Matrizes e Sistemas Lineares

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se A é invertível:
Método para encontrar A-1 
Operações elementares
Matriz Elementar:
 Soma Troca Multiplicação
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Operações sobre linhas com matrizes elementares
OP1 I E
 OP1 A EA
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Operações sobre linhas com matrizes elementares
Exemplo:
Soma
3L1+L3=L3
Soma
3L1+L3=L3
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EA
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Se Anxn é invertível:
Ax=0 tem somente a solução trivial
Forma escalonada reduzida = I
A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares
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Se Anxn é invertível:
A inversa pode ser expressa como um produto de matrizes elementares
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 Exemplo – Determine a inversa da matriz
utilizando operações elementares. 
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 Exemplo – Determine a inversa da matriz utilizando operações elementares. 
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 Exemplo – Determine a inversa da matriz
utilizando operações elementares. 
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 Exemplo – Determine a inversa da matriz utilizando operações elementares. 
 Observe que foi obtida uma linha de zeros no lado esquerdo da partição de M. Portanto M é singular.
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Solução de um Sistema Linear usando A-1
 
- O sistema só terá solução se a matriz dos coeficientes A for invertível.
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 Exercício – Encontre a matriz inversa de 
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 Exercício – Encontre a matriz inversa de 
Solução: 
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 Exercício – Encontre os valores de m, para os quais a matriz
seja singular.
 
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 Exercício – Encontre os valores de m, para os quais a matriz
seja singular.
Solução: 
Utilizaremos as operações elementares.
Se na 2ª linha da matriz o elemento da 2ª coluna for nulo, estará 
garantido que a matriz M é singular.
Então:
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 Exercício – Sejam e
Determine a matriz X, tal que
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 Exercício – Sejam e . Determine a matriz X, 
tal que
Solução: 
Utilizaremos propriedades da aritmética matricial.
Produto :
Inversa de AB:
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 Matriz triangular é invertível se:
 
 
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 Matriz diagonal
 
 
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 Se A não for invertível significa dizer que o sistema não é consistente?
 
 
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 Vamos encontrar a resposta neste exercício:
Seja o sistema 
 
 
Resp.:
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 Uma matriz quadrada com duas linhas ou colunas proporcionais é invertível? Porque? 
 
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 Exercício - Escreva cada uma das matrizes abaixo como produto de matrizes elementares. 
 
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 Exercício - Escreva cada uma das matrizes abaixo como produto de matrizes elementares. 
 
 Solução:
 1º passo:
 2º passo:
 Operações:
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 4º passo:
 Operações inversas:
 3º passo:
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 Decomposição na forma LU
A=LU Triang. superior
Triang. inferior 
 
Fatoração da matriz
dos coeficientes
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 Sendo A=LU escrito da seguinte
forma:
Resolva o sistema 
de equações: 
 
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 Construção das fatorações:
 
 
Matriz triangular inferior
A operação de troca não foi usada!!! 
 
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 Encontre a decomposição LU de:
 Reduzir a forma escalonada por linhas;
Gravar cada operação sobre linhas (lembrando que não vale permutar linhas);
Aplicar cada uma numa matriz I para obter as E;
Calcular as inversas das E.
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 Reduzir a forma escalonada por linhas deixando os elementos líderes iguais a 1;
Gravar cada operação sobre linhas (lembrando que não vale permutar linhas);
Aplicar cada uma numa matriz I para obter as E;
Calcular as inversas das E.
 U é a forma escalonada
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3 L1 + L2
½ L1
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3 L2 + L3
-4 L1 + L3
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1/7 L3
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 Método para encontrar a decomposição LU
 Reduzir a forma escalonada por linhas;
Gravar os multiplicadores;
Posicionar os recíprocos dos multiplicadores que introduziu os pivôs;
Posicionar o negativo dos multiplicadores que introduziu os zeros.
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 Multiplicadores que introduzem os lideres
 Multiplicadores que introduzem os zeros debaixo dos líderes. Posições
respectivamente
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 Método para encontrar a decomposição LU
 Reduzir a forma escalonada por linhas;
Gravar os multiplicadores;
Posicionar os recíprocos dos multiplicadores que introduziu os pivôs;
Posicionar o negativo dos multiplicadores que introduziu os zeros.
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 Determine a fatoração LU de:
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 Multiplicadores que introduzem os lideres
 Multiplicadores que introduzem os zeros debaixo dos líderes. Posições
respectivamente
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