Lista 3 2012

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EAE0207 - Matemática Aplicada à Economia
3a Lista de Exercícios
2o semestre de 2012
1. Calcule os valores extremos de cada função a seguir e determine se são
máximos ou mínimos. Calcule também o valor estacionário da função:
a) z = f(x; y) = x2 + xy + 2y2 + 3
b) z = f(x; y) = �x2 � y2 + 6x+ 2y
c) z = f(x; y) = e2x � 2x+ 2y2 + 3
d) z = f(x; y) = (x� 2)4 + (y � 3)4
2. Expresse cada uma das formas quadráticas a seguir como o produto de
matrizes envolvendo uma matriz de coe…cientes simétrica.
a) q = 3u2 � 4uv + 7v2
b) q = 6xy � 5y2 � 2x2
3. Encontre os valores extremos, se houver, das seguintes funções. Veri-
…que se são mínimos ou máximos.
a) z = x21 + 3x
2
2 � 3x1x2 + 4x2x3 + 6x23
b) z = e2x + e�y + ew
2 � (2x+ 2ew � y)
4. Utilize o método do multiplicador de Lagrange para encontrar os valores
extremos das seguintes funções condicionadas às restrições. De…na se
são máximos ou mínimos.
a) f(x; y) = xy sujeita a x+ 2y = 2.
b) f(x; y) = x� 3y � xy sujeita a x+ y = 6:
c) f(x; y) = ln(x2 + y2) sujeita a x+ 1
2
y = 1
d) f(x; y; w) = x+ 2y + 3w + xy � yw sujeita a x+ y + 2w = 10
5. Encontre o máximo de f(x; y) = 3y + xy � x sujeito a x � 0; y � 0;
x+ y � 6.
6. Considere um consumidor cuja função de utilidade é dada por U(x; y) =
xy, onde x e y são bens, com preços px = py = 1. A renda deste
consumidor (máximo que ele pode gastar nos dois bens) é 100 unidades
monetárias. O bem x, no entanto, é racionado e cada consumidor
pode adquirir, no máximo, 40 unidades deste bem. Este consumidor
de…ne sua demanda a partir da maximização de sua utilidade, sujeita
1
às restrições acima reportadas. Monte o problema de maximização e
encontre as quantidades demandadas dos bens x e y.
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