Expansão em co‐fatores 18
43
413 
O menor de a
32
é 
26
62
43
841
652
32
M
O co‐fator de a
32
é  C
32 
= (-1)3+2M
32
= -26 
Teorema:  Expansão em Co‐fatores (Laplace)
O determinante de uma matriz A de tamanho nxn pode ser calculado multiplicando 
as entradas de qualquer linha (ou coluna) pelos seus co‐fatores e somando os 
produtos resultantes, ou seja, para quaisquer                 e                 ,
njnjjjjj
CaCaCaA  
2211
)det(
ni 1 nj 1
e
jjjjjj
Expansão em co‐fatores ao longo da j‐ésima coluna
CaCaCaA  )det(
ininiiii
CaCaCaA  
2211
)det(
Expansão em co‐fatores ao longo da i‐ésima linha
2 – Determinantes
3 – Expansão em co‐fatores 19

013
Exemplo 5 – Dada a matriz                                            . Calcule det(A) por expansão em co‐




 

245
342A
fatores ao longo da primeira linha de A.
131312121111
)det( CaCaCaA 
45
42
)1(0
25
32
)1(1
24
34
)1(3
312111
 
131312121111
)(
45
)(
25
)(
24
)( 
10)11)(1()4(3)det( A






1121
6253
Exemplo 6 – Dada a matriz                                            . Calcule det(A).






3573
5142
1121
A

‐ Utilize operações elementares para deixar somente um elemento não nula em uma 
coluna ou linha da matriz.
‐ Aplique o Teorema de Laplace.
2 – Determinantes
3 – Expansão em co‐fatores 20



 31106253



  



   

3300
1121
5142
1121
244
233
211
3
2
3
LLL
LLL
LLL
‐ Operações elementares:
 08103573
311
3110 
081
330
311
)1(
3300
1121
)12(

 ‐ Teorema de Laplace:
081
0810
081081311
390
330
081
311
330
081
081
330
311
13313  

   LLLLL‐ Operações elementares:
 
18927
33
1330
081
)11(  
Teorema de Laplace:
 
18927
39
1
390
330 ‐ Teorema de Laplace:
2 – Determinantes
3 – Expansão em co‐fatores 21
Ab i t d d d d t i t R d ChióAbaixamento de ordem de um determinante  – Regra de Chió




n
aaaa
aaa 
11312
1
Considere uma matriz A de ordem n2, 
tal que a
11
=1, isto é







n
n
aaaa
aaaa
A



3333231
2232221


 nnnnn aaaa 

321
Realize as operações elementares
adicione à 2ª coluna a 1ª multiplicada por a‐ adicione à 2ª coluna, a 1ª multiplicada por ‐ a
12
‐ adicione à 3ª coluna, a 1ª multiplicada por ‐ a
13
.........
‐ adicione à n‐ésima coluna, a 1ª multiplicada por ‐ a
1
adicione à n ésima coluna, a 1  multiplicada por  a
1n





nn
aaaaaaaaaa
121213212312212221
0001





 
nn
nn
aaaaaaaaaa
A
131313313312313231
121213212312212221




  nnnnnnnnn aaaaaaaaaa 11131312121 
2 – Determinantes
3 – Expansão em co‐fatores 22
então
nn
aaaaaaaaaa
121213212312212221
0001
 

n
n
aaaa
aaa


2232221
11312
1
nn
aaaaaaaaaa
131313313312313231



n
aaaa
A


3333231
)det(
nnnnnnnnn
aaaaaaaaaa
11131312121
 
nnnnn
aaaa 
321
1111
11
)1.(1)det( CCA  Aplicando o Teorema de Laplace
nn
nn
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
A
1313133133123132
1212132123122122
)det(


 

nnnnnnnn
aaaaaaaaa
A
1113131212
)det(
 

2 – Determinantes
3 – Expansão em co‐fatores 23

2421
Exemplo 7 – Dada a matriz                                            . Calcule det(A) utilizando a regra de 




 54101
6573
A
Chió.
 3283
54101
6573
2421
)det( A
388
071
2.154.142.110
2.364.352.37





3283
54101
)( 
3102
388
2.334.322.38
2.154.142.110

15612144
34
348
03)7.(210
03)7.(88 

)(
2 – Determinantes
3 – Expansão em co‐fatores 24
aaaa
Exercício 11 – Mostre que ))()(( cdbcaba
ccba
bbba 
dcba
1
Solução:

ccb
bbb
aaa
a
ccba
bbba
aaaa
1
1
1


acacab
ababab
a
dcb
ccb
dcba
ccba
1
1  adacab



d
acac
abab
aba
1
1
1
)( 

bdbc
bcbc
aba )(
 adac1
))()((
1
))(( dbb
bc
bb

))()((
1
))(( cdbcaba
bd
bcaba 
2 – Determinantes
4 – Matriz dos Co‐fatores e Matriz Adjunta 25
4 – Matriz dos Co‐fatores e Matriz Adjuntaj
Definição: Se A é uma matriz quadrada nxn e C
ij
é o co‐fator de a
ij
, então a matriz
 CCC 
11211






n
n
CCC
CCC


22221
11211
é denominada matriz dos co‐fatores de A. A transposta desta matriz é 
 nnnn CCC 21
f p
denominada matriz adjunta de A e denotada por adj(A).
 15
Exemplo 8 – Dada a matriz                           . Calcule a matriz dos co‐fatores e a adjunta de A.




30
15
A
  030)1(3)1( 32 CC
‐Matriz dos cofatores: 






51
03
5)1(1)1(
0)1(3)1(
4
22
3
21
1211
CC
CC
 1303 T
‐Matriz adjunta: 




50
13
51
03
)(Aadj
2 – Determinantes
4 – Matriz dos Co‐fatores e Matriz Adjunta 26

123
Exemplo 9 – Dada a matriz                                       . Calcule a matriz dos co‐fatores e a 
matriz adjunta de A. 



 

042
361A
Matriz dos co‐fatores:

613136
432








23
)1(
13
)1(
12
)1(
42
61
)1(
02
31
)1(
04
36
)1(
543
4
13
3
12
2
11
CCC
CCC

16612






23
)1(
13
)1(
12
)1(
42
)1(
02
)1(
04
)1(
6
33
5
32
4
31
232221
CCC
CCC




 

161012
1624
 61
)1(
31
)1(
36
)1(
333231
CCC







 
 1026
12412
1624
16612
)(
T
Aadj‐Matriz adjunta:






  161616
1026
161012
1624)(Aadj
Matriz adjunta:
2 – Determinantes
4 – Matriz dos Co‐fatores e Matriz Adjunta 27
Teorema: Se A é uma matriz invertível, então )adj(
)det(
1
1
A
A
A 

123
Exemplo  10 – Calcule a inversa da matriz




 

042
361A
123 
64)412()3612(
042
361)det( 

A
 12412









161616
1026
12412
)adj(A‐ do exercício anterior:
 161616

12412
1
1
então






161616
1026
64
1
1
A
2 – Determinantes
4 – Matriz dos Co‐fatores e Matriz Adjunta 28

Exercício 12 – Calcule a inversa da matriz 


dc
ba
A
Solução:
0)det(  bcadbaA‐ Para que a matriz possua inversa:
   cdcCdC
3
12
2
11
)1()1(
0)det(  bcad
dc
A
Para que a matriz possua inversa:






 ab
cd
aCbC
cCdC
4
22
3
21
1211
)1()1(
)1()1(
‐Matriz dos co‐fatores:
T
‐Matriz adjunta: 








ac
bd
ab
cd
T
‐Matriz inversa: 






ac
bd
bcad
A
1
1
 acbcad
2 – Determinantes
5 – Regra de Cramer 29
5 – Regra de Cramer5 eg a de C a e
Definição: Se Ax=b é um sistema de n equações lineares em n variáveis tal que
det(A)0 então o sistema tem uma única solução Essa solução édet(A)0, então o sistema tem uma única solução. Essa solução é
,                            , . . . , 
)det(
)det(
1
1
A
A
x 
)det(
)det(
2
2
A
A
x 
)det(
)det(
A
A
x
n
n

Onde A
j
é a matriz obtida substituindo as entradas da j‐ésima coluna de A pelas 
)det(A
)det(A
)det(A
entradas da matriz coluna




b

1
b


 nb
2 – Determinantes
5 – Regra de Cramer 30
  62 31 xx
Exemplo 11 – Use a regra de Cramer para resolver o sistema 




832
30643
321
321
31
xxx
xxx
 201
‐ Forma matricial:


























8
30
6
321
643
201
2
1
x
x
A bx 44
321
643
201
)det(   A
  8321 3x 321 
206
‐ Cálculo das variáveis:
1040
328
6430
206
)det( A
11
10
44
40
44
328
)det(
)det(
1
1

A
A
x
2 – Determinantes
5 – Regra de Cramer 31
6303
261

11
18
44
72
44
381
)det(
)det(
2
2

A
A
x
3043
601

11
38
44
152
44
821
)det(
)det(
3
3

A
A
x
2 – Determinantes
6 ‐ Exercícios 32
  1zyx
Exercício 13 – Resolva o sistema pela regra de Cramer

 


1
2
1
23
2
yx
z
z
yx
y
S l ãSolução:
Admitindo 3z+2 0 e  2x+y0, tem‐se:
1
2321
23
2



zyx
z
yx
y
121
2
1 

zyx
yx
z
Portanto, o sistema é da forma











 





2
1
312
111
232
1
y
x
zyx
zyx
   111212 zzyx
111
‐ Cálculo do determinante da matriz dos coeficientes
4610
112
312
111
)det( A
112 
2 – Determinantes
6 ‐ Exercícios 33
111
2
3
4
6
)det(
)det(
6
111
312
111
)det( 
A
A
xA
x
x
111 
5
)det(
111
A
y
4
5
)det(
)(
5
112
322)det( 


A
yA
y
y
4
3
)det(
)det(
3212
111
)det( 
A
A
zA
z
z
4)det(
112
A
Observe que: 
0
5
32
02
4
9
23

z
0
4
32  yx